اتصال من جانب واحد

في هذه الطريقة، تُنمذج القوى العمودية الناتجة عن القيود أحادية الجانب وفقًا لخصائص المواد المحلية للأجسام. وعلى وجه الخصوص، تُشتق نماذج قوة التلامس من ميكانيكا الأوساط المتصلة، وتُعبّر عنها كدوال للفجوة وسرعة اصطدام الأجسام. كمثال، يوضح الشكل على اليمين نموذج هيرتز الكلاسيكي للتلامس . في هذا النموذج، يُفسَّر التلامس بالتشوه الموضعي للأجسام. يمكن الاطلاع على المزيد من نماذج التلامس في بعض المراجعات العلمية ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} أو في المقالة المخصصة لميكانيكا التلامس .

في الطريقة غير الملساء، تُنمذج التفاعلات أحادية الجانب بين الأجسام بشكل أساسي بواسطة شرط سينيوريني ^{[ 6 ]} لعدم الاختراق، وتُستخدم قوانين التصادم لتحديد عملية التصادم. ^{[ 7 ]} يمكن التعبير عن شرط سينيوريني كمسألة تكاملية:

${\displaystyle g\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad \lambda \perp g}$،

أين${\displaystyle g}$يشير إلى المسافة بين جسمين و${\displaystyle \lambda }$تشير إلى قوة التلامس الناتجة عن القيود أحادية الجانب، كما هو موضح في الشكل أدناه. علاوة على ذلك، من منظور مفهوم النقطة القريبة في نظرية التحدب، يمكن التعبير عن شرط سينيوريني بشكل مكافئ ^{[ 6 ] [ 8 ]} كما يلي:

${\displaystyle \lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}$،

أين${\displaystyle \rho >0}$يشير إلى مُعامل مساعد، و${\displaystyle {\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)}$يمثل النقطة الأقرب في المجموعة${\displaystyle C}$إلى المتغير${\displaystyle x}$، ^{[ 9 ]} معرفة على النحو التالي:

${\displaystyle {\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)={\rm {argmin}}_{y\in C}\|yx\|}$.

يمثل كلا التعبيرين أعلاه السلوك الديناميكي للقيود أحادية الجانب: من ناحية، عندما تكون المسافة العمودية${\displaystyle g_{\rm {N}}}$إذا كانت القيمة أعلى من الصفر، فإن التلامس يكون مفتوحًا، مما يعني عدم وجود قوة تلامس بين الجسمين.${\displaystyle \lambda =0}$من ناحية أخرى، عندما تكون المسافة الطبيعية${\displaystyle g_{\rm {N}}}$إذا كانت القيمة تساوي صفرًا، فإن التلامس يكون مغلقًا، مما ينتج عنه${\displaystyle \lambda \geq 0}$.

عند تطبيق الطرق القائمة على نظرية غير ملساء، يُستخدم شرط سينيوريني للسرعة أو شرط سينيوريني للتسارع في معظم الحالات. ويُعبّر عن شرط سينيوريني للسرعة كما يلي: ^{[ 6 ] [ 10 ]}

${\displaystyle U_{\rm {N}}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad U^{+}\lambda =0}$،

أين${\displaystyle U_{\rm {N}}^{+}}$تشير إلى السرعة العمودية النسبية بعد الاصطدام. يجب فهم شرط سرعة سيغنوريني بالتزامن مع الشروط السابقة.${\displaystyle g\geq 0,\;\lambda \geq 0,\;\lambda \perp g}$يتم النظر في شرط التسارع لسينيوريني في حالة التلامس المغلق (${\displaystyle g=0,U_{\rm {N}}^{+}=0}$), كما يلي: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\ddot {g}}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad {\ddot {g}}\lambda =0}$،

حيث تشير النقاط العلوية إلى المشتقة من الدرجة الثانية بالنسبة للزمن.

