عدد أساسي قابل للقياس

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية المجموعات ، يُعرف العدد الأصلي القابل للقياس بأنه نوع معين من الأعداد الأصلية الكبيرة . ولتعريف هذا المفهوم، يتم إدخال مقياس ثنائي القيمة على عدد أصلي.${\displaystyle \kappa }$أو بشكل أعم على أي مجموعة. بالنسبة للعدد الأصلي${\displaystyle \kappa }$ويمكن وصفها بأنها تقسيم لجميع مجموعاتها الفرعية إلى مجموعات كبيرة وصغيرة بحيث${\displaystyle \kappa }$هي نفسها كبيرة، المجموعة الفارغة وجميع العناصر الفردية${\displaystyle \{\alpha \}}$مع${\displaystyle \alpha \in \kappa }$تكون المجموعات الصغيرة صغيرة، ومكملات المجموعات الصغيرة تكون كبيرة، والعكس صحيح. تقاطع أقل من${\displaystyle \kappa }$المجموعات الكبيرة كبيرة أيضاً. ^{[ 1 ]}

اتضح أن الأعداد الكاردينالية غير القابلة للعد والمزودة بمقياس ثنائي القيمة هي أعداد كاردينالية كبيرة لا يمكن إثبات وجودها من ZFC . ^{[ 2 ]}

تم تقديم مفهوم العدد الكاردينالي القابل للقياس بواسطة ستانيسواف أولام في عام 1930. ^{[ 3 ]}

بصورة رسمية، العدد الأصلي القابل للقياس هو عدد أصلي غير قابل للعد${\displaystyle \kappa }$بحيث يوجد${\displaystyle \kappa }$مقياس إضافي، غير تافه، ذو قيمتين 0 أو 1${\displaystyle \mu }$على مجموعة الطاقة الخاصة بـ${\displaystyle \kappa }$.

هنا،${\displaystyle \kappa }$-الإضافة تعني أنه لكل${\displaystyle \lambda <\kappa }$وكل${\displaystyle \lambda }$مجموعة بحجم${\displaystyle \{A_{\beta }\}_{\beta <\lambda }}$من المجموعات الفرعية المنفصلة ثنائياً${\displaystyle A_{\beta }\subseteq \kappa }$لدينا

${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{\beta <\lambda }A_{\beta }{\Big )}=\sum _{\beta <\lambda }\mu (A_{\beta })}$.

وبعبارة أخرى،${\displaystyle \kappa }$يكون عددًا أصليًا قابلًا للقياس إذا وفقط إذا كان عددًا أصليًا غير قابل للعد مع${\displaystyle \kappa }$مرشح فائق غير رئيسي كامل . هذا يعني أن تقاطع أي أقل تمامًا من${\displaystyle \kappa }$- العديد من المجموعات الموجودة في المرشح الفائق موجودة أيضًا في المرشح الفائق.

وبعبارة أخرى،${\displaystyle \kappa }$يمكن قياسها إذا كانت النقطة الحرجة لتضمين أولي غير تافه للكون${\displaystyle V}$إلى فئة متعدية${\displaystyle M}$و${\displaystyle ^{\kappa }M\subseteq M}$يعود هذا التكافؤ إلى جيروم كيسلر ودانا سكوت ، ويستخدم بناء القوة الفائقة من نظرية النموذج .${\displaystyle V}$هي فئة مناسبة ، وهي مشكلة تقنية لا تظهر عادة عند النظر في القوى الخارقة، ويجب معالجتها، من خلال ما يسمى الآن بحيلة سكوت .

