كاردينال لا يمكن الوصول إليه

في نظرية المجموعات ، يُطلق على العدد الأصلي اسم "عدد أصلي غير قابل للوصول بقوة" إذا كان غير قابل للعد ، ومنتظم ، وعدد أصلي ذو حد قوي . ويُطلق على العدد الأصلي اسم " عدد أصلي غير قابل للوصول بشكل ضعيف" إذا كان غير قابل للعد، ومنتظم، وعدد أصلي ذو حد ضعيف .

منذ حوالي عام 1950، أصبح مصطلح "العدد الكاردينالي غير المتاح" يعني عادةً "العدد الكاردينالي غير المتاح بشدة"، بينما كان يعني سابقًا "العدد الكاردينالي غير المتاح بشكل ضعيف". وقد أدخل هاوسدورف (1908) مصطلح "العدد الكاردينالي غير المتاح بشكل ضعيف" . أما مصطلح "العدد الكاردينالي غير المتاح بشدة" فقد أدخله كل من سيربينسكي وتارسكي (1930) وزيرميلو (1930) ؛ وفي الأخير، تمت الإشارة إليه جنبًا إلى جنب مع${\displaystyle \aleph _{0}}$مثل Grenzzahlen ( الإنجليزية "الأرقام المحدودة"). ^{[ 1 ]}

كل عدد أصلي غير قابل للوصول بقوة هو عدد أصلي غير قابل للوصول بشكل ضعيف. وتفترض فرضية الاستمرارية المعممة أن جميع الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بشكل ضعيف هي أيضاً غير قابلة للوصول بقوة.

المفهومان للعدد الكاردينالي الذي لا يمكن الوصول إليه${\displaystyle \kappa }$وصف عدد العناصر${\displaystyle \kappa }$والتي لا يمكن الحصول عليها كعدد عناصر نتيجة عمليات نظرية المجموعات النموذجية التي تتضمن فقط مجموعات ذات عدد عناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$ومن هنا جاءت كلمة "غير قابل للوصول". وبفرض أن الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول غير قابلة للعد، فإنها تصبح كبيرة جدًا.

على وجه الخصوص، لا يشترط وجود الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول على الإطلاق. أي أنه يُعتقد بوجود نماذج لنظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل ، حتى مع بديهية الاختيار (ZFC)، لا توجد فيها أعداد أصلية غير قابلة للوصول. ^{[ 2 ]} من ناحية أخرى، يُعتقد أيضًا بوجود نماذج لـ ZFC توجد فيها أعداد أصلية غير قابلة للوصول بشكل كبير . إن قدرة ZFC على استيعاب هذه المجموعات الكبيرة، دون اشتراط وجودها، تُمهد الطريق لبديهيات الأعداد الأصلية الكبيرة . انظر أيضًا: النماذج والاتساق .

إن وجود عدد أصلي يصعب الوصول إليه بشدة يعادل وجود كون غروتينديك . إذا${\displaystyle \kappa }$إذا كان الكاردينال شديد الصعوبة في الوصول إليه، فإن مرحلة فون نيومان${\displaystyle V_{\kappa }}$هو عالم غروتينديك. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle U}$إذا كان الكون من صنع غروتينديك، فهناك عنصر أساسي يصعب الوصول إليه بشدة${\displaystyle \kappa }$بحيث${\displaystyle V_{\kappa }=U}$وكما هو متوقع من مراسلاتهم مع الأعداد الأساسية التي يصعب الوصول إليها بشدة، فإن عوالم غروتينديك مغلقة بشكل جيد للغاية في ظل عمليات نظرية المجموعات.

يكون العدد الترتيبي عددًا أصليًا ضعيف الوصول إليه إذا وفقط إذا كان عددًا ترتيبيًا منتظمًا وكان حدًا للأعداد الترتيبية المنتظمة. (صفر، واحد، و${\displaystyle \omega }$هي أعداد ترتيبية منتظمة، ولكنها ليست حدودًا للأعداد الترتيبية العادية.)

