الدعم (الرياضيات)

في الرياضيات ، نطاق الدالة ذات القيم الحقيقية${\displaystyle f}$هي مجموعة جزئية من مجال الدالة تتكون من العناصر التي لا تُسند إليها قيمة صفرية. إذا كان مجال الدالة${\displaystyle f}$إذا كان فضاءً طوبولوجيًا ، فإن دعم${\displaystyle f}$بدلاً من ذلك، يُعرَّف بأنه أصغر مجموعة مغلقة تحتوي على جميع النقاط التي لا تُسقط على الصفر. ويُستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في التحليل الرياضي .

لنفترض أن${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$هي دالة ذات قيم حقيقية مجالها مجموعة اختيارية${\displaystyle X.}$الالدعم النظري للمجموعات لـ${\displaystyle f,}$مكتوب${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$هي مجموعة النقاط في${\displaystyle X}$أين${\displaystyle f}$غير صفري: $${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

دعم${\displaystyle f}$هي أصغر مجموعة جزئية من${\displaystyle X}$مع العقار الذي${\displaystyle f}$يكون الصفر في متممة المجموعة الجزئية. إذا${\displaystyle f(x)=0}$بالنسبة لجميع النقاط باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle x\in X,}$ثم${\displaystyle f}$يقال إنه يمتلكالدعم المحدود .

إذا كانت المجموعة${\displaystyle X}$إذا كان له بنية إضافية (على سبيل المثال، طوبولوجيا )، فإن نطاق الدعم لـ${\displaystyle f}$يُعرَّف بطريقة مماثلة بأنه أصغر مجموعة جزئية من${\displaystyle X}$من نوع مناسب بحيث${\displaystyle f}$يتلاشى بمعنى مناسب على مكمله. كما يمتد مفهوم الدعم بطريقة طبيعية إلى الدوال التي تأخذ قيمًا في مجموعات أكثر عمومية من${\displaystyle \mathbb {R} }$وإلى أشياء أخرى، مثل المقاييس أو التوزيعات .

يحدث الوضع الأكثر شيوعًا عندما${\displaystyle X}$هو فضاء طوبولوجي (مثل الخط الحقيقي أو${\displaystyle n}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n و${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$هي دالة متصلة ذات قيم حقيقية (أو مركبة ). في هذه الحالة،دعم​${\displaystyle f}$،${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$أودعم مغلق لـ${\displaystyle f}$يُعرَّف طوبولوجيًا بأنه الإغلاق (المأخوذ في${\displaystyle X}$) من مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$أين${\displaystyle f}$غير صفري ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} أي، $${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$بما أن تقاطع المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة،${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$هو تقاطع جميع المجموعات المغلقة التي تحتوي على الدعم النظري للمجموعات لـ${\displaystyle f.}$لاحظ أنه إذا كانت الدالة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\supseteq X\to \mathbb {R} }$معرفة على مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ثم يتم اتخاذ قرار الإغلاق فيما يتعلق بـ${\displaystyle X}$وليس فيما يتعلق بالبيئة المحيطة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$هي الدالة المعرفة بواسطة $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$ ثم${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$، بدعم من${\displaystyle f}$أو الدعم المغلق لـ${\displaystyle f}$، هي الفترة المغلقة${\displaystyle [-1,1],}$منذ${\displaystyle f}$لا يساوي الصفر على الفترة المفتوحة${\displaystyle (-1,1)}$ونهاية هذه المجموعة هي${\displaystyle [-1,1].}$

يُطبق مفهوم الدعم المغلق عادةً على الدوال المتصلة، لكن التعريف يكون منطقيًا بالنسبة للدوال الحقيقية أو المركبة ذات القيم العشوائية على فضاء طوبولوجي، ولا يشترط بعض المؤلفين ذلك.${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$(أو${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$) أن تكون متصلة. ^{[ 4 ]}

وظائف معدعم مضغوط على فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$هي تلك التي يكون نطاق دعمها المغلق مجموعة فرعية مضغوطة من${\displaystyle X.}$لو${\displaystyle X}$هو الخط الحقيقي، أو${\displaystyle n}$في فضاء إقليدي ذي أبعاد n، يكون للدالة دعم مضغوط إذا وفقط إذا كانالدعم المحدود ، لأن مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تكون مضغوطة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة.