من البديهي ملاحظة أنه إذا${\displaystyle \kappa }$يُقرّ بشيء غير تافه${\displaystyle \kappa }$- قياس إضافي، إذن${\displaystyle \kappa }$يجب أن يكون منتظمًا : من خلال عدم التفاهة و${\displaystyle \kappa }$-الخاصية الجمعية، أي مجموعة فرعية ذات عدد عناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$يجب أن يكون قياسه صفرًا، ثم بواسطة${\displaystyle \kappa }$- خاصية الجمع مرة أخرى، وهذا يعني أن المجموعة بأكملها يجب ألا تكون اتحادًا لعناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$مجموعات ذات عدد عناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$وأخيرًا، إذا${\displaystyle \lambda <\kappa }$إذن لا يمكن أن يكون الأمر كذلك.${\displaystyle \kappa \leq 2^{\lambda }}$إذا كان هذا هو الحال، فسنتمكن من تحديد${\displaystyle \kappa }$مع مجموعة من تسلسلات 0-1 بطول${\displaystyle \lambda }$لكل موضع في المتتالية، يجب أن يكون قياس إما مجموعة المتتاليات التي تحتوي على 1 في ذلك الموضع أو مجموعة المتتاليات التي تحتوي على 0 في ذلك الموضع مساويًا لـ 1. تقاطع هذه${\displaystyle \lambda }$وبالتالي، فإن العديد من المجموعات الفرعية ذات القياس 1 يجب أن يكون لها أيضًا قياس 1، ولكنها ستحتوي على متتالية واحدة فقط، وهو ما يتناقض مع عدم تفاهية القياس. لذا، بافتراض بديهية الاختيار (كتقسيم ثلاثي للعدد بين κ و 2λ ⁾ ، يمكننا استنتاج أن${\displaystyle \kappa }$هو عدد أصلي قوي يمثل حدًا ، مما يكمل برهان عدم إمكانية الوصول إليه .

على الرغم من أنه يترتب على نظرية ZFC أن كل عدد أصلي قابل للقياس غير قابل للوصول (وغير قابل للتعبير عنه ، كما يقول رامزي ، إلخ)، إلا أنه يتوافق مع نظرية ZF أن العدد الأصلي القابل للقياس يمكن أن يكون عددًا أصليًا لاحقًا . ويترتب على نظرية ZF  + AD أن ${\displaystyle \omega _{1}}$قابلة للقياس، ^{[ 4 ]} وأن كل مجموعة فرعية من${\displaystyle \omega _{1}}$يحتوي على مجموعة فرعية مغلقة وغير محدودة أو يكون منفصلاً عنها .

أظهر أولام أن أصغر عدد أصلي${\displaystyle \kappa }$يجب أن تقبل أي مقياس ثنائي القيم غير تافه وقابل للعد الجمعي في الواقع${\displaystyle \kappa }$- قياس إضافي. (إذا كانت هناك مجموعة من أقل من${\displaystyle \kappa }$مقياس-0 مجموعات فرعية كان اتحادها${\displaystyle \kappa }$إذاً، فإن المقياس المُستحث على هذه المجموعة سيكون مثالاً مضاداً للحد الأدنى من${\displaystyle \kappa }$ومن ثم، يمكن للمرء أن يثبت (باستخدام بديهية الاختيار) أن أصغر عدد أصلي من هذا القبيل يجب أن يكون غير قابل للوصول.

لو${\displaystyle \kappa }$قابل للقياس و${\displaystyle p\in V_{\kappa }}$و${\displaystyle M}$(القوة العظمى لـ${\displaystyle V}$) يرضي${\displaystyle \psi (\kappa ,p)}$ثم مجموعة${\displaystyle \alpha <\kappa }$بحيث${\displaystyle V}$يرضي${\displaystyle \psi (\alpha ,p)}$ثابت في${\displaystyle \kappa }$(في الواقع مجموعة من القياس 1). على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \psi }$هو${\displaystyle \Pi _{1}}$الصيغة و${\displaystyle V}$يرضي${\displaystyle \psi (\kappa ,p)}$، ثم${\displaystyle M}$يرضيه وبالتالي${\displaystyle V}$يرضي${\displaystyle \psi (\alpha ,p)}$لمجموعة ثابتة من${\displaystyle \alpha <\kappa }$يمكن استخدام هذه الخاصية لإظهار أن${\displaystyle \kappa }$يُعدّ هذا حدًا لمعظم أنواع الأعداد الكبيرة التي تكون أضعف من أن تُقاس. لاحظ أن المرشح الفائق أو القياس يشهد على ذلك.${\displaystyle \kappa }$قابل للقياس، لا يمكن أن يكون في${\displaystyle M}$لأن أصغر عدد أصلي قابل للقياس من هذا القبيل يجب أن يكون له عدد أصلي آخر تحته، وهو أمر مستحيل.

