صيغة شخصية ويل

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 74 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تصف صيغة فايل للخصائص في نظرية التمثيل خصائص التمثيلات غير القابلة للاختزال لزمر لي المدمجة بدلالة أوزانها العليا . [ 1 ] وقد أثبتها هيرمان فايل ( 1925 ، 1926أ ، 1926 ب ) . توجد صيغة وثيقة الصلة لخاصية التمثيل غير القابل للاختزال لجبر لي شبه بسيط . [ 2 ] في منهج فايل لنظرية تمثيل زمر لي المدمجة المتصلة ، يُعد إثبات صيغة الخصائص خطوة أساسية في إثبات أن كل عنصر صحيح مهيمن ينشأ في الواقع كوزن أعلى لتمثيل غير قابل للاختزال. [ 3 ] من النتائج المهمة لصيغة الخصائص صيغة بُعد فايل وصيغة تعدد كوستانت . 

بحسب التعريف، الشخصيةχ{\displaystyle \chi }تمثيلπ{\displaystyle \pi }إن أثر G هو​π(ز){\displaystyle \pi (g)}، كدالة لعنصر المجموعةز∈جي{\displaystyle g\in G}جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال في هذه الحالة ذات أبعاد منتهية (وهذا جزء من نظرية بيتر-ويل )؛ لذا فإن مفهوم الأثر هو المفهوم المعتاد في الجبر الخطي . معرفة الخاصيةχ{\displaystyle \chi }لπ{\displaystyle \pi }يقدم الكثير من المعلومات حولπ{\displaystyle \pi }نفسها.

صيغة ويل هي صيغة مغلقة للشخصيةχ{\displaystyle \chi }، من حيث الكائنات الأخرى التي تم إنشاؤها من G وجبر لي الخاص بها .

بيان صيغة خصائص ويل

يمكن التعبير عن صيغة الخصائص من حيث تمثيلات جبر لي شبه البسيط المعقد أو من حيث نظرية التمثيل (المكافئة أساسًا) لمجموعات لي المدمجة .

جبر لي شبه البسيط المعقد

يتركπ{\displaystyle \pi }ليكن تمثيلاً غير قابل للاختزال ومحدود الأبعاد لجبر لي شبه بسيط معقدز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}. يفترضح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}هي جبر فرعي من كارتانز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}شخصيةπ{\displaystyle \pi }إذن، هل هذه هي الوظيفة؟chπ:ح→ج{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }محدد بواسطة

chπ⁡ح=tr⁡(هـπ(ح)).{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }H=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}

قيمة الحرف عندح=0{\displaystyle H=0}هو بُعدπ{\displaystyle \pi }بناءً على اعتبارات أولية، يمكن حساب الخاصية على النحو التالي:

chπ⁡ح=∑μمμهـμ(ح){\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi} H=\sum _{\mu}m_{\mu }e^{\mu (H)}}،

حيث يتراوح المجموع على جميع الأوزانμ{\displaystyle \mu }لπ{\displaystyle \pi }وأينمμ{\displaystyle m_{\mu }}تعدديةμ{\displaystyle \mu }(يُعتبر التعبير السابق أحيانًا تعريفًا للشخصية.)

تنص صيغة الشخصية [ 4 ] على أنchπ⁡ح{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }H}ويمكن حسابها أيضاً على النحو التالي

chπ⁡ح=∑w∈دبليوε(w)هـw(λ+ρ)(ح)∏α∈Δ+(هـα(ح)/2-هـ-α(ح)/2){\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }H={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}

أين

  • دبليو{\displaystyle W} is the Weyl group;
  • Δ+{\displaystyle \Delta ^{+}} is the set of the positive roots of the root systemΔ{\displaystyle \Delta };
  • ρ{\displaystyle \rho } is the half-sum of the positive roots, often called the Weyl vector;
  • λ{\displaystyle \lambda } is the highest weight of the irreducible representation π{\displaystyle \pi };
  • ε(w){\displaystyle \varepsilon (w)} is the determinant of the action of w{\displaystyle w} on the Cartan subalgebrah⊂g{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}. This is equal to (−1)ℓ(w){\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}, where ℓ(w){\displaystyle \ell (w)} is the length of the Weyl group element, defined to be the minimal number of reflections with respect to simple roots such that w{\displaystyle w} equals the product of those reflections.