من بعض وجهات النظر ، يُعدّ اشتراط أن يكون العدد الأصلي الذي يصعب الوصول إليه بشكل ضعيف أو قوي غير قابل للعد أمراً غير طبيعي أو غير ضروري. على الرغم من${\displaystyle \aleph _{0}}$هو عدد قابل للعد، وهو عدد منتظم، وهو عدد أصلي ذو حد قوي. ${\displaystyle \aleph _{0}}$وهو أيضًا أصغر عدد أصلي منتظم ذو نهاية ضعيفة. بافتراض بديهية الاختيار، فإن كل عدد أصلي لانهائي آخر هو إما عدد أصلي منتظم أو عدد أصلي ذو نهاية ضعيفة. ومع ذلك، لا يمكن أن يكون العدد الأصلي منتظمًا أو عددًا أصليًا ذا نهاية ضعيفة إلا إذا كان عددًا أصليًا كبيرًا جدًا.${\displaystyle \kappa }$أكبر من${\displaystyle \aleph _{0}}$هو بالضرورة غير قابل للعد، إذا${\displaystyle \kappa }$وهو أيضًا عدد أساسي منتظم وضعيف الحد.${\displaystyle \kappa }$يجب أن يكون عددًا أساسيًا يصعب الوصول إليه بشكل ضعيف.

لنفترض أن${\displaystyle \kappa }$هو عدد أصلي. تشير نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع الاختيار (ZFC) إلى أن${\displaystyle \kappa }$المستوى 1 من عالم فون نيومان${\displaystyle V_{\kappa }}$هو نموذج لـ ZFC كلما${\displaystyle \kappa }$يصعب الوصول إليه بشدة. علاوة على ذلك، تشير ZF إلى أن كون غودل${\displaystyle L_{\kappa }}$هو نموذج لـ ZFC كلما${\displaystyle \kappa }$هو عدد غير قابل للوصول إليه بشكل ضعيف. وبالتالي، فإنّ ZF مع عبارة "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول إليه بشكل ضعيف" يستلزم أن ZFC متسق. لذلك، فإنّ الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول هي نوع من الأعداد الأصلية الكبيرة .

لو${\displaystyle V}$هو نموذج قياسي لـ ZFC و${\displaystyle \kappa }$هو مكان لا يمكن الوصول إليه${\displaystyle V}$، ثم

1. ${\displaystyle V_{\kappa }}$يُعد أحد النماذج المقصودة لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ؛
2. ${\displaystyle ديف(V_{\kappa })}$وهو أحد النماذج المقصودة لنسخة مندلسون من نظرية المجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل التي تستبعد الاختيار العالمي، وتستبدل تحديد الحجم بالاستبدال والاختيار العادي؛
3. و${\displaystyle V_{\kappa +1}}$يُعد أحد النماذج المقصودة لنظرية مورس-كيلي للمجموعات .

هنا،${\displaystyle Def(X)}$هي مجموعة${\displaystyle \Delta _{0}}$مجموعات فرعية قابلة للتحديد من${\displaystyle X}$(انظر الكون القابل للبناء ). تجدر الإشارة إلى أن الادعاء الأول يمكن إضعافه:${\displaystyle \kappa }$لا يشترط أن يكون غير قابل للوصول، أو حتى رقمًا أصليًا، لكي${\displaystyle V_{\kappa }}$ليكون نموذجًا قياسيًا لشركة ZF (انظر أدناه ).

يفترض${\displaystyle V}$هو نموذج لـ ZFC. إما${\displaystyle V}$لا يحتوي على أي شيء قوي يصعب الوصول إليه أو، مع الأخذ${\displaystyle \kappa }$أن تكون أصغر قوي لا يمكن الوصول إليه في${\displaystyle V}$،${\displaystyle V_{\kappa }}$هو نموذج قياسي لـ ZFC لا يحتوي على عناصر غير قابلة للوصول بقوة. وبالتالي، فإن اتساق ZFC يستلزم اتساق ZFC + "لا توجد عناصر غير قابلة للوصول بقوة". وبالمثل، إما${\displaystyle V}$لا يحتوي على أي شيء ضعيف أو غير قابل للوصول، أو، مع الأخذ${\displaystyle \kappa }$أن يكون أصغر عدد ترتيبي يصعب الوصول إليه بشكل ضعيف بالنسبة لأي نموذج فرعي قياسي من${\displaystyle V}$، ثم${\displaystyle L_{\kappa }}$يُعدّ نموذج ZFC نموذجًا قياسيًا لا يحتوي على أعداد غير قابلة للوصول ضعيفة. لذا، فإن اتساق ZFC يستلزم اتساق ZFC + "لا توجد أعداد غير قابلة للوصول ضعيفة". وهذا يُبيّن أن ZFC لا يُمكنه إثبات وجود عدد أصلي غير قابل للوصول، وبالتالي فإن ZFC متسق مع عدم وجود أي أعداد أصلية غير قابلة للوصول.