إذا بدأ المرء بتضمين أساسي${\displaystyle j_{1}}$ل${\displaystyle V}$داخل${\displaystyle M_{1}}$مع نقطة حرجة${\displaystyle \kappa }$عندها يمكن تعريف المرشح الفائق.${\displaystyle U}$على${\displaystyle \kappa }$مثل${\displaystyle \{S\subseteq \kappa \mid \kappa \in j_{1}(S)\}}$ثم، أخذ قوة خارقة من${\displaystyle V}$زيادة${\displaystyle U}$، يمكننا الحصول على تضمين أساسي آخر${\displaystyle j_{2}}$ل${\displaystyle V}$داخل${\displaystyle M_{2}}$ومع ذلك، من المهم أن نتذكر أن${\displaystyle j_{2}\neq j_{1}}$وبالتالي، قد تكون أنواع أخرى من الأعداد الكبيرة، مثل الأعداد القوية، قابلة للقياس أيضًا، ولكن ليس باستخدام نفس التضمين. ويمكن إثبات أن العدد القوي${\displaystyle \kappa }$قابل للقياس وله أيضًا${\displaystyle \kappa }$- العديد من الأعداد الأساسية القابلة للقياس أسفلها.

كل عدد أصلي قابل للقياس${\displaystyle \kappa }$هو عدد كبير جدًا (0) لأنه${\displaystyle ^{\kappa }M\subseteq M}$أي كل دالة من${\displaystyle \kappa }$ل${\displaystyle M}$، موجود في${\displaystyle M}$. بالتالي،${\displaystyle V_{\kappa +1}\subseteq M}$.

إذا وُجد عدد أصلي قابل للقياس، فكل${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{1}}$(فيما يتعلق بالتسلسل الهرمي التحليلي ) تمتلك مجموعة الأعداد الحقيقية مقياس ليبيغ . ^{[ 4 ]} على وجه الخصوص، يجب ألا تكون أي مجموعة من الأعداد الحقيقية غير قابلة للقياس${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{1}}$.

كاردينال${\displaystyle \kappa }$يُطلق عليه اسم قابل للقياس ذو قيمة حقيقية إذا كان هناك${\displaystyle \kappa }$مقياس احتمالي إضافي على مجموعة القوى لـ${\displaystyle \kappa }$التي تتلاشى عند المجموعات الفردية. تم تقديم الأعداد الأصلية القابلة للقياس ذات القيم الحقيقية بواسطة ستيفان باناش ( 1930 ) . أظهر باناش وكوراتوفسكي (1929) أن فرضية الاستمرارية تستلزم أن ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ليست قابلة للقياس بقيم حقيقية. أثبت ستانيسلاف أولام ( 1930 ) (انظر أدناه لأجزاء من برهان أولام) أن الأعداد الأصلية القابلة للقياس بقيم حقيقية غير قابلة للوصول ضعيفًا (هي في الواقع ضعيفة ماهلو ). جميع الأعداد الأصلية القابلة للقياس هي أعداد أصلية قابلة للقياس بقيم حقيقية، وعدد أصلي قابل للقياس بقيم حقيقية ${\displaystyle \kappa }$يكون قابلاً للقياس إذا وفقط إذا${\displaystyle \kappa }$أكبر من${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$وبالتالي، يكون العدد الأصلي قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان قابلاً للقياس بقيمة حقيقية وغير قابل للوصول إليه بقوة. العدد الأصلي القابل للقياس بقيمة حقيقية أقل من أو يساوي${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$يوجد إذا وفقط إذا كان هناك امتداد قابل للعد والإضافة لمقياس ليبيغ إلى جميع مجموعات الأعداد الحقيقية إذا وفقط إذا كان هناك مقياس احتمالية بدون ذرات على مجموعة القوى لبعض المجموعات غير الفارغة.