على سبيل المثال، الوظيفة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$الدالة المحددة أعلاه هي دالة متصلة ذات دعم مضغوط${\displaystyle [-1,1].}$لو${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$إذن، تكون دالة سلسة لأن${\displaystyle f}$هو نفسه${\displaystyle 0}$على المجموعة الفرعية المفتوحة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$جميع${\displaystyle f}$المشتقات الجزئية من جميع الرتب متطابقة أيضًا${\displaystyle 0}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

يُعد شرط الدعم المحدود أقوى من شرط التلاشي عند اللانهاية . على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$محدد بواسطة $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ يتلاشى عند اللانهاية، لأن${\displaystyle f(x)\to 0}$مثل${\displaystyle |x|\to \infty ,}$لكن دعمها${\displaystyle \mathbb {R} }$ليس مضغوطاً.

تُسمى الدوال الملساء ذات القيم الحقيقية والدعم المحدود على الفضاء الإقليدي أحيانًا بدوال النتوء . وتُعدّ دوال التنعيم حالة خاصة مهمة من دوال النتوء، إذ يمكن استخدامها في نظرية التوزيع لإنشاء متواليات من الدوال الملساء التي تقارب الدوال غير الملساء (المعممة)، وذلك عن طريق الالتفاف .

في فضاء هاوسدورف متراص محليًا، تكون الدوال المتصلة ذات الدعم المتراص كثيفة في فضاء الدوال المتصلة التي تتلاشى عند اللانهاية. وكتوضيح بديهي لأمثلة أكثر تعقيدًا، وبلغة النهايات ، لأي${\displaystyle \varepsilon >0,}$أي وظيفة${\displaystyle f}$على الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن تقريب الدالة التي تتلاشى عند اللانهاية باختيار مجموعة جزئية مضغوطة مناسبة.${\displaystyle C}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$بحيث $${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$ للجميع${\displaystyle x\in X,}$أين${\displaystyle I_{C}}$هي وظيفة المؤشر لـ${\displaystyle C}$ثم يمكن للمرء اختيار دالة قطع متصلة تتلاشى خارج نطاق سماكة صغيرة من${\displaystyle C}$.

في نظرية التوزيعات ، من الصحيح أيضاً أن الدوال الملساء ذات الدعم المدمج كثيفة في فضاء دوال شوارتز . وهي أيضاً كثيفة في كل فضاء Lp لـ${\displaystyle p<\infty }$وبالتالي، في معظم الحالات الجيدة، تكون الدوال ذات الدعم المضغوط من الفئة المناسبة كثيفة في العديد من الطوبولوجيات المختلفة، وبالتالي فهي أساسية في التحليل.

كل دالة متصلة على فضاء طوبولوجي مضغوط لها دعم مضغوط لأن كل مجموعة فرعية مغلقة من فضاء مضغوط هي بالفعل مضغوطة.

لو${\displaystyle X}$هو فضاء قياس طوبولوجي ذو قياس بوريل${\displaystyle \mu }$(مثل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$أو مجموعة فرعية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$باستخدام مقياس ليبيغ، يمكن عادةً تحديد الدوال المتساوية.${\displaystyle \mu }$-في كل مكان تقريبًا. في هذه الحالة، الـالدعم الأساسي لوظيفة قابلة للقياس${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$مكتوب${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$يُعرَّف بأنه أصغر مجموعة فرعية مغلقة${\displaystyle F}$ل${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \mu }$-في كل مكان تقريبًا في الخارج${\displaystyle F.}$وبعبارة أخرى،${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$هي مكملة لأكبر مجموعة مفتوحة والتي${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \mu }$-في كل مكان تقريبًا ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

الدعم الأساسي للوظيفة${\displaystyle f}$يعتمد ذلك على المقياس${\displaystyle \mu }$وكذلك على${\displaystyle f,}$وقد يكون أصغر بكثير من منطقة الدعم المغلقة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$هي دالة ديريشليه التي${\displaystyle 0}$حول الأعداد غير النسبية و${\displaystyle 1}$حول الأعداد النسبية، و${\displaystyle [0,1]}$مزود بمقياس ليبيغ، ثم دعم${\displaystyle f}$هي الفترة الزمنية الكاملة${\displaystyle [0,1],}$لكن الدعم الأساسي لـ${\displaystyle f}$فارغ، لأن${\displaystyle f}$تساوي تقريبًا في كل مكان الدالة الصفرية.

