سلسلة ثنائية

في الرياضيات ، المتسلسلة ذات الحدين هي تعميم للمتعددة الحدود التي تأتي من صيغة ثنائية الحدين مثل لعدد صحيح غير سالب . على وجه التحديد، المتسلسلة ذات الحدين هي متسلسلة ماكلورين للدالة ، حيث و . صراحةً، ${\displaystyle (1+x)^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

( 1 )

حيث يتم التعبير عن سلسلة القوى على الجانب الأيمن من ( 1 ) من حيث معاملات ثنائية الحدين (المعممة)

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

لاحظ أنه إذا كان α عددًا صحيحًا غير سالب n، فإن الحد x ^{n + 1} وجميع الحدود اللاحقة في السلسلة تكون 0 ، لأن كل منها يحتوي على عامل ( n − n ) . وبالتالي، في هذه الحالة، تكون السلسلة منتهية وتعطي صيغة ثنائية الحدين الجبرية .

يعتمد تقارب ( 1 ) على قيم الأعداد المركبة α و  x . وبصورة أكثر دقة:

1. إذا كان | x | < 1 ، فإن السلسلة تتقارب بشكل مطلق لأي عدد مركب α .
2. إذا | x | = 1 ، تتقارب السلسلة بشكل مطلق إذا وفقط إذا كان Re( α ) > 0 أو α = 0 ، حيث يشير Re( α ) إلى الجزء الحقيقي من α .
3. إذا | x | = 1 و x ≠ −1 ، تتقارب السلسلة إذا وفقط إذا كانت Re( α ) > −1 .
4. إذا x = −1 ، تتقارب السلسلة إذا وفقط إذا كان Re( α ) > 0 أو α = 0 .
5. إذا | x | > 1 ، تتباعد السلسلة باستثناء عندما يكون α عددًا صحيحًا غير سلبي، وفي هذه الحالة تكون السلسلة مجموعًا منتهيًا.

وعلى وجه الخصوص، إذا لم يكن α عددًا صحيحًا غير سلبي، فإن الوضع عند حدود قرص التقارب ، | x | = 1 ، يتلخص على النحو التالي:

• إذا كانت Re( α ) > 0 ، فإن السلسلة تتقارب بشكل مطلق.
• إذا −1 < Re( α ) ≤ 0 ، تتقارب السلسلة شرطيًا إذا كان x ≠ −1 وتتباعد إذا كان x = −1 .
• إذا كانت Re( α ) ≤ −1 ، تتباعد السلسلة.

ينطبق ما يلي على أي عدد مركب  α :

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

${\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},}$

( 2 )

${\displaystyle {\alpha \اختر k-1}+{\alpha \اختر k}={\alpha +1 \اختر k}.}$

( 3 )

ما لم يكن عددًا صحيحًا غير سلبي (وفي هذه الحالة تختفي معاملات ثنائية الحدين عندما يكون أكبر من )، فإن العلاقة التقريبية المفيدة لمعاملات ثنائية الحدين هي، في صيغة لانداو : ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .}$

( 4 )

وهذا يعادل أساسًا تعريف أويلر لدالة جاما :

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},}$

ويشير على الفور إلى الحدود الأكثر خشونة

${\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},}$

( 5 )

لبعض الثوابت الإيجابية m و M .

يمكن إعادة كتابة الصيغة ( 2 ) لمعامل ثنائي الحد المعمم على النحو التالي

${\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).}$

( 6 )

لإثبات (i) و (v)، طبق اختبار النسبة واستخدم الصيغة ( 2 ) أعلاه لإثبات أنه عندما لا يكون عددًا صحيحًا غير سالب، فإن نصف قطر التقارب يساوي 1 تمامًا. يتبع الجزء (ii) الصيغة ( 5 )، بالمقارنة مع سلسلة p${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},}$

مع . لإثبات (iii)، استخدم أولاً الصيغة ( 3 ) للحصول على ${\displaystyle p=1+\operatorname {Re} \alpha }$

${\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},}$

( 7 )

ثم استخدم (ii) والصيغة ( 5 ) مرة أخرى لإثبات تقارب الجانب الأيمن عندما يُفترض. من ناحية أخرى، لا تتقارب السلسلة إذا و ، مرة أخرى بالصيغة ( 5 ). بدلاً من ذلك، قد نلاحظ أنه لجميع ، . وبالتالي، بالصيغة ( 6 )، لجميع . هذا يكمل إثبات (iii). بالانتقال إلى (iv)، نستخدم المتطابقة ( 7 ) أعلاه مع و بدلاً من ، جنبًا إلى جنب مع الصيغة ( 4 )، للحصول على ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >-1}$${\displaystyle |x|=1}$${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leq -1}$${\displaystyle j}$${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geq 1}$${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle \alpha -1}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

كما أن التأكيد (iv) يتبع الآن من السلوك المقارب للمتتالية . (على وجه التحديد، يتقارب بالتأكيد إلى إذا ويتباعد إلى إذا . إذا ، فإنه يتقارب إذا وفقط إذا تقاربت المتتالية ، وهو أمر صحيح بالتأكيد إذا ولكن خطأ إذا : في الحالة الأخيرة تكون المتتالية كثيفة ، نظرًا لحقيقة أن يتباعد ويتقارب إلى الصفر). ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}$${\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}$${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}$${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}$${\displaystyle {\bmod {2\pi }}}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0}$${\displaystyle {\bmod {2\pi }}}$${\displaystyle \log n}$${\displaystyle \log(n+1)-\log n}$

الحجة المعتادة لحساب مجموع المتسلسلة ذات الحدين تسير على النحو التالي. من خلال التفريق بين المتسلسلة ذات الحدين ضمن قرص التقارب | x | < 1 حسب الحدود واستخدام الصيغة ( 1 )، نجد أن مجموع المتسلسلة هو دالة تحليلية تحل المعادلة التفاضلية العادية (1 + x ) u ′( x ) − αu ( x ) = 0 مع الشرط الأولي u (0) = 1 .