أظهر سولوفاي (1971) أن وجود الأعداد الكاردينالية القابلة للقياس في ZFC، والأعداد الكاردينالية القابلة للقياس ذات القيم الحقيقية في ZFC، والأعداد الكاردينالية القابلة للقياس في ZF، متسقة بالتساوي .

ضعف عدم إمكانية الوصول إلى الأعداد الأصلية القابلة للقياس ذات القيمة الحقيقية

يترك${\displaystyle \mu }$أن يكون مقياسًا خارجيًا على مجموعة${\displaystyle X}$لنفترض أن عددًا أصليًا${\displaystyle \alpha }$هو عدد أولام إذا كان ^{[ 5 ] [ nb 1 ]}

${\displaystyle \mu (X)\leq \infty }$،

1

${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$لكل${\displaystyle x\in X}$،

2

الجميع${\displaystyle A\subseteq X}$قابلة للقياس بواسطة μ ،

3

ثم${\displaystyle |X|\leq \alpha }$يشير إلى${\displaystyle \mu (X)=0}$.

وبعبارة أخرى، إذا${\displaystyle F}$هي مجموعة من المجموعات الفرعية المنفصلة مثنى مثنى من${\displaystyle X}$،${\displaystyle \alpha }$هو رقم أولام إذا كان كلما

1. ${\displaystyle \mu (\textstyle \bigcup F)<\infty }$،
2. ${\displaystyle \mu (A)=0}$ل${\displaystyle A\in F}$،
3. ${\displaystyle \textstyle \bigcup G}$يكون${\displaystyle \mu }$-قابل للقياس لكل${\displaystyle G\subset F}$،

ثم${\displaystyle |F|\leq \alpha }$يشير إلى${\displaystyle \mu (\textstyle \bigcup F)=0}$.

أصغر عدد أصلي لانهائي ℵ _{≤ 0} هو عدد أولام. فئة أعداد أولام مغلقة تحت عملية الخلفاء الأصليين . ^{[ 6 ]} إذا كان عدد أصلي لانهائي${\displaystyle \beta }$له سلف مباشر${\displaystyle \alpha }$هذا عدد أولام، افترض${\displaystyle \mu }$يحقق الخصائص ( 1 ) - ( 3 ) مع${\displaystyle X=\beta }$في نموذج فون نيومان للأعداد الترتيبية والأعداد الأصلية، لكل${\displaystyle x\in \beta }$اختر دالة أحادية${\displaystyle f_{x}:x\to \alpha }$وحدد المجموعات

${\displaystyle U(b,a)=\{x\in \beta \mid f_{x}(b)=a\}}$.

بما أن الوظائف${\displaystyle f_{x}}$المجموعات أحادية التباين

${\displaystyle \{U(b,a)\mid b\in \beta \}}$مع${\displaystyle a\in \alpha }$مُثَبَّت

و

${\displaystyle \{U(b,a)\mid a\in \alpha \}}$مع${\displaystyle b\in \beta }$مُثَبَّت

تكون منفصلة مثنى مثنى. وفقًا للخاصية ( 1 ) لـ${\displaystyle \mu }$، المجموعة

${\displaystyle \{b\in \beta \mid \mu (U(b,a))>0\}}$

هو قابل للعد ، وبالتالي

${\displaystyle {\big |}\{(b,a)\in \beta \times \alpha \mid \mu (U(b,a))>0\}{\big |}\leq \aleph _{0}\cdot \alpha }$.

