كاردينال لا يوصف

في نظرية المجموعات ، وهي فرع من فروع الرياضيات، يُعرف العدد الأصلي غير القابل للوصف في لغة Q بأنه نوع معين من الأعداد الأصلية الكبيرة التي يصعب وضع بديهيات لها في لغة Q. توجد أنواع عديدة من الأعداد الأصلية غير القابلة للوصف، تتوافق مع اختيارات مختلفة للغات Q. وقد قدمها هانف وسكوت (1961) .

عدد أصلي${\displaystyle \kappa }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$لا يمكن وصفها إذا كان لكل${\displaystyle \Pi _{m}}$اقتراح${\displaystyle \phi }$، وضبط${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$مع${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)\vDash \phi }$يوجد${\displaystyle \alpha <\kappa }$مع${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in ,A\cap V_{\alpha })\vDash \phi }$[ ^{1 ]} باتباع التسلسل الهرمي لليفي ، ينظر المرء هنا إلى الصيغ التي تحتوي على m- ¹ من التناوبات من الكميات مع كون الكمية الخارجية عالمية.${\displaystyle \Sigma _{m}^{n}}$تُعرَّف الأعداد الأصلية التي لا يمكن وصفها بطريقة مماثلة، ولكن مع مُكمِّم وجودي خارجي. قبل تحديد البنية${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)}$تمت إضافة رمز مسند جديد إلى لغة نظرية المجموعات، والذي يُفسر على النحو التالي:${\displaystyle A}$[ ^{2 ]} الفكرة هي ^أن${\displaystyle \kappa }$لا يمكن تمييزه (بالنظر من الأسفل) عن الأعداد الأصلية الأصغر منه باستخدام أي صيغة من صيغ منطق الرتبة n+1 مع m-1 تبديلات للمكممات، حتى مع ميزة وجود رمز مسند أحادي إضافي (لـ A). وهذا يعني أنه عدد كبير، لأنه يعني بالضرورة وجود العديد من الأعداد الأصلية الأصغر منه ذات خصائص مماثلة.

العدد الأصلي${\displaystyle \kappa }$يُطلق عليه اسم غير قابل للوصف تمامًا إذا كان${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$لا يمكن وصفها لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة m و n . ^{[ 3 ] ص 59}

لو${\displaystyle \alpha }$هو عدد ترتيبي، وهو العدد الأصلي${\displaystyle \kappa }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \alpha }$-لا يمكن وصفها إذا كان لكل صيغة${\displaystyle \phi }$وكل مجموعة فرعية${\displaystyle U}$ل${\displaystyle V_{\kappa }}$بحيث${\displaystyle \phi (U)}$يصمد${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$هناك بعض${\displaystyle \lambda <\kappa }$بحيث${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda })}$يصمد${\displaystyle V_{\lambda +\alpha }}$. لو${\displaystyle \alpha }$إذن، يكون العدد لانهائيًا${\displaystyle \alpha }$الأعداد الترتيبية التي لا يمكن وصفها لا يمكن وصفها على الإطلاق، وإذا${\displaystyle \alpha }$محدود، فهما متماثلان.${\displaystyle \Pi _{\أوميغا }^{\alpha }}$- أعداد ترتيبية لا يمكن وصفها. لا يوجد${\displaystyle \kappa }$إنه${\displaystyle \kappa }$لا يمكن وصفها، ولا يمكن وصفها أيضاً${\displaystyle \alpha }$-عدم القدرة على الوصف يستلزم بالضرورة${\displaystyle \beta }$-عدم القدرة على الوصف لأي${\displaystyle \beta <\alpha }$لكن هناك مفهوم بديل للكاردينالات الأذكياء يبدو منطقياً عندما${\displaystyle \alpha \geq \kappa }$: لو${\displaystyle \phi (U,\kappa )}$يصمد${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$ثم هناك${\displaystyle \lambda <\kappa }$و${\displaystyle \beta }$بحيث${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda },\lambda )}$يصمد${\displaystyle V_{\lambda +\beta }}$[ ^{4 ]} ومع ذلك، من الممكن أن يكون أحد ^{الكاردينالات}${\displaystyle \pi }$يكون${\displaystyle \kappa }$لا يمكن وصفه لـ${\displaystyle \kappa }$أكبر بكثير من${\displaystyle \pi }$[ ^{1 ] الفصل 9، النظرية 4.3}

