توزيع توكي لامدا

يُعد توزيع توكي لامدا ، الذي صاغه جون توكي ، توزيعًا احتماليًا متصلًا ومتماثلًا، يُعرَّف بدلالة دالة الكمية الخاصة به . ويُستخدم عادةً لتحديد التوزيع المناسب (انظر التعليقات أدناه)، ولا يُستخدم مباشرةً في النماذج الإحصائية .

يحتوي توزيع توكي لامدا على مُعامل شكل واحد ، λ ، وكما هو الحال مع التوزيعات الاحتمالية الأخرى، يمكن تحويله باستخدام مُعامل الموقع ، μ ، ومُعامل المقياس ، σ . وبما أن الشكل العام للتوزيع الاحتمالي يُمكن التعبير عنه بدلالة التوزيع القياسي، فإن الصيغ التالية تُقدم للشكل القياسي للدالة.

بالنسبة للصيغة القياسية لتوزيع توكي لامدا، فإن دالة الكمية،${\displaystyle ~Q(p)~,}$(أي الدالة العكسية لدالة التوزيع التراكمي ) ودالة كثافة الكمية،${\displaystyle ~q={\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}\ ,}$نكون

${\displaystyle \ Q\left(\ p\$ ;\lambda \ \right)~=~{\begin{cases}{\tfrac {1}{\ \lambda \ }}\left[\ p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\ \right]\ ,&\ {\mbox{ إذا كان }}\ \lambda \neq 0~,\\{}\\\ln \left({\frac {p}{\ 1-p\ }}\right)~,&\ {\mbox{ إذا كان }}\ \lambda =0~.\end{cases}}}

${\displaystyle q\left(\ p\$ ;\lambda \ \right)~=~{\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}~=~p^{\lambda -1}+\left(\ 1-p\ \right)^{\lambda -1}~.}

بالنسبة لمعظم قيم معامل الشكل، λ ، يجب حساب دالة كثافة الاحتمال (PDF) ودالة التوزيع التراكمي (CDF) عدديًا. يتميز توزيع توكي لامدا بصيغة بسيطة ومغلقة لدالة التوزيع التراكمي و / أو دالة كثافة الاحتمال فقط لبعض القيم الاستثنائية لمعامل الشكل، على سبيل المثال: λ ∈ { 2, 1, 1/2 , 0 } (انظر التوزيع المنتظم [الحالتان λ = 1 و λ = 2 ] والتوزيع اللوجستي [الحالة λ = 0 ]).

مع ذلك، لأي قيمة لـ λ، يمكن جدولة كل من دالة التوزيع التراكمي (CDF) ودالة كثافة الاحتمال (PDF) لأي عدد من الاحتمالات التراكمية p ، باستخدام دالة الكمية Q لحساب القيمة x لكل احتمال تراكمي p ، حيث تُعطى كثافة الاحتمال بالمعادلة 1 / q ، وهي مقلوب دالة كثافة الكمية. وكما هو معتاد في التوزيعات الإحصائية، يمكن استخدام توزيع توكي لامدا بسهولة بالبحث عن القيم في جدول مُعد مسبقًا.

توزيع توكي لامدا متماثل حول الصفر، لذا فإن القيمة المتوقعة لهذا التوزيع، إن وجدت، تساوي صفرًا. يوجد التباين عندما λ > − 1 / 2 ، وباستثناء حالة λ = 0 ، يُعطى بالصيغة التالية :

${\displaystyle \operatorname {Var} [\ X\ ]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}\ {\frac {1}{\ 1+2\lambda \ }}~-~{\frac {\ \Gamma (\lambda +1)^{2}\ }{\ \Gamma (2\lambda +2)\ }}\ {\bigg )}~.}$

وبشكل عام، تكون العزم من الرتبة n محدودًا عندما λ > ⁠ −1 / n ⁠ ويتم التعبير عنه (باستثناء عندما λ = 0 ) بدلالة دالة بيتا Β ( x , y ) :  

${\displaystyle \mu _{n}\equiv \operatorname {E} [\ X^{n}\ ]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{k}\ {n \choose k}\ \mathrm {B} (\ \lambda \ k+1\ ,\ (nk)\ \lambda +1\ )~.}$

بسبب تناظر دالة الكثافة، فإن جميع العزوم ذات الرتب الفردية، إن وجدت، تساوي صفرًا.