في التحليل، يُفضل دائمًا استخدام الدعم الأساسي للدالة، بدلاً من دعمها المغلق، عندما تكون المجموعتان مختلفتين، لذلك${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$غالباً ما تُكتب ببساطة على النحو التالي:${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ويُشار إليه بالدعم. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

لو${\displaystyle M}$إذا كانت مجموعة عشوائية تحتوي على الصفر، فإن مفهوم الدعم قابل للتعميم مباشرة على الدوال.${\displaystyle f:X\to M.}$ يمكن أيضًا تعريف الدعم لأي بنية جبرية ذات عنصر محايد (مثل الزمرة ، أو المونويد ، أو جبر التركيب )، حيث يأخذ العنصر المحايد دور الصفر. على سبيل المثال، عائلة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$تُعرف مجموعة الدوال من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الصحيحة باسم مجموعة المتتاليات العددية غير القابلة للعد . وتُعرف هذه المجموعة الفرعية باسم عائلة الدوال.${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$هي مجموعة قابلة للعد لجميع المتتاليات العددية الصحيحة التي تحتوي على عدد محدود فقط من المدخلات غير الصفرية.

تُستخدم الدوال ذات الدعم المحدود في تعريف الهياكل الجبرية مثل حلقات المجموعات والمجموعات الأبيلية الحرة . ^{[ 7 ]}

في نظرية الاحتمالات ، يمكن اعتبار نطاق توزيع احتمالي، بشكل عام، بمثابة إغلاق مجموعة القيم الممكنة لمتغير عشوائي يتبع ذلك التوزيع. مع ذلك، توجد بعض التفاصيل الدقيقة التي يجب مراعاتها عند التعامل مع التوزيعات العامة المعرفة على جبر سيجما ، بدلاً من الفضاء الطوبولوجي.

وبشكل أكثر رسمية، إذا${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$هو متغير عشوائي على${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ثم دعم${\displaystyle X}$هي أصغر مجموعة مغلقة${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

لكن عملياً، دعم متغير عشوائي منفصل${\displaystyle X}$غالباً ما يُعرَّف بأنه مجموعة${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$ودعم متغير عشوائي مستمر${\displaystyle X}$يُعرَّف بأنه المجموعة${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$أين${\displaystyle f_{X}(x)}$هي دالة كثافة احتمالية لـ${\displaystyle X}$( الدعم النظري للمجموعات ). ^{[ 8 ]}

لاحظ أن كلمة الدعم يمكن أن تشير إلى لوغاريتم احتمالية دالة كثافة الاحتمال. ^{[ 9 ]}

من الممكن أيضًا الحديث عن نطاق توزيع ، مثل دالة ديراك دلتا.${\displaystyle \delta (x)}$على خط الأعداد الحقيقية. في هذا المثال، يمكننا النظر في دوال الاختبار.${\displaystyle F,}$وهي دوال سلسة ذات نطاق لا يشمل النقطة${\displaystyle 0.}$منذ${\displaystyle \delta (F)}$(التوزيع${\displaystyle \delta }$تم تطبيقها كدالة خطية على${\displaystyle F}$) يكون${\displaystyle 0}$بالنسبة لهذه الوظائف، يمكننا القول إن دعم${\displaystyle \delta }$يكون${\displaystyle \{0\}}$فقط. بما أن المقاييس (بما في ذلك مقاييس الاحتمالية ) على خط الأعداد الحقيقية هي حالات خاصة من التوزيعات، فيمكننا أيضًا التحدث عن نطاق المقياس بنفس الطريقة.

