ميكانيكا الاتصال

كرة مرنة نصف قطرها${\displaystyle R}$يُحدث انبعاجًا في نصف فضاء مرن حيث يكون التشوه الكلي${\displaystyle d}$مما يتسبب في منطقة تلامس نصف قطرها

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

القوة المطبقة${\displaystyle F}$يرتبط ذلك بالإزاحة${\displaystyle d}$بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{\frac {1}{2}}d^{\frac {3}{2}}}$

أين

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

و${\displaystyle E_{1}}$،${\displaystyle E_{2}}$هي معاملات المرونة و${\displaystyle \nu _{1}}$،${\displaystyle \nu _{2}}$نسب بواسون المرتبطة بكل جسم.

توزيع الضغط العمودي في منطقة التلامس كدالة للمسافة من مركز الدائرة هو ^{[ 1 ]}

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

أين${\displaystyle p_{0}}$أقصى ضغط تلامس مُعطى بواسطة

${\displaystyle p_{0}={\frac {3F}{2\pi a^{2}}}={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {6F{E^{*}}^{2}}{R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

يرتبط نصف قطر الدائرة بالحمل المطبق${\displaystyle F}$بحسب المعادلة

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3FR}{4E^{*}}}}$

التشوه الكلي${\displaystyle d}$يرتبط ذلك بأقصى ضغط تلامس من خلال

${\displaystyle d={\frac {a^{2}}{R}}=\left({\frac {9F^{2}}{16{E^{*}}^{2}R}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

يحدث أقصى إجهاد قص في الداخل عند${\displaystyle z\حوالي 0.49a}$ل${\displaystyle \nu =0.33}$.

للتلامس بين كرتين بنصف قطر${\displaystyle R_{1}}$و${\displaystyle R_{2}}$، منطقة التلامس عبارة عن دائرة نصف قطرها${\displaystyle a}$المعادلات هي نفسها كما في حالة كرة ملامسة لنصف مستوى، باستثناء أن نصف القطر الفعال${\displaystyle R}$يُعرَّف على أنه ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

هذا يعادل التلامس بين كرة نصف قطرها${\displaystyle R}$وطائرة .​

إذا تم ضغط أسطوانة صلبة في نصف فضاء مرن، فإنها تخلق توزيع ضغط موصوف بـ ^{[ 17 ]}

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

أين${\displaystyle R}$يمثل نصف قطر الأسطوانة و

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{R}}}$

تُعطى العلاقة بين عمق الانبعاج والقوة العمودية بالعلاقة التالية:

${\displaystyle F=2RE^{*}d}$

في حالة انضغاط نصف فضاء مرن ذي معامل يونغ${\displaystyle E}$باستخدام أداة ضغط مخروطية صلبة ، عمق منطقة التلامس${\displaystyle \epsilon }$ونصف قطر التلامس${\displaystyle a}$ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض من خلال ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \epsilon =a\tan(\theta )}$

مع${\displaystyle \theta }$يُعرَّف بأنه الزاوية بين المستوى والسطح الجانبي للمخروط. عمق الانضغاط الكلي${\displaystyle d}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}\epsilon }$

القوة الكلية هي

${\displaystyle F={\frac {\pi E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}a^{2}\tan(\theta )={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}}{\tan(\theta )}}}$

يُعطى توزيع الضغط بواسطة

${\displaystyle p\left(r\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\cosh ^{-1}\left({\frac {a}{r}}\right)}$

يُظهر الإجهاد تفرداً لوغاريتمياً عند طرف المخروط.

في حالة التلامس بين أسطوانتين بمحاور متوازية، تكون القوة متناسبة خطيًا مع طول الأسطوانات L ومع عمق الانبعاج d : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle F\approx {\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$

لا تتضمن هذه العلاقة أنصاف أقطار الانحناء إطلاقًا. ويتم وصف نصف قطر التلامس من خلال العلاقة المعتادة.

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

مع

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

كما هو الحال عند التلامس بين كرتين. أقصى ضغط يساوي

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

غالباً ما يكون التلامس في حالة المحامل عبارة عن تلامس بين سطح محدب (أسطوانة أو كرة ذكر) وسطح مقعر (أسطوانة أو كرة أنثى: تجويف أو كأس نصف كروي ).

يمكن حل بعض مسائل التلامس باستخدام طريقة تقليل الأبعاد (MDR). في هذه الطريقة، يُستبدل النظام ثلاثي الأبعاد الأولي بتلامس جسم مع أساس مرن خطي أو لزج مرن (انظر الشكل). تتطابق خصائص الأنظمة أحادية البعد تمامًا مع خصائص النظام ثلاثي الأبعاد الأصلي، إذا تم تعديل شكل الأجسام وتحديد عناصر الأساس وفقًا لقواعد MDR. ^{[ 19 ] [ 20 ]} تعتمد MDR على حل مسائل التلامس المتناظرة محوريًا الذي توصل إليه لودفيج فوبل (1941) وجيرهارد شوبرت (1942) لأول مرة. ^{[ 21 ]}

ومع ذلك، للحصول على نتائج تحليلية دقيقة، من الضروري أن تكون مشكلة الاتصال متناظرة محورياً وأن تكون نقاط الاتصال متراصة.