وبالتالي، هناك${\displaystyle b_{0}\in \beta }$بحيث

${\displaystyle \mu (U(b_{0},a))=0}$للجميع${\displaystyle a\in \alpha }$،

وهذا يعني، بما أن${\displaystyle \alpha }$هو عدد أولام، وباستخدام التعريف الثاني، فإن

${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a){\Big )}=0}$.

لو${\displaystyle b_{0}<x<\beta }$و${\displaystyle f_{x}(b_{0})=a_{x}}$ثم${\displaystyle x\in U(b_{0},a_{x})}$. هكذا

${\displaystyle \beta =b_{0}\cup \{b_{0}\}\cup \bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a)}$.

بحسب الخاصية ( 1 )،${\displaystyle \mu (\{b_{0}\})=0}$و منذ ذلك الحين${\displaystyle |b_{0}|\leq \alpha }$، من خلال ( 3 ) و( 1 ) و( 2 )،${\displaystyle \mu (b_{0})=0}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \mu (\beta )=0}$والخلاصة هي أن${\displaystyle \beta }$هو رقم أولام.

يوجد برهان مماثل ^{[ 7 ]} على أن القيمة العليا لمجموعة${\displaystyle S}$أرقام أولام مع${\displaystyle |S|}$عدد أولام هو عدد أولام أيضاً. وبالاقتران مع النتيجة السابقة، فإن هذا يعني أن العدد الأصلي الذي ليس عدد أولام يكون غير قابل للوصول إليه بشكل ضعيف .

• المقياس الطبيعي
• أمر ميتشل
• قائمة الخصائص الأساسية الكبيرة

• باناخ ، ستيفان (1930)، “Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen” ، Fundamenta Mathematicae ، 15 : 97–101 ، دوى : 10.4064/fm-15-1-97-101 ، ISSN 0016-2736 .
• الأماكن القريبة : كوراتوفسكي ، كازيميرز (1929)، “Sur une généralisation du issuese de la mesure” ، أساسيات الرياضيات ، 14 : 127–131 ، دوى : 10.4064/fm-14-1-127-131 ، ISSN 0016-2736 .
• دريك، ف. ر. (1974)، نظرية المجموعات: مقدمة في الأعداد الكبيرة (دراسات في المنطق وأسس الرياضيات؛ المجلد 76) ، دار نشر إلسيفير للعلوم المحدودة، رقم ISBN 978-0-7204-2279-5.
• فيدرر، هـ. (1996) [1969]، نظرية القياس الهندسي ، كلاسيكيات في الرياضيات (الطبعة الأولى المعاد طباعتها  )، برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ ، ISBN 978-3540606567.
• جيتش، توماس (2002)، نظرية المجموعات، طبعة الألفية الثالثة (منقحة وموسعة) ، سبرينغر، رقم ISBN 3-540-44085-2.
• كاناموري ، أكيهيرو (2003)، اللانهائي الأعلى  : الكرادلة الكبار في نظرية المجموعات من بداياتهم (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 3-540-00384-3.
• مادي، بينيلوبي (1988)، "الإيمان بالبديهيات. الجزء الثاني"، مجلة المنطق الرمزي ، 53 (3): 736-764 ، doi : 10.2307/2274569 ، JSTOR 2274569 ، S2CID 16544090  تتوفر نسخة من الجزأين الأول والثاني من هذه المقالة مع التصحيحات على صفحة المؤلف على الإنترنت .
• سولوفاي، روبرت م. (1971)، "الأعداد الأصلية القابلة للقياس ذات القيم الحقيقية"، نظرية المجموعات البديهية (وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد الثالث عشر، الجزء الأول، جامعة كاليفورنيا، لوس أنجلوس، كاليفورنيا، 1967) ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، الصفحات 397-428 ، MR 0290961  .
• أولام ، ستانيسلاف (1930)، “Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre” ، Fundamenta Mathematicae ، 16 : 140–150 ، دوى : 10.4064/fm-16-1-140-150 ، ISSN 0016-2736 .