هوية فاندرموند

بشكل عام، يُعطى حاصل ضرب كثيرتي حدود من الدرجتين m و n على التوالي بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}{\biggr )}=\sum _{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}a_{k}b_{rk}{\biggr )}x^{r},}$

حيث نستخدم الاصطلاح القائل بأن aᵢ  =  0 لجميع الأعداد الصحيحة i  > m و bⱼ ₌ 0 لجميع الأعداد الصحيحة j _> n . وفقًا لنظرية ذات الحدين ،     

${\displaystyle (1+x)^{m+n}=\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}.}$

باستخدام نظرية ذات الحدين أيضًا للأسس m و n ، ثم الصيغة المذكورة أعلاه لحاصل ضرب كثيرات الحدود، نحصل على

$\begin{aligned}\sum_{r=0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}&=(1+x)^{m+n}\\&=(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&=\biggl(\sum_{i=0}^{m}{m \choose i}x^{i}{\biggr)}{\biggl(\sum_{j=0}^{n}{n \choose j}x^{j}{\biggr)}\\&=\sum_{r=0}^{m+n}{\biggl(\sum_{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose rk}{\biggr)}x^{r},\end{aligned}}}$

حيث يتفق الاصطلاح المذكور أعلاه لمعاملات كثيرات الحدود مع تعريف معاملات ذات الحدين، لأن كلاهما يعطي الصفر لجميع i  > m و j > n ، على التوالي.   

بمقارنة معاملات x ^r ، يمكن استنتاج متطابقة فانديرموند لجميع الأعداد الصحيحة r حيث 0 ≤ r ≤ m + n . أما بالنسبة للأعداد الصحيحة الأكبر r ، فإن طرفي متطابقة فانديرموند يساويان صفرًا نظرًا لتعريف معاملات ذات الحدين.    

تقبل متطابقة فاندرموند أيضًا برهانًا توافقيًا مزدوجًا ، كما يلي: لنفترض أن لجنة تتكون من m رجلًا و n امرأة. بكم طريقة يمكن تشكيل لجنة فرعية من r عضوًا؟ الجواب هو

${\displaystyle {m+n \choose r}.}$

والإجابة هي أيضاً مجموع جميع القيم الممكنة لـ k ، لعدد اللجان الفرعية المكونة من k رجل و r − k امرأة:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose rk}.}$

خذ شبكة مستطيلة من r × ( m + n − r ) مربعًا. يوجد

${\displaystyle {\binom {r+(m+nr)}{r}}={\binom {m+n}{r}}}$

المسارات التي تبدأ من الرأس السفلي الأيسر، وتتحرك فقط للأعلى أو لليمين، تنتهي عند الرأس العلوي الأيمن (وذلك لأنه يجب القيام بـ r حركة لليمين و m + n - r حركة للأعلى (أو العكس) بأي ترتيب، ويكون طول المسار الإجمالي m + n ). لنسمي الرأس السفلي الأيسر (0، 0).

هناك${\displaystyle {\binom {m}{k}}}$المسارات التي تبدأ من (0، 0) وتنتهي عند ( k ، m − k )، حيث يجب القيام بـ k حركة إلى اليمين و m − k حركة إلى الأعلى (وطول المسار هو m ). وبالمثل، هناك${\displaystyle {\binom {n}{rk}}}$المسارات التي تبدأ من ( k , m − k ) وتنتهي عند ( r , m + n − r )، حيث يجب القيام بما مجموعه r − k حركة إلى اليمين و ( m + n − r ) − ( m − k ) حركة إلى الأعلى، ويجب أن يكون طول المسار r − k + ( m + n − r ) − ( m − k ) = n . وبالتالي، يوجد

${\displaystyle {\binom {m}{k}}{\binom {n}{rk}}}$

المسارات التي تبدأ من (0، 0)، وتنتهي عند ( r ، m + n - r )، وتمر عبر ( k ، m - k ). هذه مجموعة فرعية من جميع المسارات التي تبدأ من (0، 0) وتنتهي عند ( r ، m + n - r )، لذا اجمع من k = 0 إلى k = r (بما أن النقطة ( k ، m - k ) محصورة داخل المربع) للحصول على العدد الإجمالي للمسارات التي تبدأ من (0، 0) وتنتهي عند ( r ، m + n - r ).

يمكن تعميم هوية فاندرموند على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{k_{1}+\cdots +k_{p}=m}{n_{1} \choose k_{1}}{n_{2} \choose k_{2}}\cdots {n_{p} \choose k_{p}}={n_{1}+\dots +n_{p} \choose m}.}$

يمكن الحصول على هذه المتطابقة من خلال الاشتقاق الجبري أعلاه عند استخدام أكثر من اثنين من كثيرات الحدود، أو من خلال حجة العد المزدوج البسيطة .

من جهة، يختار المرء${\displaystyle \textstyle k_{1}}$عناصر من مجموعة أولى من${\displaystyle \textstyle n_{1}}$العناصر؛ ثم${\displaystyle \textstyle k_{2}}$من مجموعة أخرى، وهكذا دواليك، من خلال${\displaystyle \textstyle p}$مثل هذه المجموعات، حتى يصبح المجموع الكلي${\displaystyle \textstyle m}$تم اختيار العناصر من${\displaystyle \textstyle p}$مجموعات. لذلك يختار المرء${\displaystyle \textstyle m}$عناصر من${\displaystyle \textstyle n_{1}+\dots +n_{p}}$في الجانب الأيسر، وهو بالضبط ما يتم فعله في الجانب الأيمن.

تُعمَّم هذه المتطابقة لتشمل الوسائط غير الصحيحة. في هذه الحالة، تُعرف باسم متطابقة تشو - فانديرموند (انظر أسكي 1975، الصفحات 59-60 ) وتأخذ الشكل التالي :

${\displaystyle {s+t \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{s \choose k}{t \choose nk}}$

بالنسبة لقيم s و t المركبة العامة وأي عدد صحيح غير سالب n . يمكن إثبات ذلك على غرار البرهان الجبري أعلاه بضرب متسلسلة ذات الحدين لـ${\displaystyle (1+x)^{s}}$و${\displaystyle (1+x)^{t}}$ومقارنة الحدود مع متسلسلة ذات الحدين لـ${\displaystyle (1+x)^{s+t}}$.

يمكن إعادة صياغة هذه الهوية بدلالة رموز بوتشامر المتساقطة على النحو التالي:

${\displaystyle (s+t)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(s)_{k}(t)_{nk}}$

في هذا الشكل، يمكن التعرف عليه بوضوح كصيغة ظلية لنظرية ذات الحدين (للمزيد حول الصيغ الظلية لنظرية ذات الحدين، انظر النوع ذي الحدين ). كما يمكن اعتبار متطابقة تشو - فانديرموند حالة خاصة من نظرية غاوس الهندسية الفائقة ، التي تنص على أن

${\displaystyle \;_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (cab)}{\Gamma (ca)\Gamma (cb)}}}$

أين${\displaystyle \;_{2}F_{1}}$هي الدالة الهندسية الفائقة و${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$هي دالة غاما . يمكن استعادة متطابقة تشو - فانديرموند بأخذ a  =  − n وتطبيق المتطابقة

${\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{k}{kn-1 \choose k}}$

بسخاء.

تُعد هوية روث -هاجن تعميمًا إضافيًا لهذه الهوية.