متعددة حدود فاندرموند

في الجبر ، متعددة حدود فانديرموند لمجموعة مرتبة من n متغيرًا${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$، التي سميت على اسم ألكسندر-ثيوفيل فاندرموند ، هي متعددة الحدود :

${\displaystyle V_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}).}$

(تستخدم بعض المصادر الترتيب المعاكس)${\displaystyle (X_{i}-X_{j})}$، مما يغير الإشارة${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$مرات: وبالتالي، في بعض الأبعاد تتفق الصيغتان في الإشارة، بينما في أبعاد أخرى تكون لهما إشارات متعاكسة.)

ويُطلق عليه أيضًا اسم محدد فاندرموند، لأنه قيمة محدد مصفوفة فاندرموند .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&X_{1}&X_{1}^{2}&\dots &X_{1}^{n-1}\\1&X_{2}&X_{2}^{2}&\dots &X_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&X_{n}&X_{n}^{2}&\dots &X_{n}^{n-1}\end{bmatrix}}.}$

تعتمد القيمة على ترتيب الحدود: إنها متعددة حدود متناوبة ، وليست متعددة حدود متناظرة .

من الخصائص الرئيسية لكثير الحدود فانديرموند أنه متناوب في عناصره، مما يعني أن تبديل${\displaystyle X_{i}}$يؤدي التبديل الفردي إلى تغيير الإشارة، بينما لا يؤدي التبديل الزوجي إلى تغيير قيمة متعددة الحدود - في الواقع، إنها متعددة الحدود المتناوبة الأساسية، كما سيتم توضيحه بدقة أدناه.

وبالتالي، يعتمد الأمر على الترتيب، ويكون الناتج صفرًا إذا تساوى عنصران - وهذا يتبع أيضًا من الصيغة، ولكنه أيضًا نتيجة للتناوب: إذا تساوى متغيران، فإن تبديلهما معًا لا يغير القيمة بل يعكسها، مما ينتج عنه${\displaystyle V_{n}=-V_{n},}$وبالتالي${\displaystyle V_{n}=0}$(بافتراض أن الخاصية ليست 2، وإلا فإن كونها متناوبة يعادل كونها متناظرة).

من بين جميع كثيرات الحدود المتناوبة، تعد كثيرة حدود فاندرموند هي أقل درجة من كثيرات الحدود أحادية المعامل.

على النقيض من ذلك، فإن متعددة حدود فانديرموند هي عامل لكل متعددة حدود متناوبة: كما هو موضح أعلاه، فإن متعددة الحدود المتناوبة تتلاشى إذا تساوت أي متغيرين، وبالتالي يجب أن يكون لها${\displaystyle (X_{i}-X_{j})}$كعامل للجميع${\displaystyle i\neq j}$.

المشتق الأول هو${\displaystyle \partial _{i}\Delta _{n}=\Delta _{n}\sum _{1\leq j\leq n:i\neq j}{\frac {1}{X_{i}-X_{j}}}}$.

بما أنها أقل درجة من متعددات الحدود المتناوبة أحادية المعامل، و${\displaystyle \sum _{i}\partial _{i}^{2}V_{n}}$كما أنه متناوب، وهذا يعني${\displaystyle \sum _{i}\partial _{i}^{2}V_{n}=0}$أي أنها دالة توافقية .

يُطلق على مربعها على نطاق واسع اسم المميز ، على الرغم من أن بعض المصادر تسمي متعددة حدود فاندرموند نفسها بالمميز.

المميز (مربع متعددة حدود فاندرموند:${\displaystyle \Delta =V_{n}^{2}}$لا يعتمد ذلك على ترتيب الحدود، كما${\displaystyle (-1)^{2}=1}$وبالتالي فهو ثابت لمجموعة النقاط غير المرتبة .

إذا أضفنا متعددة حدود فانديرموند إلى حلقة متعددات الحدود المتناظرة في n متغيرًا${\displaystyle \Lambda _{n}}$وبذلك نحصل على الامتداد التربيعي${\displaystyle \Lambda _{n[V_{n}]/\langle V_{n}^{2}-\Delta \rangle }$، وهي حلقة كثيرات الحدود المتناوبة .

بفرض وجود متعددة حدود، تُعرَّف متعددة حدود فانديرموند لجذورها على حقل التقسيم ؛ بالنسبة لمتعددة حدود غير أحادية ، ذات معامل رئيسي a ، يمكن تعريف متعددة حدود فانديرموند على النحو التالي:

${\displaystyle V_{n}=a^{n-1}\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}),}$

(الضرب بحد رئيسي) ليتوافق مع المميز.

على الحلقات العشوائية ، يستخدم المرء بدلاً من ذلك متعدد الحدود مختلف لتوليد متعددات الحدود المتناوبة - انظر (Romagny، 2005).

محدد فاندرموند هو حالة خاصة جدًا من صيغة مقام ويل المطبقة على التمثيل التافه للمجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$.

• متعددة حدود كابيلي ( مرجع )

• النظرية الأساسية للدوال المتناوبة ، بقلم ماثيو روماني، 15 سبتمبر 2005