في الأصل، كان يُطلق على العدد الأساسي κ اسم Q-indescribable إذا كان لكل صيغة Q${\displaystyle \phi }$والعلاقات${\displaystyle A}$، لو${\displaystyle (\kappa ,<,A)\vDash \phi }$ثم يوجد${\displaystyle \alpha <\kappa }$بحيث${\displaystyle (\alpha ,\in ,A\upharpoonright \alpha )\vDash \phi }$[ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ]} باستخدام هذا التعريف ^،${\displaystyle \kappa }$يكون${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$لا يمكن وصفه إذا${\displaystyle \kappa }$منتظم وأكبر من${\displaystyle \aleph _{0}}$[ ^{7 ] ص 207} الكرادلة${\displaystyle \kappa }$أُطلق على الحالات التي استوفت الصيغة المذكورة أعلاه بناءً على التسلسل الهرمي التراكمي اسم "غير قابلة للوصف بقوة Q". ^{[ 8 ]} وقد أُشير إلى هذه الخاصية أيضًا باسم "ترتيبي".${\displaystyle Q}$"عدم القدرة على الوصف". ^{[ 9 ] ص 32}

الكاردينال هو${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}}$لا يمكن وصفه إذا كان${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$لا يمكن وصفه. ^{[ 3 ] ص 59 [ 10 ]} يكون العدد الأصلي غير قابل للوصول إليه إذا وفقط إذا كان${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$- لا يمكن وصفها لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$، أو ما يعادل ذلك إذا كان${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$لا يمكن وصفه، أو بمعنى آخر إذا كان${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$-لا يوصف.

${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$الأعداد الأساسية التي لا يمكن وصفها هي نفسها الأعداد الأساسية المدمجة بشكل ضعيف . ^{[ 3 ] ص 59}

شرط عدم القابلية للوصف يعادل ما يلي:${\displaystyle V_{\kappa }}$تحقيق مبدأ الانعكاس (الذي يمكن إثباته في ZFC)، ولكن تم توسيعه من خلال السماح بصيغ من الرتبة الأعلى مع متغير حر من الرتبة الثانية. ^{[ 10 ]}

للكرادلة${\displaystyle \kappa <\theta }$لنفترض أن التضمين الأولي${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$تضمين صغير إذا${\displaystyle M}$فعل متعدٍ،${\displaystyle M}$هو في${\displaystyle H(\theta )}$، و${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$لأي عدد طبيعي${\displaystyle 1\leq n}$،${\displaystyle \kappa }$يكون${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$لا يمكن وصفه إذا كان هناك${\displaystyle \alpha >\kappa }$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle \theta >\alpha }$يوجد تضمين صغير${\displaystyle j:M\to H_{\theta }}$بحيث${\displaystyle H({\textrm {crit}}(j)^{+})^{M}\prec _{\Sigma _{n}}H({\textrm {crit}}(j)^{+})}$[ ^{11 ] ، النتيجة 4.3}

إذا كان V=L ، فإنه بالنسبة لعدد طبيعي n >0، يكون العدد الأصلي غير القابل للعد غير قابل للوصف Π ¹ _n إذا وفقط إذا كان (n+1)-ثابتًا. ^{[ 12 ]}

لفصل دراسي${\displaystyle X}$من الأعداد الترتيبية و${\displaystyle \Gamma }$-كاردينال لا يوصف${\displaystyle \kappa }$،${\displaystyle X}$ويُقال إنه يتم تطبيقه في${\displaystyle \alpha }$(بصيغة معينة)${\displaystyle \phi }$ل${\displaystyle \Gamma }$) إذا كان هناك${\displaystyle \Gamma }$-صيغة${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$بحيث${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,A)\vDash \phi }$ولكن بدون مقابل${\displaystyle \beta <\alpha }$مع${\displaystyle \beta \notin X}$يفعل${\displaystyle (V_{\beta },\in ,A\cap V_{\beta })\vDash \phi }$hold. ^{[ 1 ] ص.277} وهذا يعطي أداة لإظهار الخصائص الضرورية للأعداد الأصلية التي لا يمكن وصفها.