إن مسألة ما إذا كانت نظرية ZFC متسقة مع وجود عدد أصلي غير قابل للوصول إليها أكثر تعقيدًا. يمكن صياغة البرهان المذكور في الفقرة السابقة، والذي ينص على أن اتساق ZFC يستلزم اتساق ZFC + "لا يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول إليه"، ضمن ZFC نفسها. مع ذلك، بافتراض أن ZFC متسقة، لا يمكن صياغة أي برهان على أن اتساق ZFC يستلزم اتساق ZFC + "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول إليه" ضمن ZFC نفسها. هذا ما يستنتج من نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل ، والتي تُبين أنه إذا كانت ZFC + "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول إليه" متسقة، فلا يمكنها إثبات اتساقها. ولأن ZFC + "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول إليه" تُثبت اتساق ZFC، فلو أثبتت ZFC أن اتساقها يستلزم اتساق ZFC + "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول إليه"، لكانت هذه النظرية الأخيرة قادرة على إثبات اتساقها، وهو أمر مستحيل إذا كانت متسقة.

توجد حجج تدعم وجود أعداد أصلية غير قابلة للوصول لا يمكن صياغتها رسميًا في ZFC. إحدى هذه الحجج، التي قدمها هرباتشيك وجيتش (1999 ، ص 279) ، هي أن فئة جميع الأعداد الترتيبية لنموذج معين ${\displaystyle M}$إن نظرية المجموعات نفسها ستكون عددًا أساسيًا غير قابل للوصول إليه إذا كان هناك نموذج أكبر لنظرية المجموعات يمتد${\displaystyle M}$والحفاظ على مجموعة عناصر القوى الخاصة بـ${\displaystyle M}$.

توجد العديد من البديهيات المهمة في نظرية المجموعات التي تؤكد وجود فئة محددة من الأعداد الأصلية التي تحقق شرطًا معينًا. في حالة عدم إمكانية الوصول، تكون البديهية المقابلة هي التأكيد على أنه لكل عدد أصلي${\displaystyle \mu }$هناك رقم أساسي لا يمكن الوصول إليه${\displaystyle \kappa }$وهو الأكبر حجماً بشكل قاطع،${\displaystyle \mu <\kappa }$وبالتالي، يضمن هذا المبدأ وجود سلسلة لانهائية من الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول (ويُشار إليه أحيانًا بمبدأ العدد الأصلي غير القابل للوصول). وكما هو الحال بالنسبة لوجود أي عدد أصلي غير قابل للوصول، فإن مبدأ العدد الأصلي غير القابل للوصول غير قابل للإثبات من مبادئ ZFC. بافتراض ZFC، فإن مبدأ العدد الأصلي غير القابل للوصول يُكافئ مبدأ الكون لغروتينديك وفيردييه : كل مجموعة مُحتواة في كون غروتينديك . يُرمز إلى مبادئ ZFC مع مبدأ الكون (أو ما يُكافئه مبدأ العدد الأصلي غير القابل للوصول) بالرمز ZFCU (لا ينبغي الخلط بينها وبين ZFC مع العناصر غير المُحددة ). يُفيد هذا النظام البديهي في إثبات، على سبيل المثال، أن لكل فئة تضمين يونيدا مناسب .

هذه بديهية أساسية كبيرة ضعيفة نسبياً، إذ أنها تعني ببساطة أن${\displaystyle \infty }$1- غير قابل للوصول إليه بلغة القسم التالي، حيث${\displaystyle \infty }$يشير إلى أصغر ترتيب غير موجود في${\displaystyle V}$، أي فئة جميع الأعداد الترتيبية في نموذجك.