تُعتمد الافتراضات التالية في تحديد حلول مسائل التلامس الهيرتزية :

• الإجهادات صغيرة وتقع ضمن حدود المرونة.
• الأسطح متصلة وغير متوافقة (مما يعني أن مساحة التلامس أصغر بكثير من الأبعاد المميزة للأجسام المتلامسة).
• يمكن اعتبار كل جسم نصف فضاء مرن.
• الأسطح عديمة الاحتكاك.

تنشأ تعقيدات إضافية عندما يتم انتهاك بعض أو كل هذه الافتراضات، وعادة ما تسمى مشاكل الاتصال هذه بمشاكل غير هيرتزية .

يمكن تصنيف طرق الحل التحليلية لمسألة التلامس غير اللاصق إلى نوعين بناءً على هندسة منطقة التلامس. ^{[ 22 ]} التلامس المتوافق هو التلامس الذي تتلامس فيه الأجسام عند نقاط متعددة قبل حدوث أي تشوه (أي أنها "تتلاءم" معًا). أما التلامس غير المتوافق فهو التلامس الذي تكون فيه أشكال الأجسام مختلفة بما يكفي بحيث تتلامس عند نقطة واحدة فقط (أو ربما على طول خط) في حالة انعدام الحمل. في حالة التلامس غير المتوافق، تكون منطقة التلامس صغيرة مقارنة بأحجام الأجسام، وتتركز الإجهادات بشكل كبير في هذه المنطقة. يُسمى هذا النوع من التلامس بالتلامس المركز ، وإلا يُسمى بالتلامس المتنوع .

يتمثل أحد الأساليب الشائعة في المرونة الخطية في تراكب عدد من الحلول، حيث يتوافق كل حل مع حمل نقطي يؤثر على منطقة التلامس. على سبيل المثال، في حالة تحميل نصف مستوى ، يُستخدم حل فلامان غالبًا كنقطة بداية، ثم يُعمم ليشمل أشكالًا مختلفة لمنطقة التلامس. وتُشكل موازنات القوى والعزوم بين الجسمين المتلامسين قيودًا إضافية على الحل.

نقطة اتصال على نصف مستوى (ثنائي الأبعاد)

تتمثل نقطة البداية لحل مسائل التلامس في فهم تأثير "حمل نقطي" مُطبق على نصف مستوى متجانس الخواص، ومرن خطيًا، كما هو موضح في الشكل على اليمين. قد تكون المسألة إما إجهادًا مستويًا أو انفعالًا مستويًا . هذه مسألة قيمة حدية في المرونة الخطية تخضع لشروط حدية للشد .

${\displaystyle \sigma _{xz}(x,0)=0~;~~\sigma _{z}(x,z)=-P\delta (x,z)}$

أين${\displaystyle \delta (x,z)}$دالة ديراك دلتا هي دالة ديراك دلتا . تنص شروط الحدود على عدم وجود إجهادات قص على السطح، وتطبيق قوة عمودية مفردة P عند النقطة (0, 0). بتطبيق هذه الشروط على معادلات المرونة، نحصل على النتيجة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {x^{2}z}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{zz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {z^{3}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {xz^{2}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

إلى حد ما،${\displaystyle (x,y)}$في نصف المستوى. تشير الدائرة الموضحة في الشكل إلى سطح يكون فيه أقصى إجهاد قص ثابتًا. ومن خلال مجال الإجهاد هذا، يمكن تحديد مركبات الانفعال ، وبالتالي إزاحات جميع نقاط المادة.

لا داعي للتمييز بين التلامس المتوافق وغير المتوافق عند استخدام طرق الحل العددي لحل مسائل التلامس. لا تعتمد هذه الطرق على افتراضات إضافية في عملية الحل، إذ تستند فقط إلى الصيغة العامة للمعادلات الأساسية. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} بالإضافة إلى المعادلات القياسية التي تصف تشوه وحركة الأجسام، يمكن صياغة متباينتين إضافيتين. الأولى تقيد حركة وتشوه الأجسام بافتراض عدم إمكانية حدوث اختراق. ومن هنا تأتي الفجوة.${\displaystyle h}$لا يمكن أن تكون العلاقة بين جسمين إلا موجبة أو صفرية.

${\displaystyle h\geq 0}$

أين${\displaystyle h=0}$يشير الرمز إلى التلامس. أما الافتراض الثاني في ميكانيكا التلامس فيتعلق بحقيقة أنه لا يُسمح بوجود قوة شد داخل منطقة التلامس (يمكن رفع الأجسام المتلامسة دون قوى تماسك). ويؤدي هذا إلى متباينة يجب أن تخضع لها الإجهادات عند سطح التلامس. وقد صِيغت هذه المتباينة للإجهاد العمودي.${\displaystyle \sigma _{n}=\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} }$.

