حقل التقسيم

ليكن F حقلاً، وليكن p ( X ) متعدد حدود في حلقة متعددات الحدود F [ X ] من الدرجة n . تتمثل العملية العامة لإنشاء K ، وهو حقل التقسيم لـ p ( X ) على F ، في إنشاء سلسلة من الحقول.${\displaystyle F=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{r-1}\subseteq K_{r}=K}$بحيث يكون Ki امتدادًا لـ Ki _{− 1} يحتوي على جذر جديد لـ p ( X ). بما أن p ( X ) له على الأكثر n جذرًا، _فإن عملية الإنشاء ستتطلب على الأكثر n امتدادًا. فيما يلي خطوات إنشاء Ki _:

• حلل p ( X ) على Ki إلى عوامل _غير قابلة للاختزال${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$.
• اختر أي عامل غير خطي غير قابل للاختزال f ( X ).
• قم بإنشاء امتداد الحقل K _{i +1} لـ K _i كحلقة القسمة K _{i +1} = K _i [ X ] / ( f ( X )) حيث يشير ( f ( X )) إلى المثالي في K _i [ X ] الناتج بواسطة f ( X ).
• كرر العملية لـ Ki ₊₁ حتى يصبح _p ( X ) قابلاً للتحليل بالكامل.

يمكن اختيار العامل غير القابل للاختزال f ( X ) المستخدم في بناء خارج القسمة بشكل عشوائي. على الرغم من أن الاختيارات المختلفة للعوامل قد تؤدي إلى متواليات حقول فرعية مختلفة، إلا أن حقول التقسيم الناتجة ستكون متماثلة.

بما أن f ( X ) غير قابلة للاختزال، فإن ( f ( X )) هي مثال أعظمي لـ Ki [ X ] _، و Ki [ X ]/( f ( X ₎ ) هي في الواقع حقل، وهو حقل البقايا لهذا المثال الأعظمي. علاوة على ذلك، إذا افترضنا${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))}$إذا كان الإسقاط الطبيعي للحلقة على خارج قسمتها،

${\displaystyle f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0}$

إذن π ( X ) هو جذر لـ f ( X ) و p ( X ).

درجة الامتداد الواحد${\displaystyle [K_{i+1}:K_{i}]}$يساوي درجة العامل غير القابل للاختزال f ( X ). تُعطى درجة التمديد [ K  : F ] بواسطة${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$وهو على الأكثر n !.

كما ذُكر أعلاه، فإن حلقة القسمة Ki _{+ 1} = Ki [ X ]/( f ( X )) هي حقل عندما تكون f ( X ) غير قابلة للاختزال. عناصرها من الشكل التالي _:

${\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}$

حيث تنتمي c _j إلى K _i و α = π ( X ). (إذا اعتبرنا K _{i +1} فضاءً متجهيًا فوق K i _، فإن القوى α ^j لـ 0 ≤ j ≤ n −1 تشكل أساسًا .)

يمكن اعتبار عناصر K _{i +1 كثيرات حدود في} α من درجة أقل من n . تُعطى عملية الجمع في K _{i +1 بقواعد جمع كثيرات الحدود، وتُعطى عملية الضرب بضرب كثيرات الحدود بتردد} f ( X ). أي أن حاصل ضرب g ( α ) و h ( α ) في K _{i +1} هو g ( α ) h ( α ) = r (α)، حيث r ( X ) هو باقي قسمة g ( X ) h ( X ) على f ( X ) في K _i [ X ].

يمكن حساب الباقي r ( X ) من خلال القسمة المطولة لكثيرات الحدود ؛ ومع ذلك، توجد أيضًا قاعدة اختزال مباشرة يمكن استخدامها لحساب r ( α ) = g ( α ) h ( α ) مباشرةً. لنفترض أولًا

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

كثير الحدود يقع على حقل، لذا يمكن اعتبار f ( X ) أحاديًا دون فقدان للعمومية . الآن، α هو جذر لـ f ( X )، لذا

${\displaystyle \alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).}$

إذا كان حاصل ضرب g ( α ) h ( α ) يحتوي على حد α ^m حيث m ≥ n، فيمكن اختزاله على النحو التالي:

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{mn}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{mn}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{mn})}$.

كمثال على قاعدة الاختزال، خذ _Ki = Q [ X ] ، وهي حلقة كثيرات الحدود ذات المعاملات النسبية ، وخذ f ( X ) = X ⁷ − 2.${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$ولتكن h ( α ) = α³ + ¹ عنصرين من Q [ X ]/( X⁷ - 2). قاعدة الاختزال المعطاة بواسطة ^f ( X ) هي α⁷ = 2 ^، لذا

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

لنفترض حلقة كثيرات الحدود R [ x ]، وكثيرة الحدود غير القابلة للاختزال ^x² + 1. تُعطى حلقة القسمة R [ x ] / ( x² + 1) بالتطابق x² ^≡ -1. ونتيجة لذلك، فإن عناصر (أو ^فئات التكافؤ ) R [ x ] / ( x² + 1) تكون على الصورة a + bx حيث ينتمي a و b إلى R. ولتوضيح ذلك، لاحظ أنه بما أن x² ≡ -1، ^فإنه يترتب على ذلك أن x³ ^{≡ -x} ، و ^x⁴ ≡ 1 ، و x⁵ ^≡ x ، وهكذا. وهكذا، على سبيل المثال p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r (−1) + s (− x ) = ( p − r ) + ( q − s ) x .