عند استخدام هذه الطريقة للقيود أحادية الجانب بين جسمين صلبين، لا يكفي شرط سينيوريني وحده لنمذجة عملية التصادم، لذا يلزم أيضًا استخدام قوانين التصادم التي توفر معلومات حول الحالات قبل التصادم وبعده ^{[ 6 ]} . على سبيل المثال، عند تطبيق قانون نيوتن للارتداد، يُعرَّف معامل الارتداد على النحو التالي:${\displaystyle e=-{U_{\rm {N}}^{+}}/{U_{\rm {N}}^{-}}}$، أين${\displaystyle U_{\rm {N}}^{-}}$يشير إلى السرعة العمودية النسبية قبل الاصطدام.

بالنسبة للقيود الاحتكاكية أحادية الجانب، تُنمذج قوى التلامس العمودية بإحدى الطرق المذكورة أعلاه، بينما تُوصف قوى الاحتكاك عادةً باستخدام قانون كولوم للاحتكاك . ويمكن التعبير عن قانون كولوم للاحتكاك كما يلي: عندما تكون السرعة المماسية${\displaystyle U_{\rm {T}}}$لا تساوي الصفر، أي عندما ينزلق الجسمان، فإن قوة الاحتكاك${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}}$يتناسب مع قوة التلامس العمودية${\displaystyle \lambda }$؛ عندما تكون السرعة المماسية بدلاً من ذلك ${\displaystyle U_{\rm {T}}}$تساوي صفرًا، أي عندما يكون الجسمان مستقرين نسبيًا، قوة الاحتكاك${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}}$لا تتجاوز هذه القيمة الحد الأقصى لقوة الاحتكاك السكوني. ويمكن تلخيص هذه العلاقة باستخدام مبدأ التبديد الأقصى، ^{[ 6 ]} كما يلي:

${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}\in D(\mu \lambda )~~~~~~\forall S\in D(\mu \lambda )~~~~~~(S-\lambda _{\rm {T}})U_{\rm {T}}\geq 0,}$

أين

${\displaystyle D(\mu \lambda )=\{\forall x|-\mu \lambda \leq \|x\|\leq \mu \lambda \}}$

يمثل مخروط الاحتكاك، و${\displaystyle \mu }$يرمز إلى معامل الاحتكاك الحركي. وبالمثل، يمكن التعبير عن الصيغة أعلاه بشكل مكافئ من حيث مفهوم النقطة القريبة كما يلي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}={\rm {proj}}_{D(\mu \lambda )}(\lambda _{T}-\rho U_{\rm {T}})}$،

أين${\displaystyle \rho >0}$يشير إلى مُعامل مساعد.

باتباع هذا النهج، يُحوَّل حل معادلات الديناميكا ذات القيود أحادية الجانب إلى حل مسائل التحكم الخطي (LCPs) من النوع N/N. وبالتحديد، في حالة القيود أحادية الجانب عديمة الاحتكاك أو القيود أحادية الجانب ذات الاحتكاك المستوي، تُحوَّل المسألة إلى مسائل تحكم خطي (LCPs)، بينما في حالة القيود أحادية الجانب الاحتكاكية، تُحوَّل المسألة إلى مسائل تحكم خطي (NCPs). ولحل مسائل التحكم الخطي (LCPs)، تُعد خوارزمية التمحور ، المُشتقة من خوارزمية ليميك ودانتزيج، الطريقة الأكثر شيوعًا. ^{[ 8 ]} إلا أن التجارب العددية تُظهر، للأسف، أن خوارزمية التمحور قد تفشل عند التعامل مع أنظمة ذات عدد كبير من نقاط التلامس أحادية الجانب، حتى مع استخدام أفضل التحسينات. ^{[ 12 ]} أما بالنسبة لمسائل التحكم الخطي (NCPs)، فيمكن استخدام تقريب متعدد السطوح لتحويلها إلى مجموعة من مسائل التحكم الخطي (LCPs)، والتي يمكن حلها بعد ذلك باستخدام مُحلِّل مسائل التحكم الخطي (LCP). ^{[ 13 ]} يتم أيضًا استخدام مناهج أخرى تتجاوز هذه الأساليب، مثل وظائف NCP ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} أو الأساليب القائمة على مشاكل التكامل المخروطي (CCP) ^{[ 17 ] [ 18 ]} لحل NCPs.