في المواقع التي يوجد فيها تلامس بين الأسطح، تكون الفجوة صفرًا، أي${\displaystyle h=0}$وهناك يكون الإجهاد الطبيعي مختلفًا عن الصفر، بالفعل.${\displaystyle \sigma _{n}<0}$. في المواقع التي لا تتلامس فيها الأسطح يكون الإجهاد الطبيعي مساوياً للصفر؛${\displaystyle \sigma _{n}=0}$بينما تكون الفجوة موجبة؛ أي${\displaystyle h>0}$. يمكن التعبير عن هذا النوع من صياغة التكاملية في ما يسمى بصيغة كون-تاكر ، أي.

${\displaystyle h\geq 0\,,\quad \sigma _{n}\leq 0\,,\quad \sigma _{n}\,h=0\,.}$

تُعتبر هذه الشروط صحيحة بشكل عام. يعتمد الصياغة الرياضية للفجوة على حركية النظرية الأساسية للجسم الصلب (مثل الجسم الصلب الخطي أو غير الخطي في بعدين أو ثلاثة أبعاد، أو نموذج العارضة أو القشرة ). بإعادة صياغة الإجهاد العمودي${\displaystyle \sigma _{n}}$من حيث ضغط التلامس،${\displaystyle p}$؛ أي،${\displaystyle p=-\sigma _{n}}$يمكن إعادة صياغة مسألة كون-تاكر في شكل التكامل القياسي، أي$${\displaystyle h\geq 0\,,\quad p\geq 0\,,\quad p\,h=0\,.}$$في حالة المرونة الخطية، يمكن صياغة الفجوة على النحو التالي:$${\displaystyle {h}=h_{0}+{g}+u,}$$أين${\displaystyle h_{0}}$هو فصل الجسم الصلب ،${\displaystyle g}$هي هندسة/تضاريس منطقة التلامس (الأسطوانة والخشونة) و${\displaystyle u}$يمثل التشوه/الانحراف المرن. إذا تم تقريب الأجسام المتلامسة على أنها أنصاف فضاءات مرنة خطية، فيمكن تطبيق حل معادلة بوسينسك-سيروتي التكاملية للتعبير عن التشوه (${\displaystyle u}$) كدالة لضغط التلامس (${\displaystyle p}$)؛ أي،$${\displaystyle u=\int _{\infty }^{\infty }K(x-s)p(s)ds,}$$أين$${\displaystyle K(x-s)={\frac {2}{\pi E^{*}}}\ln |x-s|}$$لتحميل خطي لنصف فضاء مرن و$${\displaystyle K(x-s)={\frac {1}{\pi E^{*}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(x_{1}-s_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-s_{2}\right)^{2}}}}}$$لتحميل نقطة واحدة على نصف فضاء مرن. ^{[ 1 ]}

بعد التقطيع، يمكن صياغة مسألة ميكانيكا التلامس المرنة الخطية في شكل مسألة التكامل الخطي القياسية (LCP). ^{[ 28 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {h} &=\mathbf {h} _{0}+\mathbf {g} +\mathbf {Cp} ,\\\mathbf {h} \cdot \mathbf {p} &=0,\,\,\,\mathbf {p} \geq 0,\,\,\,\mathbf {h} \geq 0,\\\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {C} }$هي مصفوفة، عناصرها ما يُسمى بمعاملات التأثير التي تربط ضغط التلامس بالتشوه. يسمح صياغة LCP الدقيقة لمسألة CM المذكورة أعلاه بالتطبيق المباشر لتقنيات الحل العددي الراسخة، مثل خوارزمية ليمكي المحورية . تتميز خوارزمية ليمكي بقدرتها على إيجاد الحل العددي الدقيق في عدد محدود من التكرارات. يُعد تطبيق MATLAB الذي قدمه ألمكفيست وآخرون مثالًا يُمكن استخدامه لحل المسألة عدديًا. إضافةً إلى ذلك، نشر ألمكفيست وآخرون أيضًا مثالًا برمجيًا لحل LCP لمسألة ميكانيكا التلامس المرنة الخطية ثنائية الأبعاد على موقع تبادل ملفات MATLAB .

اقترح غرينوود وويليامسون في عام 1966 (GW) ^{[ 31 ]} نظريةً لميكانيكا التلامس المرن للأسطح الخشنة، والتي تُعدّ اليوم أساسًا للعديد من النظريات في علم الاحتكاك (الاحتكاك، والالتصاق، والتوصيل الحراري والكهربائي، والتآكل، إلخ). درس الباحثان التلامس بين سطح مستوٍ صلب أملس وسطح خشن قابل للتشوه، مسطح اسميًا، ومغطى بنتوءات ذات رؤوس مستديرة بنفس نصف القطر R. تفترض نظريتهما أن تشوه كل نتوء مستقل عن تشوه جيرانه، ويتم وصفه بنموذج هيرتز. تتوزع ارتفاعات النتوءات عشوائيًا، واحتمالية أن يكون ارتفاع النتوء ضمن نطاق معين${\displaystyle z}$و${\displaystyle z+dz}$يكون ${\displaystyle \phi (z)dz}$قام المؤلفون بحساب عدد نقاط التلامس n، ومساحة التلامس الكلية${\displaystyle A_{r}}$والحمل الكلي P في الحالة العامة. وقد قدموا هذه الصيغ بصيغتين: الصيغة الأساسية والصيغة باستخدام متغيرات معيارية. إذا افترضنا أن N نتوءًا تغطي سطحًا خشنًا، فإن العدد المتوقع للتلامسات هو