على عكس العزوم المركزية، يمكن التعبير عن العزوم من النوع L بصيغة مغلقة.${\displaystyle \lambda >-1\ ,}$ال${\displaystyle \ r}$العزم L،${\displaystyle \ \ell _{r}\ ,}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{r}&={\frac {\ 1+(-1)^{r}\ }{\lambda }}\ \sum _{k=0}^{r-1}\ (-1)^{r-1-k}\ {\binom {r-1}{k}}\ {\binom {r+k-1}{k}}\ \left({\frac) {1}{\ k+1+\lambda \ }}\right)\\{\bigl (}1+(-1)^{r}{\bigr )}{\frac {\ \Gamma (1+\lambda )\ \Gamma (r-1-\lambda )\ }{\ \Gamma (1-\lambda )\ \Gamma (r+1+\lambda )\ }}~.\end{محاذاة}}}$

يمكن عرض أول ستة لحظات L على النحو التالي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \ell _{1}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {2}{\ 2+\lambda \ }}\ \right]\ ,}$

${\displaystyle \ell _{3}=~~0\ ,}$

$\begin{displaystyle \ell_{4}=\frac{2}{\\lambda\}}\\left[-\frac{1}{\1+\lambda\}}+\frac{12}{\2+\lambda\}}-\frac{30}{\3+\lambda\}}+\frac{20}{\4+\lambda\}}\\right]\,}$

${\displaystyle \ell _{5}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{6}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {30}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {210}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {560}{\ 4+\lambda \ }}-{\frac {630}{\ 5+\lambda \ }}+{\frac {252}{\ 6+\lambda \ }}\ \right]~.}$

يُعد توزيع توكي لامدا في الواقع عائلة من التوزيعات التي يمكنها تقريب عدد من التوزيعات الشائعة. على سبيل المثال،

λ ≈ −1	تقريبًا. كوشي C ( 0, π )
λ = 0	لوجستية بالضبط
λ ≈ 0.14	التوزيع الطبيعي التقريبي N ( 0, 2.142 ± )
λ = 1 / 2 ​ ​	مقعر تمامًا (${\displaystyle \cap }$(على شكل)
λ = 1	U ( −1, +1 ) منتظمة تمامًا
λ = 2	U ( − 1 / 2 , + 1 / 2 ) متجانسة تمامًا​​​

يُستخدم هذا التوزيع عادةً لإنشاء مخطط Tukey lambda PPCC لمجموعة بيانات . بناءً على قيمة λ ذات أفضل ارتباط، كما هو موضح في مخطط PPCC ، يُقترح نموذج مناسب للبيانات. على سبيل المثال، إذا كان أفضل تطابق للمنحنى مع البيانات عند قيمة λ تساوي أو تقارب 0.14 ، فمن الممكن عمليًا نمذجة البيانات بشكل جيد باستخدام التوزيع الطبيعي. تشير قيم λ الأقل من 0.14 إلى توزيع ذي ذيل أثقل.

تشير نقطة التحول عند λ = 0 ( التوزيع اللوجستي ) إلى ذيول سميكة نسبيًا، مع حد أقصى عند λ = −1 ، مما يقارب توزيع كوشي وتوزيعات العينات الصغيرة لتوزيع t للطالب . أي أنه مع تغير قيمة λ المُثلى من ذيول رفيعة عند 0.14 إلى ذيول سميكة عند −1 ، يُقترح توزيع كثافة احتمالية على شكل جرس ذي ذيول سميكة بشكل متزايد. وبالمثل، تشير قيمة λ المُثلى الأكبر من 0.14 إلى توزيع ذي ذيول رفيعة للغاية (استنادًا إلى أن التوزيع الطبيعي نفسه ذو ذيول رفيعة في الأصل؛ وغالبًا ما يُختار التوزيع الأسي كمثال على ذيول متوسطة بين السميكة والرفيعة).

