دلالات القيمة الحقيقية

في علم الدلالة الصورية ، تُعدّ دلالات القيمة الصادقة بديلاً عن دلالات تارسكي . وقد دافع عنها بشكل أساسي روث باركان ماركوس ، ^{[ 1 ]} وهـ. لوبلان، وج. مايكل دان، ونويل بيلناب . ^{[ 2 ]} ويُطلق عليها أيضاً تفسير الاستبدال (للمُكمِّمات) أو التكميم الاستبدالي.

تتلخص فكرة هذه الدلالات في أن المُكمِّم الكلي (أو الوجودي ) يمكن قراءته على أنه اقتران (أو فصل ) لصيغ تحل فيها الثوابت محل المتغيرات في نطاق المُكمِّم. على سبيل المثال،${\displaystyle \forall xPx}$يمكن قراءتها (${\displaystyle Pa\land Pb\land Pc\land \dots }$) أين${\displaystyle a,b,c}$هي ثوابت فردية تحل محل جميع حالات ظهور${\displaystyle x}$في${\displaystyle Px}$.

يتمثل الاختلاف الرئيسي بين دلالات القيمة الصادقة والدلالات القياسية لمنطق المسندات في عدم وجود نطاقات لدلالات القيمة الصادقة. فقط بنود الصدق للصيغ الذرية والكمية تختلف عن تلك الموجودة في الدلالات القياسية. بينما في الدلالات القياسية، تكون الصيغ الذرية مثل${\displaystyle Pb}$أو${\displaystyle Rca}$تكون صحيحة إذا وفقط إذا (كان مرجعها)${\displaystyle b}$هو عضو في امتداد المسند${\displaystyle P}$، على التوالي، إذا وفقط إذا كان الزوج${\displaystyle (c,a)}$هو عضو في امتداد${\displaystyle R}$في دلالات قيم الصدق، تُعدّ قيم الصدق للصيغ الذرية أساسية. الصيغة الشاملة (الوجودية) صحيحة إذا وفقط إذا كانت جميع (بعض) حالات استبدال الأساس للصيغة الفرعية غير الكمية صحيحة. قارن هذا بالدلالات القياسية، التي تنص على أن الصيغة الشاملة (الوجودية) صحيحة إذا وفقط إذا كانت الصيغة صحيحة لجميع (بعض) عناصر المجال؛ على سبيل المثال،${\displaystyle \forall xA}$صحيح (بحسب تفسير معين) إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle k}$في المجال${\displaystyle D}$،${\displaystyle A(k/x)}$صحيح (حيث${\displaystyle A(k/x)}$هي نتيجة استبدال${\displaystyle k}$لجميع حالات${\displaystyle x}$في${\displaystyle A}$(هنا نفترض أن الثوابت هي أسماء لنفسها - أي أنها أيضًا أعضاء في المجال.)

لا تخلو دلالات القيمة الصادقة من مشاكلها. أولًا، تفشل نظرية الاكتمال القوي ونظرية التراص . ولتوضيح ذلك، انظر إلى المجموعة${\displaystyle \{F(1),F(2),\dots \}}$من الواضح أن الصيغة${\displaystyle \forall xF(x)}$هي نتيجة منطقية للمجموعة، لكنها ليست نتيجة لأي مجموعة جزئية منتهية منها (وبالتالي لا يمكن استنتاجها منها). ويترتب على ذلك مباشرةً أن كلاً من التراص ونظرية الاكتمال القوي لا تنطبقان على دلالات قيم الصدق. وقد تم تصحيح هذا الأمر بتعريف مُعدَّل للنتيجة المنطقية كما ورد في دان وبيلناب عام ١٩٦٨. ^{[ ٢ ]}

تظهر مشكلة أخرى في المنطق الحر . لنفترض لغة تحتوي على ثابت فردي واحد.${\displaystyle c}$هذا غير مُحدد ومسند${\displaystyle F}$يرمز إلى "غير موجود". ثم${\displaystyle \exists xFx}$تكون العبارة خاطئة حتى وإن كانت إحدى حالات الاستبدال (بل كل حالة من هذا القبيل وفقًا لهذا التفسير) صحيحة. ولحل هذه المشكلة، نضيف ببساطة الشرط القائل بأن العبارة المُكمَّمة وجوديًا تكون صحيحة في ظل تفسير واحد على الأقل من حالات الاستبدال التي يُشير فيها الثابت إلى شيء موجود.

• دلالات اللعبة
• دلالات كريبكي
• الدلالات القائمة على نظرية البرهان
• شبه اقتباس
• دلالات مشروطة بالصدق