${\displaystyle n=N\int _{d}^{\infty }\phi (z)dz}$

يمكن حساب إجمالي مساحة التلامس المتوقعة من الصيغة

${\displaystyle A_{a}=N\pi R\int _{d}^{\infty }(z-d)\phi (z)dz}$

والقوة الكلية المتوقعة تُعطى بالعلاقة التالية

${\displaystyle P={\frac {4}{3}}NE_{r}{\sqrt {R}}\int _{d}^{\infty }(z-d)^{\frac {3}{2}}\phi (z)dz}$

أين:

R، نصف قطر انحناء النتوء الدقيق،

z، ارتفاع النتوء الدقيق المقاس من خط المظهر الجانبي،

د، أغلق السطح،

${\displaystyle E_{r}=\left({\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}\right)^{-1}}$معامل يونغ المركب للمرونة،

${\displaystyle E_{i}}$، معامل مرونة السطح،

${\displaystyle \nu _{i}}$، معاملات سطح بواسون.

أدخل غرينوود وويليامسون الفصل المعياري${\displaystyle h=d/\sigma }$وتوزيع الطول المعياري${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$والتي يكون انحرافها المعياري مساوياً للواحد. فيما يلي الصيغ في شكلها المعياري.

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(h)&=\int _{h}^{\infty }(s-h)^{n}\phi ^{*}(s)ds\\n&=\eta A_{n}F_{0}(h)\\A_{a}&=\pi \eta AR\sigma F_{1}(h)\\P&={\frac {4}{3}}\eta AE_{r}{\sqrt {R}}\sigma ^{\frac {3}{2}}F_{\frac {3}{2}}(h)\end{aligned}}}$

أين:

د هي المسافة الفاصلة،

${\displaystyle A}$هي مساحة التلامس الاسمية،

${\displaystyle \eta }$هي الكثافة السطحية للنتوءات،

${\displaystyle E^{*}}$هو معامل يونغ الفعال.

${\displaystyle A}$و${\displaystyle P}$يمكن تحديد ذلك عندما${\displaystyle F_{n}(h)}$يتم حساب الحدود للأسطح المعطاة باستخدام التفاف خشونة السطح${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$[ ^{34 ] وقد اتبعت} العديد من الدراسات منحنيات التوافق المقترحة لـ${\displaystyle F_{n}(h)}$بافتراض توزيع غاوسي لارتفاع السطح مع منحنيات مطابقة قدمها أركومانِس وآخرون ^{[ 35 ]} وجيدناك ^{[ 36 ]} وغيرهم. لوحظ مرارًا وتكرارًا أن الأسطح الهندسية لا تُظهر توزيعات غاوسية لارتفاع السطح، على سبيل المثال بيكلينيك ^{[ 37 ]} . قدم لايتون وآخرون ^{[ 38 ]} منحنيات مطابقة لأسطح بطانة أسطوانة محرك الاحتراق الداخلي المتقاطعة، بالإضافة إلى عملية لتحديد${\displaystyle F_{n}(h)}$شروط لأي أسطح مقاسة. أثبت لايتون وآخرون ^{[ 38 ]} أن بيانات التوافق الغاوسي ليست دقيقة لنمذجة أي أسطح هندسية، وتابعوا ليثبتوا ^{[ 39 ]} أن التشغيل المبكر للأسطح يؤدي إلى انتقال تدريجي يغير بشكل كبير تضاريس السطح وقدرة تحمل الأحمال والاحتكاك.

في الآونة الأخيرة، تم تحديد القيم التقريبية الدقيقة لـ${\displaystyle A_{r}}$و${\displaystyle P}$نُشرت هذه النتائج بواسطة جيدناك. ^{[ 36 ]} وهي مُعطاة بالصيغ الكسرية التالية، والتي تُمثل تقريبات للتكاملات.${\displaystyle F_{n}(h)}$يتم حسابها لتوزيع غاوسي للنتوءات، والذي ثبت أنه غير واقعي بالنسبة للأسطح الهندسية، ولكن يمكن افتراضه عندما لا تكون نتائج الاحتكاك أو قدرة تحمل الأحمال أو مساحة التلامس الحقيقية حاسمة للتحليل. ^{[ 38 ]}

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

ل${\displaystyle F_{1}(h)}$المعاملات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.398942280401,0.159773702775,0.0389687688311,0.00364356495452]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=\left[1.653807476138,1.170419428529,0.448892964428,0.0951971709160,0.00931642803836,-6.383774657279\times 10^{-6}\right]\end{aligned}}}$

أقصى خطأ نسبي هو${\displaystyle 9.93\times 10^{-8}\%}$.

ل${\displaystyle F_{\frac {3}{2}}(h)}$المعاملات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.430019993662,0.101979509447,0.0229040629580,0.000688602924]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.671117125984,1.199586555505,0.46936532151,0.102632881122,0.010686348714,0.0000517200271]\end{aligned}}}$

أقصى خطأ نسبي هو${\displaystyle 1.91\times 10^{-7}\%}$تحتوي الورقة ^{[ 36 ]} أيضًا على الصيغ الدقيقة لـ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(h)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}h^{2}\right)-{\frac {1}{2}}h\,\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)\\F_{\frac {3}{2}}(h)&={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right){\sqrt {h}}\left(\left(h^{2}+1\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-h^{2}K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

حيث تعني erfc(z) دالة الخطأ التكميلية و${\displaystyle K_{\nu }(z)}$هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني.

في الحالة التي يكون فيها توزيع ارتفاع النتوءات على السطحين توزيعًا غاوسيًا، ويمكن افتراض أن القمم كروية الشكل، ^{[ 31 ]} يكون متوسط ​​ضغط التلامس كافيًا لإحداث الخضوع عندما${\displaystyle p_{\text{av}}=1.1\sigma _{y}\approx 0.39\sigma _{0}}$أين${\displaystyle \sigma _{y}}$يمثل إجهاد الخضوع أحادي المحور و${\displaystyle \sigma _{0}}$هي صلابة الانضغاط. ^{[ 1 ]} عرّف غرينوود وويليامسون ^{[ 31 ]} معاملًا لا بُعديًا${\displaystyle \Psi }$يُطلق عليه مؤشر اللدونة الذي يمكن استخدامه لتحديد ما إذا كان التلامس مرنًا أم لدنًا.

يتطلب نموذج غرينوود-ويليامسون معرفة كميتين مرتبطتين إحصائيًا؛ وهما الانحراف المعياري لخشونة السطح وانحناء قمم النتوءات. وقدّم ميكيك تعريفًا بديلًا لمؤشر اللدونة. ^{[ 32 ]} يحدث الخضوع عندما يكون الضغط أكبر من إجهاد الخضوع أحادي المحور. وبما أن إجهاد الخضوع يتناسب طرديًا مع صلابة الانضغاط،${\displaystyle \sigma _{0}}$عرّف ميكيتش مؤشر اللدونة للتلامس المرن اللدن على النحو التالي:

${\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\frac {2}{3}}~.}$

في هذا التعريف${\displaystyle \Psi }$يمثل هذا خشونة السطح الدقيقة في حالة اللدونة الكاملة، ولا يلزم سوى كمية إحصائية واحدة، وهي ميل الجذر التربيعي المتوسط، والتي يمكن حسابها من قياسات السطح.${\displaystyle \Psi <{\frac {2}{3}}}$، يتصرف السطح بمرونة أثناء التلامس.

في كل من نموذجي غرينوود-ويليامسون وميكيك، يُفترض أن الحمل يتناسب طرديًا مع المساحة المشوهة. وبالتالي، فإن سلوك النظام، سواء كان لدنًا أو مرنًا، لا يعتمد على القوة العمودية المطبقة. ^{[ 1 ]}

قام النموذج الذي اقترحه جون أ. غرينوود وجون هـ. تريب (GT) ^{[ 40 ]} بتوسيع نموذج GW ليشمل التلامس بين سطحين خشنين. ويُستخدم نموذج GT على نطاق واسع في مجال التحليل المرن الهيدروديناميكي.

المعادلات الأكثر استخدامًا التي يقدمها نموذج GT هي تلك المتعلقة بمنطقة تلامس النتوءات

${\displaystyle A_{a}=\pi ^{2}(\eta \beta \sigma )^{2}AF_{2}(\lambda ),}$

والحمل الذي تحمله النتوءات

${\displaystyle P={\frac {8{\sqrt {2}}}{15}}\pi (\eta \beta \sigma )^{2}{\sqrt {\frac {\sigma }{\beta }}}E'AF_{\frac {5}{2}}(\lambda ),}$

أين:

${\displaystyle \eta \beta \sigma }$، معامل الخشونة،

${\displaystyle A}$مساحة التلامس الاسمية،

${\displaystyle \lambda }$معامل طبقة الزيت ستريبك، الذي عرّفه ستريبك لأول مرة [المصدر: gt] على النحو التالي:${\displaystyle \lambda =h/\sigma }$،

${\displaystyle E'}$، معامل المرونة الفعال،

${\displaystyle F_{2},F_{\frac {5}{2}}(\lambda )}$، وظائف إحصائية تم إدخالها لمطابقة التوزيع الغاوسي المفترض للنتوءات.

