المعين السطوحي

المعين السطوحي
يكتب	موشور
وجوه	6 معينات
الحواف	12
رؤوس	8
مجموعة التماثل	ج i ، [2 + ، 2 + ]، (×)، من الدرجة 2
ملكيات	محدب ، متساوي الأضلاع ، متوازي الأضلاع ، متوازي السطوح

في الهندسة ، المعين السطوح (ويسمى أيضًا سداسي السطوح المعيني ^{[1] [2]} أو بشكل غير دقيق، المعين ^[أ] ) هو حالة خاصة من متوازي السطوح حيث تكون جميع الوجوه الستة معينات متطابقة . ^[3] ويمكن استخدامه لتحديد نظام الشبكة المعينية السطوح ، وهو قرص عسل به خلايا معينية السطوح. يحتوي المعين السطوح على قمتين متقابلتين تكون عندهما جميع زوايا الوجوه متساوية؛ يحتوي المعين السطوح الممتد على هذه الزاوية المشتركة حادة، ويحتوي المعين السطوح المفلطح على زاوية منفرجة عند هذه الرؤوس. المكعب هو حالة خاصة من المعين السطوح حيث تكون جميع أضلاعه مربعة .

الزاوية المشتركة عند القمتين معطاة هنا على النحو التالي . هناك شكلان عامان للمعين، مفلطح (مسطح) وممتد (ممتد). ${\displaystyle \theta }$

معين مفلطح	معين متسع الشكل

في الحالة المفلطحة وفي الحالة المتمددة . فالشكل مكعب. ${\displaystyle \theta >90^{\circ}}$${\displaystyle \theta <90^{\circ }}$${\displaystyle \theta =90^{\circ}}$

تؤدي نسب معينة من المعينات إلى ظهور بعض الحالات الخاصة المعروفة. وعادة ما تحدث هذه الحالات في كل من الأشكال المتطاولة والمفلطحة.

استمارة	مكعب	√2 معيني الشكل	المعين الذهبي
قيود الزاوية	${\displaystyle \theta =90^{\circ}}$
نسبة الأقطار	1	√2	النسبة الذهبية
الحدوث	صلب منتظم	تشريح المعين الاثني عشري الوجوه	تشريح ثلاثي الوجوه المعينية

بالنسبة لمعين السطوح الوحدوي (أي بطول ضلع 1)، ^[4] بزاوية حادة معينية ، مع وجود رأس واحد عند الأصل (0، 0، 0)، وحافة واحدة تقع على طول المحور السيني، تكون متجهات التوليد الثلاثة هي ${\displaystyle \theta ~}$

هـ ₁  :${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

هـ ₂  :${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

هـ ₃  :${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta},{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\ ثيتا +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

يمكن الحصول على الإحداثيات الأخرى من إضافة المتجهات ^[5] لمتجهات الاتجاه الثلاثة: e ₁ + e ₂ و e ₁ + e ₃ و e ₂ + e ₃ و e ₁ + e ₂ + e ₃ .

حجم المعين السطوحي، من حيث طول ضلعه وزاويته الحادة المعينية ، هو تبسيط لحجم متوازي السطوح ، ويعطى بواسطة ${\displaystyle V}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle \theta ~}$

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^ {2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

يمكننا التعبير عن الحجم بطريقة أخرى: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

بما أن مساحة القاعدة (المعينية) تعطى بواسطة ، وبما أن ارتفاع المعين يعطى بواسطة حجمه مقسومًا على مساحة قاعدته، فإن ارتفاع المعين من حيث طول ضلعه وزاويته الحادة المعينية يعطى بواسطة ${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$${\displaystyle h}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^ {2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

ملحوظة:

${\displaystyle h=a~z}$₃ ، حيث ₃ هو الإحداثي الثالث لـ e ₃ .${\displaystyle z}$

إن الجسم القطري بين الرؤوس ذات الزوايا الحادة هو الأطول. ومن خلال التناظر الدوراني حول هذا القطر، فإن أقطار الجسم الثلاثة الأخرى، بين الأزواج الثلاثة من الرؤوس ذات الزوايا المنفرجة المتقابلة، تكون جميعها بنفس الطول.

إن النقاط الأربع التي تشكل رؤوسًا غير متجاورة لمعين السطوح تشكل بالضرورة الرؤوس الأربعة لرباعي السطوح المتعامد المركز ، ويمكن تشكيل جميع رباعيات السطوح المتعامدة المركز بهذه الطريقة. ^[6]

يحتوي نظام الشبكة المعينية على خلايا معينية الشكل، مع 6 وجوه معينية متطابقة تشكل شكلًا شبه منحرف ثلاثي الأضلاع ^{[ بحاجة لمصدر ]} :

• قوائم الأشكال

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المعين السطوحي". MathWorld .
• حاسبة الحجم https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php