تحسين الطوبولوجيا

يتم حل مسائل تحسين الطوبولوجيا بطريقة منفصلة عن طريق تقسيم مجال التصميم إلى عناصر محدودة. تُعامل كثافات المواد داخل هذه العناصر كمتغيرات للمسألة. في هذه الحالة، تشير كثافة المادة 1 إلى وجود المادة، بينما تشير 0 إلى عدم وجودها. ونظرًا لأن التعقيد الطوبولوجي الممكن تحقيقه للتصميم يعتمد على عدد العناصر، يُفضل استخدام عدد كبير منها. يؤدي استخدام عدد كبير من العناصر المحدودة إلى زيادة التعقيد الطوبولوجي الممكن تحقيقه، ولكنه يأتي بتكلفة. أولًا، يصبح حل نظام العناصر المحدودة أكثر تكلفة. ثانيًا، لا تتوفر خوارزميات قادرة على التعامل مع عدد كبير من المتغيرات المنفصلة ذات القيود المتعددة (يصل عدد العناصر إلى عدة آلاف في كثير من الأحيان). علاوة على ذلك، فهي حساسة بشكل غير عملي لتغيرات المعلمات. ^{[ 1 ]} وقد وردت في الأدبيات مسائل تحتوي على ما يصل إلى 30,000 متغير. ^{[ 2 ]}

أدت التعقيدات المذكورة آنفًا في حل مسائل تحسين الطوبولوجيا باستخدام المتغيرات الثنائية إلى دفع الباحثين للبحث عن خيارات أخرى. أحد هذه الخيارات هو نمذجة الكثافات باستخدام متغيرات متصلة. يمكن الآن لكثافات المواد أن تأخذ قيمًا بين 0 و1. تتوفر خوارزميات قائمة على التدرج تتعامل مع كميات كبيرة من المتغيرات المتصلة وقيود متعددة. ولكن يجب نمذجة خصائص المادة في بيئة متصلة، ويتم ذلك من خلال الاستيفاء. إحدى أكثر منهجيات الاستيفاء استخدامًا هي طريقة المادة الصلبة المتجانسة مع العقوبة (SIMP). ^{[ 3 ] [ 4 ]} هذا الاستيفاء هو في الأساس قانون قوة .${\displaystyle E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})}$يقوم هذا الأسلوب باستيفاء معامل يونغ للمادة في حقل الاختيار القياسي. قيمة معامل الجزاء${\displaystyle p}$يتم أخذها عادة بين${\displaystyle [1,\,3]}$وقد ثبت أن هذا يؤكد البنية المجهرية للمواد. ^{[ 5 ]} في طريقة SIMP، تتم إضافة حد أدنى لمعامل يونغ،${\displaystyle E_{0}}$لضمان أن تكون مشتقات دالة الهدف غير صفرية عندما تصبح الكثافة صفرًا. كلما زاد عامل الجزاء، زادت عقوبة خوارزمية SIMP عند استخدام كثافات غير ثنائية. لسوء الحظ، يُدخل مُعامل الجزاء أيضًا عدم التحدب. ^{[ 6 ]}

تتوفر في السوق العديد من برامج تحسين الطوبولوجيا التجارية. تستخدم معظمها تحسين الطوبولوجيا كمؤشر لشكل التصميم الأمثل، ويتطلب الأمر إعادة بناء الهندسة يدويًا. توجد بعض الحلول التي تُنتج تصاميم مثالية جاهزة للتصنيع الإضافي . ^{[ 7 ]}

الهيكل الصلب هو الهيكل الذي يُظهر أقل إزاحة ممكنة عند تطبيق مجموعة معينة من الشروط الحدية. ويُعدّ مقياس طاقة الانفعال (أو المرونة ) للهيكل في ظل هذه الشروط الحدية مقياسًا شاملًا للإزاحات. فكلما انخفضت طاقة الانفعال، زادت صلابة الهيكل. لذا، فإن الهدف من هذه المسألة هو تقليل طاقة الانفعال.

بشكل عام، يمكن تصور أنه كلما زادت كمية المادة، قلّ الانحراف، لوجود كمية أكبر من المادة لمقاومة الأحمال. لذا، تتطلب عملية التحسين قيدًا معاكسًا، وهو قيد الحجم. وهذا في الواقع عامل تكلفة، إذ لا يرغب أحد في إنفاق مبالغ طائلة على المواد. وللحصول على إجمالي كمية المواد المستخدمة، يمكن إجراء تكامل لحقل الاختيار على الحجم.

وأخيرًا، يتم إدخال المعادلات التفاضلية التي تحكم المرونة للحصول على الصيغة النهائية للمسألة:

${\displaystyle \min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma }$ :\mathbf {\varepsilon} \,\mathrm {d} \Omega }

رهناً بما يلي:

• ${\displaystyle \rho \,\in \,[0,\,1]}$
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }}$
• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon } }$

لكن التنفيذ المباشر لمثل هذه المشكلة في إطار العناصر المحدودة لا يزال غير ممكن بسبب مشاكل مثل:

1. الاعتماد على الشبكة - قد يختلف التصميم الناتج على شبكة معينة اختلافًا كبيرًا عن التصميم الناتج على شبكة أخرى. وتزداد خصائص التصميم تعقيدًا كلما تم تحسين الشبكة. ^{[ 8 ]}
2. عدم الاستقرار العددي - يمكن أن يؤدي تغيير طفيف في أحد معلمات الإدخال إلى تغيير كبير في الحل المحسوب. ^{[ 9 ]}

تُستخدم حاليًا بعض التقنيات، مثل الترشيح القائم على معالجة الصور ^{[ 10 ] ، للتخفيف من بعض هذه المشكلات. ورغم أن هذا بدا لفترة طويلة وكأنه نهج استدلالي بحت، فقد أُجريت روابط نظرية مع المرونة غير المحلية لدعم المغزى الفيزيائي لهذه الأساليب. [ 11 ]}

أتاح الانتشار الحالي لتقنية الطباعة ثلاثية الأبعاد للمصممين والمهندسين استخدام تقنيات تحسين التصميم الهيكلي عند تصميم منتجات جديدة. ويمكن أن يؤدي دمج تحسين التصميم الهيكلي مع الطباعة ثلاثية الأبعاد إلى تقليل الوزن، وتحسين الأداء الهيكلي، وتقصير دورة التصميم والتصنيع، حيث أن هذه التصاميم، على الرغم من كفاءتها، قد لا تكون قابلة للتنفيذ باستخدام تقنيات التصنيع التقليدية.

يمكن تضمين التلامس الداخلي في تحسين الطوبولوجيا بتطبيق طريقة التلامس بالوسط الثالث . ^{[ 20 ] [ 21 ]} تُعدّ طريقة التلامس بالوسط الثالث (TMC) صيغةً ضمنيةً للتلامس، وهي متصلة وقابلة للتفاضل. وهذا ما يجعلها مناسبةً للاستخدام مع مناهج تحسين الطوبولوجيا القائمة على التدرج. وقد استُخدمت المناهج المتجانسة ^{[ 22 ]} ، بالإضافة إلى المناهج المتداخلة ^{[ 19 ] [ 23 ]،} وهي الأكثر شيوعًا في تحسين الطوبولوجيا، لإنشاء تصاميم متنوعة ذات تلامس داخلي. ومؤخرًا، أُضيف التلامس الحراري إلى إطار عمل تحسين الطوبولوجيا باستخدام طريقة التلامس بالوسط الثالث. ^{[ 24 ]}