على المدى "${\displaystyle \alpha }$مصطلح "العدد الكاردينالي الذي يصعب الوصول إليه" غامض، ويستخدم مؤلفون مختلفون تعريفات غير متكافئة. أحد هذه التعريفات هو أن العدد الكاردينالي${\displaystyle \kappa }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$غير قابل للوصول ، لأي ترتيب${\displaystyle \alpha }$، لو${\displaystyle \kappa }$غير متاح ولكل ترتيب${\displaystyle \beta <\alpha }$، مجموعة${\displaystyle \beta }$-الأشخاص الذين لا يمكن الوصول إليهم أقل من${\displaystyle \kappa }$غير محدود في${\displaystyle \kappa }$(وبالتالي من حيث العددية)${\displaystyle \kappa }$، منذ${\displaystyle \kappa }$(منتظم). في هذه الحالة، تكون الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول (0) هي نفسها الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة. تعريف آخر محتمل هو أن العدد الأصلي${\displaystyle \kappa }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-غير قابل للوصول بشكل ضعيف إذا${\displaystyle \kappa }$منتظم ولكل ترتيب${\displaystyle \beta <\alpha }$، مجموعة${\displaystyle \beta }$-الأشخاص الذين يصعب الوصول إليهم بشكل ضعيف أقل من${\displaystyle \kappa }$غير محدود في${\displaystyle \kappa }$في هذه الحالة، تكون الأعداد الكاردينالية غير القابلة للوصول الضعيف من النوع 0 هي الأعداد الكاردينالية العادية، والأعداد الكاردينالية غير القابلة للوصول الضعيف من النوع 1 هي الأعداد الكاردينالية غير القابلة للوصول الضعيف.

ال${\displaystyle \alpha }$يمكن أيضًا وصف الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بأنها نقاط ثابتة للدوال التي تحسب الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول. على سبيل المثال، نرمز لها بـ${\displaystyle \psi _{0}(\lambda )}$ال${\displaystyle \lambda }$^{إذا كان} العدد الأصلي غير قابل للوصول، فإن النقاط الثابتة لـ${\displaystyle \psi _{0}}$هي الأعداد الأصلية التي لا يمكن الوصول إليها برقم 1. ثم السماح${\displaystyle \psi _{\beta }(\lambda )}$كن${\displaystyle \lambda }$^ذ${\displaystyle \beta }$-النقاط الأساسية التي لا يمكن الوصول إليها، النقاط الثابتة لـ${\displaystyle \psi _{\beta }}$هي${\displaystyle (\beta +1)}$الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول (القيم${\displaystyle \psi _{\beta +1}(\lambda )}$. لو${\displaystyle \alpha }$هو عدد ترتيبي حدي،${\displaystyle \alpha }$نقطة غير قابلة للوصول هي نقطة ثابتة لكل${\displaystyle \psi _{\beta }}$ل${\displaystyle \beta <\alpha }$(القيمة${\displaystyle \psi _{\alpha }(\lambda )}$هو${\displaystyle \lambda }$⁽ مثل هذا العدد الأصلي). تُعد عملية أخذ النقاط الثابتة للدوال التي تولد أعدادًا أصلية أكبر بشكل متتابع شائعة في دراسة الأعداد الأصلية الكبيرة .

مصطلح "شديد التعذر الوصول إليه" غامض وله ثلاثة معانٍ متضاربة على الأقل. يستخدمه العديد من المؤلفين للدلالة على نهاية منتظمة للأعداد الأصلية شديدة التعذر الوصول إليها (1-غير قابل للوصول). بينما يستخدمه مؤلفون آخرون للدلالة على أن${\displaystyle \kappa }$يكون${\displaystyle \kappa }$-غير قابل للوصول. (لا يمكن أن يكون كذلك أبداً)${\displaystyle \kappa +1}$(غير قابل للوصول.) ويستخدم أحيانًا بمعنى ماهلو كاردينال .

على المدى${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$مصطلح "شديد الصعوبة في الوصول" غامض أيضاً. يستخدمه بعض المؤلفين بمعنى${\displaystyle \alpha }$غير قابل للوصول . يستخدم مؤلفون آخرون التعريف الذي ينص على أنه لأي عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$، كاردينال${\displaystyle \kappa }$يكون${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$-غير قابل للوصول إليه بشكل مفرط إذا وفقط إذا${\displaystyle \kappa }$يصعب الوصول إليه للغاية ولكل ترتيب${\displaystyle \beta <\alpha }$، مجموعة${\displaystyle \beta }$- الأشخاص الذين يصعب الوصول إليهم بشكل كبير أقل من${\displaystyle \kappa }$غير محدود في${\displaystyle \kappa }$.

يمكن تعريف الأعداد الأساسية فائقة الصعوبة وما إلى ذلك بطرق مماثلة، وكالعادة هذا المصطلح غامض.

باستخدام مصطلح "غير قابل للوصول بشكل ضعيف" بدلاً من "غير قابل للوصول"، يمكن وضع تعريفات مماثلة لمصطلح "ضعيف".${\displaystyle \alpha }$-غير متاح"، "غير متاح بشكل ضعيف للغاية"، و"ضعيف${\displaystyle \alpha }$"شديدة الصعوبة في الوصول إليها".

طيور ماهلو الكاردينالية غير قابلة للوصول، وغير قابلة للوصول للغاية، وغير قابلة للوصول للغاية، ... وهكذا.

أولاً، كاردينالور${\displaystyle \kappa }$لا يمكن الوصول إليه إلا إذا${\displaystyle \kappa }$لها خاصية الانعكاس التالية : لجميع المجموعات الفرعية${\displaystyle U\subset V_{\kappa }}$، يوجد${\displaystyle \alpha <\kappa }$بحيث${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$هي بنية فرعية أساسية من${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}$(في الواقع، مجموعة من هذا القبيل${\displaystyle \alpha }$مغلق غير محدود في${\displaystyle \kappa }$.) لذلك،${\displaystyle \kappa }$يكون${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$- لا يمكن وصفه للجميع${\displaystyle n\geq 0}$من ناحية أخرى، ليس بالضرورة أن يكون هناك ترتيب${\displaystyle \alpha >\kappa }$بحيث${\displaystyle V_{\kappa }}$وإذا صحّ هذا، فـ${\displaystyle \kappa }$يجب أن يكون${\displaystyle \kappa }$العدد الأساسي الذي لا يمكن الوصول إليه. ^{[ 3 ]}

يمكن إثبات ذلك في ZF${\displaystyle V}$تتمتع بخاصية انعكاس أضعف إلى حد ما، حيث البنية الفرعية${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$يكفي أن يكون "أوليًا" بالنسبة لمجموعة محدودة من الصيغ. في نهاية المطاف، يكمن سبب هذا التضعيف في أنه بينما علاقة الرضا النظرية النموذجية${\displaystyle \vDash }$يمكن تعريف الحقيقة الدلالية نفسها (أي${\displaystyle \vDash _{V}}$) لا يمكن ذلك، بسبب نظرية تارسكي .

ثانيًا، في ظل نظرية زيرميلو للتصنيف ، يمكن إثبات أن${\displaystyle \kappa }$لا يمكن الوصول إليه إلا إذا${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$هو نموذج من الدرجة الثانية لـ ZFC.

في هذه الحالة، وبحسب خاصية الانعكاس المذكورة أعلاه، يوجد${\displaystyle \alpha <\kappa }$بحيث${\displaystyle (V_{\alpha },\in )}$يُعدّ نموذجًا قياسيًا لـ ZFC ( من الدرجة الأولى ). وبالتالي، فإن وجود عدد أصلي غير قابل للوصول إليه هو فرضية أقوى من وجود نموذج متعدٍ لـ ZFC.

عدم إمكانية الوصول إلى${\displaystyle \kappa }$هو${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$العقار فوق${\displaystyle V_{\kappa }}$[ ^{4 ] بينما} الكاردينال${\displaystyle \pi }$كونها غير قابلة للوصول (في نموذج معين من${\displaystyle \mathrm {ZF} }$يحتوي على${\displaystyle \pi }$) يكون${\displaystyle \Pi _{1}}$[ ^{5 ]​}

في نظرية ZF بدون بديهية الاختيار ، يمكننا تعريف معنى أن يكون العنصر غير قابل للوصول بقوة. يكون العدد الترتيبي κ غير قابل للوصول بقوة إذا وفقط إذا كان ω < κ، ولكل α < κ، ولكل دالة من V _α إلى κ، يوجد β < κ بحيث تكون صورة الدالة مجموعة جزئية من β. ^{[ 6 ]}

وبالمثل، يكون العدد الترتيبي κ غير قابل للوصول إليه بشكل ضعيف إذا وفقط إذا كان ω < κ، ولكل α < κ، ولكل دالة من α ⁺ إلى κ، يوجد β < κ بحيث تكون صورة الدالة مجموعة جزئية من β. هنا، α ⁺ هو العدد الأصلي التالي (أي عدد هارتوغز ) لـ α.

• الكاردينال الدنيوي ، مفهوم أضعف
• ماهلو كاردينال ، فكرة أقوى
• مجموعة نوادي
• النموذج الداخلي
• عالم فون نيومان
• عالم قابل للبناء