لنفترض أن${\displaystyle f}$هو توزيع، وهذا${\displaystyle U}$هي مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي بحيث، بالنسبة لجميع دوال الاختبار${\displaystyle \phi }$بحيث يكون دعم${\displaystyle \phi }$موجود في${\displaystyle U,}$${\displaystyle f(\phi )=0.}$ثم${\displaystyle f}$يقال إنه يختفي في${\displaystyle U.}$الآن، إذا${\displaystyle f}$يختفي في عائلة عشوائية${\displaystyle U_{\alpha }}$من المجموعات المفتوحة، ثم لأي دالة اختبار${\displaystyle \phi }$مدعوم في${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$حجة بسيطة تستند إلى تماسك نطاق الدعم لـ${\displaystyle \phi }$ويُظهر تقسيم الوحدة أن${\displaystyle f(\phi )=0}$كذلك. ومن ثم يمكننا تحديد نطاق الدعم لـ${\displaystyle f}$باعتبارها مكملة لأكبر مجموعة مفتوحة والتي${\displaystyle f}$يختفي. على سبيل المثال، يكون نطاق دعم دالة ديراك دلتا هو${\displaystyle \{0\}.}$

في تحليل فورييه على وجه الخصوص، من المثير للاهتمام دراسةالدعم المفرد للتوزيع. وهذا له تفسير بديهي على أنه مجموعة النقاط التييفشل عندها التوزيع في أن يكون دالة سلسة.

على سبيل المثال، يمكن اعتبار تحويل فورييه لدالة هيفسايد المتدرجة ، حتى عوامل ثابتة، على أنه${\displaystyle 1/x}$(دالة) باستثناء عند${\displaystyle x=0.}$بينما${\displaystyle x=0}$من الواضح أنها نقطة خاصة، ومن الأدق القول إن تحويل التوزيع له دعم منفرد${\displaystyle \{0\}}$لا يمكن التعبير عنها بدقة كدالة فيما يتعلق بدوال الاختبار التي تتضمن الدعم${\displaystyle 0.}$ويمكن التعبير عنها كتطبيق لتكامل كوشي ذي القيمة الرئيسية غير المحددة .

بالنسبة للتوزيعات في عدة متغيرات، تسمح الدعامات المفردة بتحديد مجموعات جبهات الموجة وفهم مبدأ هيغنز من منظور التحليل الرياضي . كما يمكن استخدام الدعامات المفردة لفهم ظواهر خاصة بنظرية التوزيعات، مثل محاولات "ضرب" التوزيعات (تربيع دالة ديراك دلتا يفشل - ويرجع ذلك أساسًا إلى أن الدعامات المفردة للتوزيعات المراد ضربها يجب أن تكون منفصلة).

مفهوم مجرد لـعائلة من الدعامات علىفضاء طوبولوجي${\displaystyle X,}$تم تعريف مفهوم " المناسب لنظرية الحزم" بواسطة هنري كارتان . عند توسيع ثنائية بوانكاريه لتشمل المشعبات غير المدمجة، تدخل فكرة "الدعم المدمج" بشكل طبيعي في أحد جانبي الثنائية؛ انظر على سبيل المثال علم التماثل لألكسندر-سبانير .

يُقدّم بريدون، في كتابه "نظرية الحزم" (الطبعة الثانية، 1997)، هذه التعريفات. عائلة${\displaystyle \Phi }$من المجموعات الفرعية المغلقة من${\displaystyle X}$هي عائلة من الدعامات ، إذا كانت مغلقة من الأسفل ومغلقة تحت الاتحاد المحدود . امتدادها هو الاتحاد على${\displaystyle \Phi .}$عائلة من الدعامات شبه المضغوطة التي تلبي أكثر مما يرضي أي${\displaystyle Y}$في${\displaystyle \Phi }$هو، مع طوبولوجيا الفضاء الجزئي ، فضاء شبه متراص ؛ وله بعض${\displaystyle Z}$في${\displaystyle \Phi }$وهو حي سكني . إذا${\displaystyle X}$هي فضاء مضغوط محليًا ، مفترضًا هاوسدورف ، عائلة جميع المجموعات الفرعية المضغوطة تفي بالشروط الإضافية، مما يجعلها شبه مضغوطة.

• الدالة المحدودة – دالة رياضية تكون مجموعة قيمها محدودة. 
• وظيفة النتوء – وظيفة دعم سلسة ومدمجة 
• دعم وحدة نمطية
• نظرية تيتشمارش للالتفاف

• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .