الجبر الفرعي لكارتان

في الرياضيات ، الجبر الجزئي كارتان ، والذي يُختصر غالبًا إلى CSA ، هو جبر جزئي عديم القوة${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$من جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هذا يُعدّ تطبيعاً ذاتياً (إذا${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$للجميع${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$، ثم${\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}$). وقد قدمها إيلي كارتان في أطروحته للدكتوراه، وهي تتحكم في نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على مجال من الخصائص${\displaystyle 0}$.

في جبر لي شبه البسيط ذي الأبعاد المحدودة على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية (على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {C} }$الجبر الجزئي لكارتان هو نفسه الجبر الجزئي الأبلي الأقصى الذي يتكون من عناصر x بحيث يكون التشاكل الداخلي المرافق${\displaystyle \operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$هي شبه بسيطة (أي قابلة للتقطير ). أحيانًا يُعتبر هذا الوصف تعريفًا لجبر كارتان الجزئي. ^{[ 1 ] صفحة 231}

بشكل عام، يُطلق على الجبر الجزئي اسم "الجبر التورالي" إذا كان يتكون من عناصر شبه بسيطة. وعلى حقل مغلق جبريًا، يكون الجبر الجزئي التورالي تلقائيًا جبرًا تبديليًا. وبالتالي، على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية، يمكن تعريف الجبر الجزئي الكارتاني أيضًا على أنه جبر جزئي تورالي أقصى.

كما أن جبر Kac-Moody وجبر Kac-Moody المعمم يحتويان على جبر فرعي يلعب نفس الدور الذي يلعبه الجبر الفرعي Cartan لجبر Lie شبه البسيط (على حقل ذي خاصية صفرية).

توجد جبريات كارتان الجزئية لجبر لي ذي الأبعاد المحدودة عندما يكون الحقل الأساسي غير محدود. إحدى طرق بناء جبر كارتان الجزئي هي باستخدام عنصر منتظم . أما على حقل محدود، فلا يزال السؤال مطروحًا حول وجودها.

بالنسبة لجبر لي شبه البسيط ذي الأبعاد المحدودة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية، يوجد نهج أبسط: بحسب التعريف، فإن الجبر الجزئي التورالي هو جبر جزئي من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتكون من عناصر شبه بسيطة (يكون العنصر شبه بسيط إذا كان التشاكل المرافق الناتج عنه قابلاً للتقطير ). جبر كارتان الفرعي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذن، هو نفس الشيء مثل الجبر الفرعي التورالي الأقصى، ومن السهل رؤية وجود الجبر الفرعي التورالي الأقصى.

في جبر لي ذي أبعاد منتهية على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية، تكون جميع الجبريات الجزئية لكارتان مترافقة تحت التشاكلات الذاتية للجبر، وعلى وجه الخصوص، تكون جميعها متماثلة . يُطلق على البعد المشترك للجبر الجزئي لكارتان اسم رتبة الجبر.

بالنسبة لجبر لي شبه البسيط المعقد ذي الأبعاد المحدودة، يكون إثبات وجود جبر كارتان الفرعي أسهل بكثير، بافتراض وجود شكل حقيقي مضغوط. ^{[ 2 ]} في هذه الحالة،${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يمكن اعتبارها بمثابة تعقيد لجبر لي لطور أقصى للمجموعة المدمجة.

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت جبر لي خطي (جبر لي جزئي من جبر لي للتشاكلات الداخلية لفضاء متجهي V ذي أبعاد منتهية ) على حقل مغلق جبريًا، فإن أي جبر كارتان جزئي من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو مركز الجبر الفرعي التورالي الأقصى لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كان الحقل شبه بسيط وله خاصية صفرية، فإن الجبر الجزئي التورالي الأقصى يكون ذاتي التطبيع، وبالتالي فهو يساوي الجبر الجزئي الكارتاني المرتبط به. بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت شبه بسيطة، فإن التمثيل المرافق يمثل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$كجبر لي خطي، بحيث يكون جبر فرعي من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون كارتان إذا وفقط إذا كانت جبرًا فرعيًا توراليًا أقصى.

• أي جبر لي عديم القوة هو جبر كارتان فرعي خاص به.
• جبر جميع المصفوفات القطرية هو جبر فرعي من كارتان لـ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$، جبر لي لـ${\displaystyle n\times n}$المصفوفات على حقل.
• بالنسبة لجبر لي الخاص عديم الأثر${\displaystyle n\times n}$المصفوفات${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$، ولها الجبر الفرعي كارتان:$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ و }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$$أين$${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$$على سبيل المثال، في${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$الجبر الفرعي لكارتان هو الجبر الفرعي للمصفوفات:$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}}$$مع قوس لي المعطى بواسطة مبدل المصفوفة.
• جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle 2}$بواسطة${\displaystyle 2}$مصفوفات الأثر${\displaystyle 0}$يحتوي على جبرين فرعيين من جبر كارتان غير مترافقين.
• لا يُعد بُعد الجبر الجزئي لكارتان، بشكل عام، البُعد الأقصى للجبر الجزئي الأبلي، حتى بالنسبة لجبر لي البسيط المعقد. على سبيل المثال، جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}$ل${\displaystyle 2n}$بواسطة${\displaystyle 2n}$مصفوفات الأثر${\displaystyle 0}$يحتوي على جبر فرعي كارتان من الرتبة${\displaystyle 2n-1}$لكن له جبر فرعي أبيلي أقصى ذو بُعد${\displaystyle n^{2}}$تتألف من جميع المصفوفات من الشكل${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}}$مع${\displaystyle A}$أي${\displaystyle n}$بواسطة${\displaystyle n}$المصفوفة. يمكن للمرء أن يرى مباشرة أن هذا الجبر الفرعي الأبلي ليس جبرًا فرعيًا كارتانيًا، لأنه موجود في الجبر الصفري للمصفوفات المثلثية العليا تمامًا (أو لأنه مُعَيَّر بواسطة المصفوفات القطرية).

بالنسبة لجبر لي شبه البسيط ذي الأبعاد المحدودة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية 0، جبر جزئي من كارتان${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$له الخصائص التالية:

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$هو أبيلي ،
• للتمثيل المرافق${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} ، الصورة${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$يتكون من عوامل شبه بسيطة (أي مصفوفات قابلة للتقطير).

(كما ذكرنا سابقًا، يمكن في الواقع وصف الجبر الفرعي كارتان بأنه جبر فرعي أقصى من بين تلك التي لها الخاصيتان المذكورتان أعلاه.)

تشير هاتان الخاصيتان إلى أن المؤثرات في${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية في آن واحد، ويوجد تحليل مباشر لمجموعها.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$مثل:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

أين

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

يترك${\displaystyle \Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}}$. ثم${\displaystyle \Phi }$هو نظام جذري ، وعلاوة على ذلك،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$أي، مركزية${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يتزامن مع${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ويمكن كتابة التفكيك أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)}$

وكما اتضح، بالنسبة لكل${\displaystyle \lambda \in \Phi }$،${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$له بُعد واحد، وبالتالي:

${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$.

انظر أيضًا إلى بنية جبر لي شبه البسيط لمزيد من المعلومات.

في الحقول غير المغلقة جبريًا، لا تكون جميع الجبريات الجزئية لكارتان مترافقة. ومن الفئات المهمة الجبريات الجزئية لكارتان المنقسمة : إذا كان جبر لي يقبل جبرًا جزئيًا لكارتان منقسمًا${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ثم يُطلق عليه اسم قابل للتجزئة، والزوج${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$يُطلق عليه اسم جبر لي المنقسم ؛ فكل جبر لي شبه بسيط قابل للانقسام على حقل مغلق جبريًا. أي جبرين كارتان منقسمين يكونان مترافقين، ويؤديان وظيفة مشابهة لجبر كارتان في جبر لي شبه البسيط على الحقول المغلقة جبريًا، لذا فإن جبر لي شبه البسيط المنقسم (بل جبر لي الاختزالي المنقسم) يشترك في العديد من الخصائص مع جبر لي شبه البسيط على الحقول المغلقة جبريًا.

ومع ذلك، ليس كل جبر لي شبه بسيط قابلاً للتجزئة في حقل غير مغلق جبرياً.

الزمرة الجزئية الكارتانية لزمرة لي هي نوع خاص من الزمر الجزئية. تحديدًا، جبر لي الخاص بها (الذي يجسد البنية الجبرية للزمرة) هو نفسه جبر لي جزئي كارتاني. عند النظر إلى العنصر المحايد في زمرة جزئية، نجد أنه يشترك معها في جبر لي نفسه. مع ذلك، لا يوجد تعريف متفق عليه عالميًا للزمرة الجزئية التي تتمتع بهذه الخاصية والتي تُسمى "زمرة كارتان الجزئية"، خاصةً عند التعامل مع الزمر غير المتصلة.

بالنسبة لمجموعات لي المتصلة والمتراصة، فإن مجموعة كارتان الفرعية هي في الأساس مجموعة أبيلية متصلة قصوى - وغالبًا ما يشار إليها باسم " الطور الأقصى ". إن جبر لي المرتبط بهذه المجموعة الفرعية هو أيضًا جبر كارتان فرعي.

عند استكشاف زمر لي المدمجة المنفصلة، ​​يصبح الأمر مثيرًا للاهتمام. توجد تعريفات متعددة لزمرة كارتان. أحد التعريفات الشائعة، الذي اقترحه ديفيد فوغان ، يُعرّفها بأنها مجموعة العناصر التي تُعيد تطبيع طارة عظمى ثابتة مع الحفاظ على حجرة فايل الأساسية . يُطلق على هذا التعريف أحيانًا اسم "زمرة كارتان الكبرى". بالإضافة إلى ذلك، توجد "زمرة كارتان الصغرى"، التي تُعرّف بأنها مركزة طارة عظمى. من المهم ملاحظة أن زمر كارتان هذه قد لا تكون تبديلية دائمًا.