ملكية${\displaystyle \kappa }$كون${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$لا يمكن وصفه${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$زيادة${\displaystyle V_{\kappa }}$أي أن هناك${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$جملة${\displaystyle V_{\kappa }}$يرضي إذا وفقط إذا${\displaystyle \kappa }$يكون${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$لا يوصف. ^{[ 13 ]} لـ${\displaystyle m>1}$، خاصية الوجود${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$لا يمكن وصفه${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$وخاصية الوجود${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$لا يمكن وصفه${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$[ ^{13 ]} وهكذا، بالنسبة ^لـ${\displaystyle m>1}$كل عدد أصلي إما${\displaystyle \Pi _{n+1}^{m}}$-لا يوصف أو${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{m}}$-لا يوصف هو كلاهما${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$لا يمكن وصفه و${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$لا يمكن وصفها، ومجموعة الأعداد الأصلية التي تليها ثابتة. قوة الاتساق لـ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-الطيور الكاردينالية التي لا توصف أقل من ذلك${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$لا يمكن وصفه، إلا لـ${\displaystyle m>1}$يتوافق ذلك مع ZFC على الأقل${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-لا يمكن وصفه موجود وهو فوق الأدنى${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$عدد أساسي لا يوصف (يثبت ذلك من خلال اتساق ZFC مع${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$-كاردينال لا يوصف و أ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$(العدد الأساسي الذي لا يوصف فوقه).

تظل الأعداد الأساسية التي لا يمكن وصفها على الإطلاق غير قابلة للوصف تمامًا في الكون القابل للبناء ^{[ 3 ] ص 62-63} وفي النماذج الداخلية المتعارف عليها الأخرى، وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$- و${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-عدم القدرة على الوصف.

بالنسبة للأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$، إذا كان كاردينال${\displaystyle \kappa }$يكون${\displaystyle n}$لا يمكن وصفه، هناك ترتيب${\displaystyle \alpha <\kappa }$بحيث${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in )\equiv (V_{\kappa +n},\in )}$، أين${\displaystyle \equiv }$يدل على التكافؤ الأولي . ^{[ 14 ]} لـ${\displaystyle n=0}$هذا شرط ثنائي (انظر: وصفان نموذجيان لنظرية عدم إمكانية الوصول ).

الأعداد الكاردينالية القابلة للقياس هي${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$لا يمكن وصفه، لكن أصغر عدد أصلي قابل للقياس ليس كذلك${\displaystyle \Sigma _{1}^{2}}$-لا يمكن وصفه. ^{[ 13 ] ص 61} ومع ذلك، بافتراض الاختيار ، هناك العديد من الأعداد الأصلية التي لا يمكن وصفها تمامًا والتي تقل عن أي عدد أصلي قابل للقياس.

ل${\displaystyle n\geq 1}$، ZFC+"هناك${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$"العدد الأساسي الذي لا يوصف" متسق تمامًا مع ZFC+ "هناك${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$-كاردينال لا يوصف${\displaystyle \kappa }$بحيث${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$", أي "فشل نظام GCH في${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$"لا يمكن وصفه" (العدد الأساسي). ^{[ 10 ]}

• هانف، دبليو بي؛ سكوت، دي إس (1961)، "تصنيف الأعداد الكاردينالية غير القابلة للوصول"، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 8 : 445، ISSN 0002-9920 
• كاناموري ، أكيهيرو (2003). اللانهائي الأعلى  : الكرادلة الكبار في نظرية المجموعة من بداياتهم (  الطبعة الثانية). سبرينغر. دوى : 10.1007/978-3-540-88867-3_2 . رقم ISBN 3-540-00384-3.