وبخلاف صيغ N/LCP، تستخدم صيغة لاغرانج المعززة الدوال التقريبية الموضحة أعلاه. ${\displaystyle \lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}$يتم حل هذه الصيغة، إلى جانب معادلات الديناميكا، باستخدام خوارزميات إيجاد الجذور . وقد أجرى مشايخي وآخرون ^{[ 9 ] دراسة مقارنة بين صيغ LCP وصيغة لاغرانج المعززة.}

أكواد مفتوحة المصدر وحزم غير تجارية تستخدم الطريقة غير السلسة:

• سيكونوس – برنامج علمي مفتوح المصدر لنمذجة الأنظمة الديناميكية غير الملساء 
• كرونو ، محرك محاكاة متعدد الفيزياء مفتوح المصدر، انظر أيضًا موقع المشروع الإلكتروني

• أكاري ف.، بروغلياتو ب. الطرق العددية للأنظمة الديناميكية غير الملساء. تطبيقات في الميكانيكا والإلكترونيات. سبرينغر فيرلاغ، LNACM 35، هايدلبرغ، 2008.
• بروغلياتو ب. الميكانيكا غير الملساء. سلسلة هندسة الاتصالات والتحكم، سبرينغر-فيرلاغ، لندن، 1999 (الطبعة الثانية).
• ديميانوف، ف.ف.، ستافرولاكيس، ج.إ.، بولياكوفا، ل.ن.، بانايوتوبولوس، ب.د. "شبه التفاضلية والنمذجة غير الملساء في الميكانيكا والهندسة والاقتصاد" سبرينغر 1996
• غلوكر، ش. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen ، المجلد 18/182 من VDI Fortschrittsberichte Mechanik/Bruchmechanik. VDI Verlag، دوسلدورف، 1995
• غلوكر، تش. وستودر، سي. صياغة وإعداد التقييم العددي لأنظمة التكامل الخطي. ديناميكيات الأنظمة متعددة الأجسام 13(4): 447-463، 2005
• جان م. طريقة ديناميكيات التلامس غير الملساء. أساليب الحاسوب في الميكانيكا التطبيقية والهندسة 177(3-4):235-257، 1999
• مورو، جيه جيه. التلامس أحادي الجانب والاحتكاك الجاف في ديناميكيات الحرية المحدودة، المجلد 302 من سلسلة الميكانيكا غير الملساء وتطبيقاتها، دورات ومحاضرات CISM . سبرينغر، فيينا، 1988
• فايفر إف، فورغ إم، وأولبريش إتش. الجوانب العددية لديناميكيات الأجسام المتعددة غير الملساء. أساليب الحوسبة في الهندسة الميكانيكية التطبيقية 195(50-51):6891-6908، 2006
• بوترا، ف. أ.، أنيتيسكو، م.، جافريا، ب.، وترينكل، ج. طريقة شبه منحرفة ضمنية خطية لدمج ديناميكيات الأجسام المتعددة الصلبة مع التلامس والمفاصل والاحتكاك. المجلة الدولية للأساليب العددية في الهندسة 66(7): 1079-1124، 2006
• ستيوارت دي إي وترينكل جيه سي. مخطط ضمني للخطوات الزمنية لديناميكيات الأجسام الصلبة مع التصادمات غير المرنة والاحتكاك الكولومبي. المجلة الدولية للأساليب العددية في الهندسة 39(15):2673-2691، 1996
• ستودر سي. التكامل الزمني المعزز للأنظمة الديناميكية غير الملساء ، أطروحة دكتوراه، المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ، مجموعة ETH الإلكترونية، ستصدر عام 2008
• ستودر سي. الحسابات العددية للتلامسات أحادية الجانب والاحتكاك - النمذجة والتكامل الزمني العددي في الديناميكيات غير الملساء ، سلسلة محاضرات في الميكانيكا التطبيقية والحسابية، المجلد 47، سبرينغر، برلين، هايدلبرغ، 2009