سطح أدنى دوري ثلاثي

في الهندسة التفاضلية ، السطح الأدنى الدوري ثلاثيًا (TPMS) هو سطح أدنى في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$أي أنه ثابت تحت شبكة من الرتبة 3 من الإزاحات.

تتمتع هذه الأسطح بتناظرات مجموعة بلورية . وتُعرف أمثلة عديدة ذات تناظرات مكعبة، ورباعية ، ومعينية ، ومعينية قائمة . ومن المؤكد وجود أمثلة أحادية الميل وثلاثية الميل ، ولكن ثبت صعوبة تحديد معاييرها. ^{[ 1 ]}

تُعدّ المواد ثنائية الأبعاد ذات أهمية في العلوم الطبيعية. فقد لوحظت هذه المواد كأغشية بيولوجية، ^{[ 2 ]} وكبوليمرات مشتركة ، ^{[ 3 ]} وأسطح متساوية الجهد في البلورات، ^{[ 4 ]} وغيرها. كما استُخدمت تقريباتها لنمذجة بدائل العظام. ^{[ 5 ]} ولها أيضًا أهمية في مجالات الهندسة المعمارية والتصميم والفنون.

جميع أنظمة مراقبة ضغط الإطارات التي تمت دراستها تقريباً خالية من التقاطعات الذاتية (أي مضمنة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$من وجهة نظر رياضية، تُعدّ هذه الأسطح الأكثر إثارة للاهتمام (نظرًا لكثرة الأسطح المتقاطعة ذاتيًا). ^{[ 6 ]}

جميع أنظمة مراقبة ضغط الإطارات المتصلة لها جنس ≥ 3، ^{[ 7 ]} وفي كل شبكة توجد أنظمة مراقبة ضغط إطارات مضمنة قابلة للتوجيه من كل جنس ≥ 3. ^{[ 8 ]}

تتميز أنظمة مراقبة ضغط الإطارات المدمجة بإمكانية توجيهها، وتقسم الفضاء إلى حجمين فرعيين منفصلين (متاهتين). إذا كانا متطابقين، يُقال إن السطح سطح متوازن. ^{[ 9 ]}

كانت الأمثلة الأولى لـ TPMS هي الأسطح التي وصفها شوارتز في عام 1865، تلتها سطح وصفه تلميذه إي آر نيوفيوس في عام 1883. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

في عام 1970، ابتكر آلان شوين 12 سطحًا جديدًا من أسطح TPMS استنادًا إلى رسوم بيانية هيكلية تغطي الخلايا البلورية. ^{[ 12 ] [ 13 ]} ورغم أن أسطح شوين لاقت رواجًا في العلوم الطبيعية، إلا أن تصميمها لم يكن قابلًا لإثبات وجودها رياضيًا، وظلت مجهولة إلى حد كبير في الرياضيات، حتى أثبت هـ. كارشر وجودها في عام 1989. ^{[ 14 ]}

باستخدام الأسطح المترافقة، تم اكتشاف العديد من الأسطح الأخرى. في حين أن تمثيلات فايرشتراس معروفة للأمثلة الأبسط، إلا أنها غير معروفة للعديد من الأسطح. وبدلاً من ذلك، تُستخدم غالبًا طرق من الهندسة التفاضلية المنفصلة . ^{[ 6 ]}

يُعد تصنيف أنظمة مراقبة ضغط الإطارات (TPMS) مشكلة مفتوحة.

غالبًا ما تأتي هياكل TPMS ضمن عائلات يمكن تشكيلها بشكل متواصل لتندمج مع بعضها البعض. وقد وجد ميكس عائلةً صريحةً ذات خمسة معلمات لهياكل TPMS من النوع 3، والتي احتوت على جميع الأمثلة المعروفة آنذاك لأسطح النوع 3 باستثناء الجيرويد. ^{[ 7 ]} يمكن تشكيل أفراد هذه العائلة بشكل متواصل لتندمج مع بعضها البعض، مع بقائها مضمنةً في العملية (على الرغم من أن الشبكة قد تتغير). يقع كل من الجيرويد والليدينويد ضمن عائلة منفصلة ذات معلمة واحدة. ^{[ 15 ]}

ثمة نهج آخر لتصنيف أنظمة TPMS يتمثل في فحص مجموعاتها الفراغية. بالنسبة للأسطح التي تحتوي على خطوط، يمكن حصر المضلعات الحدودية المحتملة، مما يوفر تصنيفًا لها. ^{[ 9 ] [ 16 ]}

يمكن إنشاء الأسطح الدنيا الدورية في S ^{3 [ 17 ]} و H ³ . ^{[ 18 ]}

من الممكن تعميم تقسيم الفضاء إلى متاهات لإيجاد أسطح دنيا دورية ثلاثية (ولكن ربما متفرعة) تقسم الفضاء إلى أكثر من حجمين فرعيين. ^{[ 19 ]}

تم إنشاء الأسطح الدنيا شبه الدورية في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times {\textbf {S}}^{1}}$[ ^{20 ]} لقد تم اقتراح، ولكن لم يتم إثبات ذلك، أن الأسطح الدنيا ذات ^{الترتيب} شبه البلوري في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$موجود. ^{[ 21 ]}

• جيرويد
• ليدينويد
• سطح شوارتز الأدنى

• أرشيف نظام مراقبة ضغط الإطارات (TPMS) على الحد الأدنى من السطح
• معرض الأسطح الدنيا الدورية