الشمولية (الأنظمة الديناميكية)

في الميكانيكا الإحصائية ، تُعرف العمومية بأنها ملاحظة وجود خصائص لفئة واسعة من الأنظمة مستقلة عن التفاصيل الديناميكية للنظام. وتُظهر الأنظمة العمومية في حدّ التناسب، عندما تجتمع أعداد كبيرة من الأجزاء المتفاعلة. وقد قدّم ليو كادانوف المعنى الحديث لهذا المصطلح في ستينيات القرن الماضي، ولكن نسخة أبسط من المفهوم كانت مضمنة بالفعل في معادلة فان دير فالس وفي نظرية لانداو السابقة لانتقالات الطور، والتي لم تُدمج التناسب بشكل صحيح.

يكتسب هذا المصطلح ببطء استخدامًا أوسع في العديد من مجالات الرياضيات، بما في ذلك التوافقية ونظرية الاحتمالات ، كلما أمكن استنتاج السمات الكمية لهيكل ما (مثل السلوك التقاربي) من عدد قليل من المعلمات العامة التي تظهر في التعريف، دون الحاجة إلى معرفة تفاصيل النظام.

تُقدّم مجموعة إعادة التطبيع تفسيرًا بديهيًا وجذابًا، وإن كان غير دقيق رياضيًا، لمفهوم الشمولية. فهي تُصنّف المؤثرات في نظرية الحقل الإحصائي إلى مؤثرين ذوي صلة ومؤثرين غير ذوي صلة. المؤثرات ذات الصلة هي تلك المسؤولة عن الاضطرابات في الطاقة الحرة (بشكل مماثل، دالة لاغرانج في نظرية الحقل الكمومي ) ^{[ 1 ]} والتي ستؤثر على حد الاستمرارية ، ويمكن ملاحظتها على مسافات طويلة. أما المؤثرات غير ذات الصلة فهي تلك التي تُغيّر فقط تفاصيل المسافات القصيرة. تُحدّد مجموعة النظريات الإحصائية الثابتة المقياس فئات الشمولية ، وتُحدّد قائمة المعاملات ذات الأبعاد المحدودة للمؤثرات ذات الصلة السلوك شبه الحرج. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

نشأ مفهوم الشمولية من دراسة التحولات الطورية في الميكانيكا الإحصائية. يحدث التحول الطوري عندما تُغير المادة خصائصها بشكل جذري: فالماء، عند تسخينه، يغلي ويتحول إلى بخار؛ أو المغناطيس، عند تسخينه، يفقد مغناطيسيته. تتميز التحولات الطورية بمعامل ترتيب ، مثل الكثافة أو المغنطة، يتغير تبعًا لمعامل في النظام، مثل درجة الحرارة. القيمة الخاصة لهذا المعامل التي يتغير عندها طور النظام هي النقطة الحرجة للنظام . بالنسبة للأنظمة التي تُظهر الشمولية، كلما اقترب المعامل من قيمته الحرجة ، قلّ اعتماد معامل الترتيب على تفاصيل النظام.

إذا كانت المعلمة β حرجة عند القيمة β _c ، فإن معلمة الترتيب a يمكن تقريبها جيدًا بواسطة

${\displaystyle a=a_{0}\left\vert \beta -\beta _{c}\right\vert ^{\alpha }.}$

يُعدّ الأسّ α أسًّا حرجًا للنظام. وكان الاكتشاف المذهل الذي تمّ التوصل إليه في النصف الثاني من القرن العشرين هو أن أنظمةً مختلفةً تمامًا تتشارك نفس الأسّ الحرج.

في عام 1975، اكتشف ميتشل فيجنباوم خاصية الشمولية في الخرائط المتكررة. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

تُعرف خاصية الشمولية بهذا الاسم لأنها تُلاحظ في مجموعة واسعة من الأنظمة الفيزيائية. ومن أمثلة الشمولية ما يلي:

• الانهيارات الثلجية في أكوام الرمال. يتناسب احتمال حدوث الانهيار الثلجي تناسبًا طرديًا مع حجمه، وتُلاحظ الانهيارات الثلجية على جميع المستويات الحجمية. يُطلق على هذه الظاهرة اسم " التنظيم الذاتي الحرج ".
• تكوّن وانتشار الشقوق والتمزقات في مواد تتراوح من الفولاذ إلى الصخور إلى الورق. وتتناسب اختلافات اتجاه التمزق، أو خشونة السطح المتصدع، تناسباً طردياً مع حجم التمزق.
• الانهيار الكهربائي للمواد العازلة ، والذي يشبه الشقوق والتمزقات.
• نفاذية السوائل عبر الأوساط غير المنتظمة، مثل البترول عبر طبقات الصخور المتصدعة، أو الماء عبر ورق الترشيح، كما هو الحال في الكروماتوغرافيا . يربط قانون القوة معدل التدفق بتوزيع الشقوق.
• انتشار الجزيئات في المحلول ، وظاهرة التجمع المحدود بالانتشار .
• توزيع الصخور ذات الأحجام المختلفة في خليط ركامي يتم هزه (مع تأثير الجاذبية على الصخور).
• ظهور ظاهرة التلألؤ الحرج في السوائل بالقرب من انتقال الطور .

كان من أهم التطورات في علم المواد خلال سبعينيات وثمانينيات القرن الماضي إدراك إمكانية استخدام نظرية المجال الإحصائي، المشابهة لنظرية المجال الكمومي، لتقديم نظرية مجهرية للشمولية. وتتمثل الملاحظة الأساسية في أن سلوك جميع الأنظمة المختلفة عند الانتقال الطوري يُوصف بواسطة مجال متصل، وأن نظرية المجال الإحصائي نفسها تصف أنظمة مختلفة. ويمكن اشتقاق أسس القياس في جميع هذه الأنظمة من نظرية المجال وحدها، وتُعرف هذه الأسس بالأسس الحرجة .

تكمن الملاحظة الأساسية في أنه بالقرب من نقطة التحول الطوري أو النقطة الحرجة ، تحدث اضطرابات على جميع المقاييس، ولذا ينبغي البحث عن نظرية ثابتة المقياس لوصف هذه الظواهر، كما يبدو أن بوكروفسكي وباتاشينسكي قد وضعا إطارًا نظريًا رسميًا لأول مرة عام 1965 ^{[ 6 ]} . وتُعدّ الشمولية نتيجةً لقلة النظريات الثابتة المقياس نسبيًا. بالنسبة لأي نظام فيزيائي محدد ، قد يتضمن الوصف التفصيلي العديد من المعاملات والجوانب التي تعتمد على المقياس. ومع ذلك، مع الاقتراب من نقطة التحول الطوري، تتضاءل أهمية المعاملات التي تعتمد على المقياس، وتسيطر الأجزاء الثابتة المقياس من الوصف الفيزيائي. وبالتالي، يمكن استخدام نموذج مبسط، وغالبًا ما يكون قابلًا للحل بدقة ، لتقريب سلوك هذه الأنظمة بالقرب من النقطة الحرجة.

يمكن تمثيل عملية الترشيح بشبكة مقاومة كهربائية عشوائية ، حيث يتدفق التيار الكهربائي من أحد طرفي الشبكة إلى الطرف الآخر. ويُلاحظ أن المقاومة الكلية للشبكة تُوصف بمتوسط ​​ترابط المقاومات فيها.

يمكن تمثيل تكوّن التمزقات والتشققات بشبكة عشوائية من الصمامات الكهربائية . مع ازدياد تدفق التيار الكهربائي عبر الشبكة، قد تنفجر بعض الصمامات، ولكن بشكل عام، يُحوّل التيار حول المناطق المتضررة، ويتوزع بانتظام. مع ذلك، عند نقطة معينة (عند التحول الطوري)، قد يحدث عطل متسلسل ، حيث يُحمّل التيار الزائد من صمام منفجر الصمام التالي بحمل زائد، حتى ينفصل جانبا الشبكة تمامًا ويتوقف تدفق التيار.

لتحليل أنظمة الشبكات العشوائية هذه، يُنظر إلى الفضاء العشوائي لجميع الشبكات الممكنة (أي المجموعة الكنسية )، ويُجرى جمع (تكامل) على جميع تكوينات الشبكة الممكنة. وكما في المناقشة السابقة، يُفترض أن كل تكوين عشوائي مُعطى مُختار من مجموعة جميع التكوينات ذات توزيع احتمالي مُحدد؛ ويُستبدل دور درجة الحرارة في هذا التوزيع عادةً بمتوسط ​​ترابط الشبكة.

تُحسب القيم المتوقعة للمؤثرات، مثل معدل التدفق والسعة الحرارية ، وما إلى ذلك، من خلال التكامل على جميع التكوينات الممكنة. ويُعدّ هذا التكامل على جميع التكوينات الممكنة نقطة التقاء بين الأنظمة في الميكانيكا الإحصائية ونظرية الحقل الكمومي . وعلى وجه الخصوص، يمكن تطبيق لغة مجموعة إعادة التطبيع على مناقشة نماذج الشبكات العشوائية. وفي تسعينيات القرن الماضي وأوائل الألفية الثانية، تم الكشف عن روابط أقوى بين النماذج الإحصائية ونظرية الحقل المطابق . ولا تزال دراسة الشمولية مجالًا بحثيًا حيويًا.

على غرار مفاهيم أخرى من الميكانيكا الإحصائية (مثل الإنتروبيا ومعادلات ماستر )، أثبتت الشمولية جدواها في توصيف الأنظمة الموزعة على مستوى أعلى، مثل أنظمة العوامل المتعددة . وقد طُبِّق هذا المصطلح ^{[ 7 ]} على محاكاة العوامل المتعددة، حيث يكون سلوك النظام على مستوى النظام مستقلاً عن درجة تعقيد العوامل الفردية، إذ يتأثر بشكل شبه كامل بطبيعة القيود التي تحكم تفاعلاتها. في ديناميكيات الشبكات ، تشير الشمولية إلى حقيقة أنه على الرغم من تنوع النماذج الديناميكية غير الخطية، التي تختلف في تفاصيل كثيرة، فإن السلوك الملحوظ للعديد من الأنظمة المختلفة يلتزم بمجموعة من القوانين الشمولية. هذه القوانين مستقلة عن التفاصيل الخاصة بكل نظام. ^{[ 8 ]}