تُعطى عمليات الجمع والضرب أولاً باستخدام الجمع والضرب العاديين لكثيرات الحدود، ثم يتم الاختزال بتردد x² + 1 ^{، أي} باستخدام حقيقة أن x² ^≡ -1 ، x³ ≡ -x ^، x⁴ ≡ 1 ^، x⁵ ≡ x ، إلخ . وبالتالي:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

إذا عرّفنا a + bx بالمعادلة ( a , b )، فسنجد أن الجمع والضرب يُعطيان بالعلاقة التالية:

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

ندّعي أن حلقة القسمة R [ x ]/( x² + 1) ^، كحقل، متماثلة مع الأعداد المركبة C. العدد المركب العام هو من الصورة a + bi ، حيث a و b عددان حقيقيان و i² ⁼ -1. وتُعطى عمليتا الجمع والضرب كما يلي:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

إذا عرّفنا a + bi بالمعادلة ( a , b )، فسنجد أن الجمع والضرب يُعطيان بالعلاقة التالية:

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

تُظهر الحسابات السابقة أن عمليتي الجمع والضرب تتصرفان بنفس الطريقة في R [ x ] / ( x² ⁺ 1) و C. في الواقع، نلاحظ أن التطبيق بين R [ x ] / ( x² ⁺ 1) و C ، المُعطى بالعلاقة a + bx → a + bi ، هو تشاكل بالنسبة للجمع والضرب . من الواضح أيضًا أن التطبيق a + bx → a + bi هو تطبيق أحادي وشامل في آنٍ واحد ؛ أي أنه تشاكل تقابلي ، أي تماثل . وبناءً على ذلك، وكما هو مُطالب به : R [ x ] / ( x² + 1 ⁾ ≅ C.

في عام 1847، استخدم كوشي هذا النهج لتعريف الأعداد المركبة. ^{[ 1 ]}

ليكن K حقل الأعداد النسبية Q، ^وليكن p ( x ) = x³ - 2. كل جذر من جذور p يساوي${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$مضروبًا في الجذر التكعيبي للواحد . لذلك، إذا رمزنا للجذور التكعيبية للواحد بـ

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

أي حقل يحتوي على جذرين مختلفين للعدد p سيحتوي على ناتج قسمة جذرين تكعيبيين مختلفين للوحدة. هذا الناتج هو جذر تكعيبي أولي للوحدة - إما${\displaystyle \omega _{2}}$أو${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$ويترتب على ذلك أن حقل التقسيم L للعدد p سيحتوي على ω² _، بالإضافة إلى الجذر التكعيبي الحقيقي للعدد 2؛ وعلى العكس من ذلك ، فإن أي امتداد لـ Q يحتوي على هذه العناصر يحتوي على جميع جذور p .

${\displaystyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}}$

لاحظ أنه عند تطبيق عملية البناء الموضحة في القسم السابق على هذا المثال، يبدأ المرء بـ${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$ويقوم بإنشاء المجال${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$هذا الحقل ليس حقل التقسيم، ولكنه يحتوي على جذر واحد (أي جذر). ومع ذلك، فإن متعددة الحدود${\displaystyle Y^{3}-2}$ليس غير قابل للاختزال على${\displaystyle K_{1}}$ وفي الواقع:

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

لاحظ أن${\displaystyle X}$ليس غير محدد ، بل هو في الواقع عنصر من${\displaystyle K_{1}}$والآن، بمواصلة العملية، نحصل على${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$، وهو في الواقع حقل التقسيم، ويمتد بواسطة${\displaystyle \mathbf {Q} }$-أساس${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$لاحظ أنه إذا قارنا هذا بـ${\displaystyle L}$من الأعلى يمكننا تحديد${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$و${\displaystyle Y=\omega _{2}}$.

• حقل التقسيم لـ x ^q − x على F _p هو الحقل المنتهي الوحيد F _q لـ q = p ⁿ . ^{[ 2 ]} في بعض الأحيان يُرمز إلى هذا الحقل بـ GF( q ).

• حقل التقسيم لـ x ² + 1 على F ₇ هو F ₄₉ ؛ لا يوجد لكثير الحدود جذور في F ₇ ، أي أن −1 ليس مربعًا هناك، لأن 7 لا يتطابق مع 1 modulo 4. ^{[ 3 ]}

• حقل التقسيم لـ x ² − 1 على F ₇ هو F ₇ لأن x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) ينقسم بالفعل إلى عوامل خطية.

• نحسب حقل التفكيك للدالة f ( x ) = x³ ⁺ x + 1 على F² . _من السهل التحقق من أن f ( x ) ليس لها جذور في F² ؛ وبالتالي، _{فإن f} ( x ) غير قابلة للاختزال في F² [ x ]. نضع r = x + ( f ( x )) في F² [ x ]/( f ( x ))، فيكون _F² ( r ) حقلاً، و ^x³ + x + _{1 =} ( x + r )( x² ⁺ ax + b ) في F² ( r )[ x ]. لاحظ أنه يمكننا كتابة + بدلاً من − لأن الخاصية تساوي اثنين. بمقارنة المعاملات، نجد أن a = r و b = 1 + r² . يمكن سرد عناصر F² ( r ) على النحو _التالي : c + dr + er² ^، حيث c ^و d و e تنتمي إلى F² _. هناك ثمانية عناصر: 0، 1، r ، 1 + r، r²، 1 + r²، r + r²، و1 + r + r² . بالتعويض بهذه ^{العناصر} في المعادلة x² + rx ^{+ 1} + r² ، نحصل على ⁽ r² ) ² + r ⁽ r² ⁾ + 1 ^{+ r²} = r⁴ + ^r³ + 1 + r² = ⁰ ، ^{وبالتالي} x³ + x + 1 = ( x + r ) ( x + r² ) ( x + ⁽ r ^{+ r²} ) ^{) ،} حيث rفي F ₂ [ x ]/( f ( x )); E = F ₂ ( r ) هو حقل تجزئة لـ x ³ + x + 1 على F ₂ .