باستثناء قيم λ التي تقترب من 0 وتلك التي تقل عنها، فإن جميع دوال كثافة الاحتمال التي تمت مناقشتها لها دعم محدود ، بين ⁠ − 1 / | λ | ⁠ و ⁠ +1 / | λ | ⁠ .        

بما أن توزيع توكي لامدا هو توزيع متماثل ، فإن استخدام مخطط توكي لامدا PPCC لتحديد توزيع مناسب لنمذجة البيانات ينطبق فقط على التوزيعات المتماثلة. ينبغي أن يوفر المدرج التكراري للبيانات دليلاً على إمكانية نمذجة البيانات بشكل معقول باستخدام توزيع متماثل. ^{[ 4 ]}

يُعمم توزيع لامدا المعمم ( GLD) توزيع لامدا بتقسيم تكرارات λ في الكمية إلى مُعاملَي شكل (يُراعي عدم التناظر)، ومُعامل مقياس، ويُضيف مُعامل موقع. ويُعرَّف بواسطة دالة الكمية ^{[ 5 ].}

${\displaystyle Q_{\text{RS74}}=\lambda _{1}+{\tfrac {1}{\ \lambda _{2}\ }}\left[\ p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}}\ \right].}$

الدالة العكسية هي دالة التوزيع التراكمي. يحتوي هذا التوزيع أيضًا على تعابير (معقدة نوعًا ما) لـ μ و σ والعزوم. ^{[ 5 ]}

إنّ الصيغة المذكورة أعلاه هي الصيغة الأصلية التي اقترحها رامبرغ وشميسر؛ بعض اختيارات λ _{3، 4} تُنتج دوال كمية غير صالحة (لا ينبغي أن تكون دالة الكمية سالبة). ^{[ 6 ] : (النظرية 1.3.33)} الصيغة الأكثر شيوعًا هي FMKL (1988) وهي صالحة طالما أن λ 2 > 0. يوجد أيضًا متغير من FMKL يُضيف معامل الالتواء. الصيغة البديلة الأخرى هي GPD لفان ستادن ولوتس (2009)، والتي تحتوي على تعابير أبسط لعزوم L، وقاعدة بسيطة لصحة المعلمات، ومعامل التواء δ . ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{FMKL}}=&\ \lambda _{1}+{\tfrac {1}{\ \lambda _{2}\ }}\left[{\frac {p^{\lambda _{3}}-1}{\lambda _{3}}}-{\frac {{(1-p)}^{\lambda _{4}}-1}{\lambda _{4}}}\right]&\ {\mbox{ if }}\ \lambda _{2}>0,\\Q_{\text{GPD}}=&\ \alpha +{\frac {\beta }{\lambda }}\left[(1-\delta )(p^{\lambda }-1)-\delta ({(1-p)}^{\lambda }-1)\right]&\ {\text{ if }}\ \beta >0{\mbox{ and }}-1\leq \delta \leq 1.\end{aligned}}}$

طُوِّرَتْ طريقة GLD بواسطة رامبرغ وشميسر عام 1974 لتوليد أرقام عشوائية لمحاكاة مونت كارلو. ووجد باحثون آخرون أنها مفيدة في ملاءمة قياسات متنوعة في العلوم الطبيعية والمالية والاقتصادية. ^{[ 8 ]} وامتد استخدامها إلى مجال مراقبة الجودة الإحصائية ، وتتوفر إجراءات لاستخدامها في حساب مؤشرات قدرة العمليات . ^{[ 5 ]}

• توزيع توكي-لامدا . معرض التوزيعات. دليل الإحصاء الهندسي. مختبر تكنولوجيا المعلومات التابع للمعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتكنولوجيا. 1.3.6.6.15. EDA 366F.

 تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا