مخطط الريح المعاكسة

في الفيزياء الحاسوبية ، يشير مصطلح "مخطط الحمل" إلى فئة من طرق التقطيع العددي لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية . في ما يُسمى بمخططات التباين الاتجاهي ، تُستخدم عادةً متغيرات المنبع لحساب المشتقات في حقل التدفق. أي أن المشتقات تُقدّر باستخدام مجموعة من نقاط البيانات المُنحازة لتكون أقرب إلى اتجاه التدفق من نقطة الاستعلام. تاريخيًا، يمكن تتبع أصول طرق التباين الاتجاهي إلى أعمال كوران وإسحاقسون وريس الذين اقترحوا طريقة CIR. ^{[ 1 ]}

لتوضيح الطريقة، ضع في اعتبارك معادلة الحمل الخطي أحادية البعد التالية$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$$ وهو ما يصف موجة تنتشر على طول${\displaystyle x}$المحور - بسرعة${\displaystyle a}$تُعد هذه المعادلة أيضًا نموذجًا رياضيًا للانتقال الخطي أحادي البعد . لنفترض نقطة شبكية نموذجية .${\displaystyle i}$في المجال. في مجال أحادي البعد، يوجد اتجاهان فقط مرتبطان بالنقطة${\displaystyle i}$- إلى اليسار (باتجاه سالب ما لا نهاية) وإلى اليمين (باتجاه موجب ما لا نهاية). إذا${\displaystyle a}$إذا كانت قيمة موجبة، فإن حل الموجة المتحركة للمعادلة أعلاه ينتشر نحو اليمين، ويُسمى الجانب الأيسر جانب الريح المعاكس ، والجانب الأيمن جانب الريح المواجه . وبالمثل، إذا${\displaystyle a}$إذا كانت قيمة سالبة، فإن حل الموجة المتحركة ينتشر نحو اليسار، ويُسمى الجانب الأيسر جانب الريح ، والجانب الأيمن جانب عكس الريح . إذا كانت طريقة الفروق المحدودة للمشتقة المكانية،${\displaystyle \partial u/\partial x}$إذا احتوى المخطط على نقاط أكثر في الجانب المواجه للرياح، فإنه يُطلق عليه اسم المخطط المتحيز للرياح أو ببساطة مخطط الرياح المعاكسة .

أبسط مخطط ممكن للرياح المعاكسة هو مخطط الرياح المعاكسة من الدرجة الأولى. وهو مُعطى بالمعادلة ^{[ 2 ].}

$${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{لـ}}\quad a>0}$$

1

$${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{لـ}}\quad a<0}$$

2

أين${\displaystyle n}$يشير إلى${\displaystyle t}$الأبعاد و${\displaystyle i}$يشير إلى${\displaystyle x}$البُعد. (بالمقارنة، سيبدو مخطط الفرق المركزي في هذا السيناريو كما يلي) $${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}=0,}$$ بغض النظر عن علامة${\displaystyle a}$.)

شكل مضغوط

تعريف $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{+}&=\max(a,0)\,,&a^{-}&={\text{min}}(a,0),\\[1ex]u_{x}^{-}&={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,&u_{x}^{+}&={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}\end{aligned}}}$$ يمكن دمج المعادلتين الشرطيتين ( 1 ) و( 2 ) وكتابتهما في شكل مختصر كما يلي:

$${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]}$$

3

المعادلة (3) هي طريقة عامة لكتابة أي مخططات من نوع الرياح المعاكسة.

استقرار

تكون طريقة التنبؤ بالرياح المعاكسة مستقرة إذا تحقق شرط كوران-فريدريش-ليوي التالي (CFL). ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle c=\left|{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1\quad {\text{ and }}\quad 0\leq a.}$$

سيُظهر تحليل متسلسلة تايلور لخوارزمية الانحدار العكسي المذكورة أعلاه أنها دقيقة من الدرجة الأولى مكانيًا وزمنيًا. ويُبين تحليل العدد الموجي المُعدَّل أن خوارزمية الانحدار العكسي من الدرجة الأولى تُسبب انتشارًا/تبددًا عدديًا كبيرًا في الحل عند وجود تدرجات كبيرة، وذلك بسبب ضرورة استخدام أعداد موجية عالية لتمثيل التدرجات الحادة.

يمكن تحسين الدقة المكانية لخوارزمية الانحدار العكسي من الدرجة الأولى بإضافة 3 نقاط بيانات بدلاً من نقطتين فقط، مما يوفر قالبًا أكثر دقة للفروق المحدودة لتقريب المشتقة المكانية. أما بالنسبة لخوارزمية الانحدار العكسي من الدرجة الثانية،${\displaystyle u_{x}^{-}}$يُصبح الفرق الخلفي ذو الثلاث نقاط في المعادلة ( 3 ) ويُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}}$$ و${\displaystyle u_{x}^{+}}$هو الفرق الأمامي بثلاث نقاط، ويُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}}{2\Delta x}}}$$ هذا المخطط أقل انتشارًا مقارنة بالمخطط الدقيق من الدرجة الأولى ويسمى مخطط التفاضل الخطي في اتجاه الريح (LUD).

• طريقة الفروق المحدودة
• مخطط الفرق المواجه للرياح للحمل الحراري
• خطة غودونوف