الحل الوحيد لهذه المشكلة هو الدالة u ( x ) = (1 + x ) ^α . في الواقع، الضرب في عامل التكامل (1 + x ) ^{− α −1} يعطي

${\displaystyle 0=(1+x)^{-\alpha }u'(x)-\alpha (1+x)^{-\alpha -1}u(x)={\big [}(1+x)^{-\alpha }u(x){\big ]}'\,,}$

لذا فإن الدالة (1 + x ) ^−α u ( x ) هي ثابت، والذي يخبرنا الشرط الأولي بأنه 1. أي أن u ( x ) = (1 + x ) ^α هو مجموع المتسلسلة ذات الحدين لـ | x | < 1 .

تمتد المساواة إلى | x | = 1 كلما تقاربت السلسلة ، كنتيجة لنظرية آبل واستمرارية ( 1 + x ) ^α .

ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالسلسلة الثنائية السالبة المحددة بواسطة سلسلة ماكلورين للدالة ، حيث و . صراحةً، ${\displaystyle g(x)=(1-x)^{-\alpha }}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(1-x)^{\alpha }}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

والتي يتم كتابتها من حيث معامل المجموعة المتعددة

${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right):={\alpha +k-1 \choose k}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}}\,.}$

عندما يكون α عددًا صحيحًا موجبًا، تظهر عدة متواليات مشتركة. الحالة α = 1 تعطي السلسلة 1 + x + x ² + x ³ + ... ، حيث يكون معامل كل حد من حدود السلسلة ببساطة 1. الحالة α = 2 تعطي السلسلة 1 + 2 x + 3 x ² + 4 x ³ + ... ، والتي تحتوي على أرقام العد كمعاملات. الحالة α = 3 تعطي السلسلة 1 + 3 x + 6 x ² + 10 x ³ + ... ، والتي تحتوي على أرقام المثلث كمعاملات. الحالة α = 4 تعطي السلسلة 1 + 4 x + 10 x ² + 20 x ³ + ... ، والتي تحتوي على أرقام رباعية السطوح كمعاملات، وبالمثل بالنسبة للقيم الصحيحة الأعلى لـ α .

تتضمن السلسلة ذات الحدين السالبة حالة السلسلة الهندسية ، سلسلة القوى ^[1] (وهي السلسلة ذات الحدين السالبة عندما ، متقاربة في القرص )، وبشكل عام، السلسلة التي تم الحصول عليها عن طريق التفاضل لسلسلة القوى الهندسية: مع ، عدد صحيح موجب. ^[2]$${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}$$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle |x|<1}$$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{n}}}={\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}{\frac {1}{1-x}}}$$${\displaystyle \alpha =n}$

كانت النتائج الأولى المتعلقة بالمتسلسلات الثنائية للأسس غير الأعداد الصحيحة الموجبة قد قدمها السير إسحاق نيوتن في دراسة المناطق المحاطة بمنحنيات معينة. وبنى جون واليس على هذا العمل من خلال النظر في تعبيرات من النموذج y = (1 − x ² ) ^m حيث m كسر. ووجد أنه (بالمصطلحات الحديثة) يمكن إيجاد المعاملات المتعاقبة c _k لـ (− x ² ) ^k عن طريق ضرب المعامل السابق في ⁠م − ( ك − 1)/ك( كما في حالة الأسس الصحيحة)، وبالتالي يعطي ضمناً صيغة لهذه المعاملات. يكتب صراحة الحالات التالية ^[أ]

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

لذلك يشار إلى السلسلة ذات الحدين أحيانًا باسم نظرية نيوتن ذات الحدين . لم يقدم نيوتن أي دليل ولم يكن صريحًا بشأن طبيعة السلسلة. لاحقًا، في عام 1826، ناقش نيلز هنريك آبل الموضوع في ورقة بحثية نُشرت في مجلة Crelle's Journal ، والتي تناولت بشكل خاص أسئلة التقارب. ^[4]

• التقريب الثنائي
• نظرية ذات الحدين
• جدول سلسلة نيوتن
• دالة لامبرت دبليو

• أبيل، نيلز (1826)، “Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m − 1)/1.2)x2 + (m(m − 1)(m − 2)/1.2.3) x3 + ..."، مجلة für die reine und angewandte Mathematik ، 1 : 311–339
• كوليدج، جيه إل (1949)، "قصة نظرية ذات الحدين"، المجلة الرياضية الأمريكية ، 56 (3): 147-157، doi :10.2307/2305028، JSTOR  2305028

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المتسلسلة ذات الحدين". MathWorld .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية ذات الحدين". MathWorld .
• صيغة ثنائية الحدين في PlanetMath .
• Solomentsev, ED (2001) [1994]، "سلسلة ثنائية الحدين"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press
• "كيف اكتشف إسحاق نيوتن المتسلسلة ذات القوى الثنائية". 31 أغسطس 2022.