قدم ماثيو لايتون وآخرون ^{[ 38 ]} نماذج ملائمة لأسطح بطانة أسطوانات محركات الاحتراق الداخلي المتقاطعة، بالإضافة إلى عملية لتحديد${\displaystyle F_{n}(h)}$شروط لأي أسطح مقاسة. أثبت لايتون وآخرون ^{[ 38 ]} أن بيانات التوافق الغاوسي ليست دقيقة لنمذجة أي أسطح هندسية، وتابعوا ليثبتوا ^{[ 39 ]} أن التشغيل المبكر للأسطح يؤدي إلى انتقال تدريجي يغير بشكل كبير تضاريس السطح وقدرة تحمل الأحمال والاحتكاك.

الحلول الدقيقة لـ${\displaystyle A_{a}}$و${\displaystyle P}$قدمها جيديناك أولاً. ^{[ 36 ]} وقد تم التعبير عنها بواسطة${\displaystyle F_{n}}$كما يلي. يتم حسابها لتوزيع غاوسي للنتوءات، والذي ثبت أنه غير واقعي للأسطح الهندسية، ولكن يمكن افتراضه عندما لا تكون نتائج الاحتكاك أو قدرة تحمل الأحمال أو مساحة التلامس الحقيقية حاسمة للتحليل. ^{[ 38 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}&={\frac {1}{2}}\left(h^{2}+1\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {h}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)\\F_{\frac {5}{2}}&={\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h^{\frac {3}{2}}\left(\left(2h^{2}+3\right)K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-\left(2h^{2}+5\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

حيث تعني erfc(z) دالة الخطأ التكميلية و${\displaystyle K_{\nu }(z)}$هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني.

يمكن الاطلاع في الورقة البحثية ^{[ 36 ]} على مراجعة شاملة للتقريبات الموجودة لـ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$تقدم المقترحات الجديدة أدق التقديرات لـ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$و${\displaystyle F_{2}}$والتي ورد ذكرها في الأدبيات. وهي معطاة بالصيغ الكسرية التالية، والتي تُعد تقريبات دقيقة للغاية للتكاملات.${\displaystyle F_{n}(h)}$يتم حسابها لتوزيع غاوسي للنتوءات

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

ل${\displaystyle F_{2}(h)}$المعاملات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.5,0.182536384941,0.039812283118,0.003684879001]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.960841785003,1.708677456715,0.856592986083,0.264996791567,0.049257843893,0.004640740133]\end{aligned}}}$

أقصى خطأ نسبي هو${\displaystyle 1.68\times 10^{-7}\%}$.

ل${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}(h)}$المعاملات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.616634218997,0.108855827811,0.023453835635,0.000449332509]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.919948267476,1.635304362591,0.799392556572,0.240278859212,0.043178653945,0.003863334276]\end{aligned}}}$

أقصى خطأ نسبي هو${\displaystyle 4.98\times 10^{-8}\%}$.

من الشائع افتراض أن قوة السطح بين مستويين ذريين على مسافة${\displaystyle z}$يمكن اشتقاقها من بعضها البعض من جهد لينارد-جونز . مع هذا الافتراض

${\displaystyle F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]}$

أين${\displaystyle F}$هي القوة (موجبة في حالة الانضغاط)،${\displaystyle 2\gamma }$تمثل الطاقة السطحية الكلية لكلا السطحين لكل وحدة مساحة، و${\displaystyle z_{0}}$هو المسافة المتوازنة بين المستويين الذريين.

استخدم نموذج برادلي جهد لينارد-جونز لإيجاد قوة التماسك بين كرتين صلبتين. وقد وُجد أن القوة الكلية بين الكرتين هي

${\displaystyle F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

أين${\displaystyle R_{1},R_{2}}$يمثلان نصف قطري الكرتين.

تنفصل الكرتان تمامًا عندما يتم الوصول إلى قوة السحب عند${\displaystyle z=z_{0}}$عند هذه النقطة

${\displaystyle F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.}$

لإدراج تأثير الالتصاق في التلامس الهيرتزي، صاغ جونسون وكيندال وروبرتس ^{[ 5 ]} نظرية JKR للتلامس الالتصاقي باستخدام توازن بين الطاقة المرنة المخزنة وفقدان طاقة السطح . يأخذ نموذج JKR في الاعتبار تأثير ضغط التلامس والالتصاق داخل منطقة التلامس فقط. الحل العام لتوزيع الضغط في منطقة التلامس في نموذج JKR هو

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+p_{0}'\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

لاحظ أنه في نظرية هيرتز الأصلية، فإن المصطلح الذي يحتوي${\displaystyle p_{0}'}$تم إهمالها على أساس أنه لا يمكن الحفاظ على التوتر في منطقة التلامس. للتلامس بين كرتين

${\displaystyle p_{0}={\frac {2aE^{*}}{\pi R}};\quad p_{0}'=-\left({\frac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

أين${\displaystyle a\,}$يمثل نصف قطر منطقة التلامس،${\displaystyle F}$هي القوة المطبقة،${\displaystyle 2\gamma }$تمثل الطاقة السطحية الكلية لكلا السطحين لكل وحدة مساحة تلامس، ${\displaystyle R_{i},\,E_{i},\,\nu _{i},~~i=1,2}$تمثل هذه القيم أنصاف أقطار الكرتين، ومعاملات يونغ، ونسب بواسون، و

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}};\quad {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

تُعطى مسافة الاقتراب بين الكرتين بالعلاقة التالية:

${\displaystyle d={\frac {\pi a}{2E^{*}}}\left(p_{0}+2p_{0}'\right)={\frac {a^{2}}{R}}}$

تأخذ معادلة هيرتز لمنطقة التلامس بين كرتين، بعد تعديلها لمراعاة طاقة السطح، الشكل التالي:

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

عندما تكون طاقة السطح صفراً،${\displaystyle \gamma =0}$عندئذٍ، تُستعاد معادلة هيرتز للتلامس بين كرتين. عندما يكون الحمل المطبق صفرًا، يكون نصف قطر التلامس هو

${\displaystyle a^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}}$

الحمل الشدّي الذي تنفصل عنده الكرات (أي،${\displaystyle a=0}$من المتوقع أن يكون

${\displaystyle F_{\text{c}}=-3\gamma \pi R\,}$

تُسمى هذه القوة أيضًا قوة الفصل . لاحظ أن هذه القوة مستقلة عن معامل مرونة الكرتين. ومع ذلك، يوجد حل آخر محتمل لقيمة .${\displaystyle a}$عند هذا الحمل. هذه هي منطقة التلامس الحرجة.${\displaystyle a_{\text{c}}}$، مقدمة من

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}}$

إذا عرّفنا عمل الالتصاق على النحو التالي

${\displaystyle \Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}}$

أين${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$تمثل طاقات الالتصاق للسطحين و${\displaystyle \gamma _{12}}$إذا كان مصطلحًا تفاعليًا، فيمكننا كتابة نصف قطر التلامس JKR على النحو التالي:

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

الحمل الشدّي عند الانفصال هو

${\displaystyle F=-{\frac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,}$

ويُعطى نصف قطر التلامس الحرج بالعلاقة التالية:

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{8E^{*}}}}$

العمق الحرج للاختراق هو

${\displaystyle d_{\text{c}}={\frac {a_{c}^{2}}{R}}=\left(R^{\frac {1}{2}}{\frac {9\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}\right)^{\frac {2}{3}}}$

يُعد نموذج Derjaguin–Muller–Toporov (DMT) ^{[ 7 ] [ 42 ]} نموذجًا بديلًا للتلامس اللاصق الذي يفترض أن شكل التلامس يظل كما هو الحال في التلامس الهيرتزي ولكن مع تفاعلات جاذبة إضافية خارج منطقة التلامس.

نصف قطر منطقة التلامس بين كرتين وفقًا لنظرية DMT هو

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)}$

وقوة السحب هي

${\displaystyle F_{c}=-4\gamma \pi R\,}$

عندما يتم تحقيق قوة السحب، تصبح مساحة التلامس صفرًا ولا توجد نقطة تفرد في إجهادات التلامس عند حافة منطقة التلامس.

فيما يتعلق بعمل الالتصاق${\displaystyle \Delta \gamma }$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)}$

و

${\displaystyle F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,}$

في عام 1977، أظهر تابور ^{[ 43 ]} أن التناقض الظاهر بين نظريتي JKR وDMT يمكن حله من خلال ملاحظة أن النظريتين كانتا الحدين الأقصى لنظرية واحدة محددة بمعامل تابور (${\displaystyle \mu }$) معرفة على النحو التالي

${\displaystyle \mu$ :={\frac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\frac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{\frac {1}{3}}}

أين${\displaystyle z_{0}}$يمثل المسافة المتوازنة بين السطحين المتلامسين. تنطبق نظرية JKR على الكرات الكبيرة المرنة التي${\displaystyle \mu }$كبيرة. تنطبق نظرية DMT على الكرات الصغيرة والصلبة ذات القيم الصغيرة لـ${\displaystyle \mu }$.

لاحقًا، أكد ديرجاغين وزملاؤه ^{[ 44 ]،} من خلال تطبيق قانون قوة سطح برادلي على نصف فضاء مرن، أنه مع زيادة معامل تابور، تنخفض قوة السحب عن قيمة برادلي.${\displaystyle 2\pi R\Delta \gamma }$إلى قيمة JKR${\displaystyle (3/2)\pi R\Delta \gamma }$أجرى غرينوود ^{[ 45 ]} حسابات أكثر تفصيلاً لاحقاً، كاشفاً عن منحنى الحمل/الاقتراب على شكل حرف S، والذي يفسر تأثير القفز. وقدّم فينغ ^{[ 46 ] طريقة أكثر كفاءة لإجراء الحسابات ونتائج إضافية.}

^{قدّم موجيس [ 9 ]} تحسينًا إضافيًا لفكرة تابور، حيث مثّل قوة السطح بتقريب منطقة دوجديل المتماسكة ، بحيث يُعطى شغل الالتصاق بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}}$

أين${\displaystyle \sigma _{0}}$هي أقصى قوة متوقعة بواسطة جهد لينارد-جونز و${\displaystyle h_{0}}$يمثل هذا أقصى فصل يتم الحصول عليه من خلال مطابقة المساحات تحت منحنيات دوجديل ولينارد-جونز (انظر الشكل المجاور). وهذا يعني أن قوة التجاذب ثابتة بالنسبة لـ${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}}$لا يحدث اختراق إضافي عند الضغط. ويحدث تلامس مثالي في منطقة نصف قطرها${\displaystyle a}$وقوى الالتصاق ذات المقدار${\displaystyle \sigma _{0}}$يمتد إلى منطقة نصف قطرها${\displaystyle c>a}$في المنطقة${\displaystyle a<r<c}$السطحان مفصولان بمسافة${\displaystyle h(r)}$مع${\displaystyle h(a)=0}$و${\displaystyle h(c)=h_{0}}$النسبة${\displaystyle m}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle m:={\frac {c}{a}}}$.

في نظرية موجيس-دوجديل، ^{[ 47 ]} يُقسّم توزيع قوة الجر السطحية إلى جزأين - أحدهما ناتج عن ضغط التلامس هيرتز والآخر عن إجهاد الالتصاق دوجديل. يُفترض وجود تلامس هيرتز في المنطقة${\displaystyle -a<r<a}$تُعطى مساهمة ضغط هيرتز في قوة الجر السطحية بالمعادلة التالية:

${\displaystyle p^{H}(r)=\left({\frac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

حيث قوة التلامس هيرتز${\displaystyle F^{H}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle F^{H}={\frac {4E^{*}a^{3}}{3R}}}$

الاختراق الناتج عن الضغط المرن هو

${\displaystyle d^{H}={\frac {a^{2}}{R}}}$

الإزاحة الرأسية عند${\displaystyle r=c}$يكون

${\displaystyle u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}\left(2-m^{2}\right)\sin ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

والمسافة الفاصلة بين السطحين عند${\displaystyle r=c}$يكون

${\displaystyle h^{H}(c)={\frac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)}$

توزيع قوة الاحتكاك السطحي الناتج عن إجهاد دوجديل اللاصق هو

${\displaystyle p^{D}(r)={\begin{cases}-{\frac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\frac {2-m^{2}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\frac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad {\text{for}}\quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad {\text{for}}\quad a\leq r\leq c\end{cases}}}$

تُعطى قوة الالتصاق الكلية بالعلاقة التالية:

${\displaystyle F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

الضغط الناتج عن التصاق دوجديل هو

${\displaystyle d^{D}=-\left({\frac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}}$

والفجوة عند${\displaystyle r=c}$يكون

${\displaystyle h^{D}(c)=\left({\frac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+1-m\right]}$

تُعطى قوة الاحتكاك الصافية على منطقة التلامس بالعلاقة التالية:${\displaystyle p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)}$وقوة التلامس الصافية هي${\displaystyle F=F^{H}+F^{D}}$. متى${\displaystyle h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}}$تنخفض قوة الالتصاق إلى الصفر.

القيم غير البعدية لـ${\displaystyle a,c,F,d}$يتم تقديمها في هذه المرحلة والتي يتم تحديها على أنها

${\displaystyle {\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha$ :=\left({\frac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\frac {F}{\pi \Delta \gamma R}}}

بالإضافة إلى ذلك، اقترح ماوجيس معيارًا${\displaystyle \lambda }$وهو ما يعادل معامل تابور${\displaystyle \mu }$يتم تعريف هذه المعلمة على النحو التالي:

${\displaystyle \lambda$ :=\sigma _{0}\left({\frac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.16\mu }

حيث يكون إجهاد التماسك المتدرج${\displaystyle \sigma _{0}}$يساوي الإجهاد النظري لجهد لينارد-جونز

${\displaystyle \sigma _{\text{th}}={\frac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}}$

اقترح تشنغ ويو ^{[ 48 ]} قيمة أخرى لإجهاد التماسك المتدرج

${\displaystyle \sigma _{0}=\exp \left(-{\frac {223}{420}}\right)\cdot {\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}\approx 0.588{\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}}$

لتحقيق التوافق مع إمكانات لينارد-جونز، مما يؤدي إلى

${\displaystyle \lambda \approx 0.663\mu }$

ويمكن التعبير عن قوة التلامس الصافية على النحو التالي:

${\displaystyle {\bar {F}}={\bar {a}}^{3}-\lambda {\bar {a}}^{2}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}+m^{2}\sec ^{-1}m\right]}$

والضغط المرن كـ

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {a}}^{2}-{\frac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}{\sqrt {m^{2}-1}}}$

تأخذ معادلة الفجوة التماسكية بين الجسمين الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[\left(m^{2}-2\right)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\frac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1}$