Discussion

Using the Weyl denominator formula (described below), the character formula may be rewritten as

chπ⁡H=∑w∈Wε(w)ew(λ+ρ)(H)∑w∈Wε(w)ew(ρ)(H){\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }H={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}},

or, equivalently,

chπ⁡(H)∑w∈Wε(w)ew(ρ)(H)=∑w∈Wε(w)ew(λ+ρ)(H).{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}

The character is itself a large sum of exponentials. In this last expression, we then multiply the character by an alternating sum of exponentials—which seemingly will result in an even larger sum of exponentials. The surprising part of the character formula is that when we compute this product, only a small number of terms actually remain. Many more terms than this occur at least once in the product of the character and the Weyl denominator, but most of these terms cancel out to zero.[5] The only terms that survive are the terms that occur only once, namely e(λ+ρ)(H){\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}} (which is obtained by taking the highest weight from chπ{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }} and the highest weight from the Weyl denominator) and things in the Weyl-group orbit of e(λ+ρ)(H){\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}.

Compact Lie groups

Let K{\displaystyle K} be a compact, connected Lie group and let T{\displaystyle T} be a maximal torus in K{\displaystyle K}. Let Π{\displaystyle \Pi } be an irreducible representation of K{\displaystyle K}. Then we define the character of Π{\displaystyle \Pi } to be the function

X(x)=trace⁡(Π(x)),x∈K.{\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}

The character is easily seen to be a class function on K{\displaystyle K} and the Peter–Weyl theorem asserts that the characters form an orthonormal basis for the space of square-integrable class functions on K{\displaystyle K}.[6]

Since X{\displaystyle \mathrm {X} } is a class function, it is determined by its restriction to T{\displaystyle T}. Now, for H{\displaystyle H} in the Lie algebra t{\displaystyle {\mathfrak {t}}} of T{\displaystyle T}, we have

trace⁡(Π(eH))=trace⁡(eπ(H)){\displaystyle \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {trace} (e^{\pi (H)})},

where π{\displaystyle \pi } is the associated representation of the Lie algebra k{\displaystyle {\mathfrak {k}}} of K{\displaystyle K}. Thus, the function H↦trace⁡(Π(eH)){\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))} is simply the character of the associated representation π{\displaystyle \pi } of k{\displaystyle {\mathfrak {k}}}, as described in the previous subsection. The restriction of the character of Π{\displaystyle \Pi } to T{\displaystyle T} is then given by the same formula as in the Lie algebra case:

X(eH)=∑w∈Wε(w)ew(λ+ρ)(H)∑w∈Wε(w)ew(ρ)(H).{\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}

Weyl's proof of the character formula in the compact group setting is completely different from the algebraic proof of the character formula in the setting of semisimple Lie algebras.[7] In the compact group setting, it is common to use "real roots" and "real weights", which differ by a factor of i{\displaystyle i}من الجذور والأوزان المستخدمة هنا. وبالتالي، فإن الصيغة في إطار المجموعة المدمجة تحتوي على عوامل منأنا{\displaystyle i}في الأس في جميع أنحاء.

حالة SU(2)

في حالة المجموعة SU(2)، ضع في اعتبارك التمثيل غير القابل للاختزال ذي البعدم+1{\displaystyle m+1}إذا أخذناتي{\displaystyle T}لكي تكون المجموعة الفرعية القطرية لـ SU(2)، فإن صيغة الأحرف في هذه الحالة هي [ 8 ]

X((هـأناθ00هـ-أناθ))=هـأنا(م+1)θ-هـ-أنا(م+1)θهـأناθ-هـ-أناθ=الخطيئة⁡((م+1)θ)الخطيئة⁡θ.{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}

(يحتوي كل من البسط والمقام في صيغة الحرف على حدين.) من المفيد التحقق من هذه الصيغة مباشرة في هذه الحالة، حتى نتمكن من ملاحظة ظاهرة الإلغاء الضمنية في صيغة حرف ويل.

بما أن التمثيلات معروفة بشكل واضح للغاية، يمكن كتابة طبيعة التمثيل على النحو التالي:

X((هـأناθ00هـ-أناθ))=هـأنامθ+هـأنا(م-2)θ+⋯+هـ-أنامθ.{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}

أما مقام ويل، فهو ببساطة الدالةهـأناθ-هـ-أناθ{\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}بضرب الحرف في مقام ويل نحصل على

X((هـأناθ00هـ-أناθ))(هـأناθ-هـ-أناθ)=(هـأنا(م+1)θ+هـأنا(م-1)θ+⋯+هـ-أنا(م-1)θ)-(هـأنا(م-1)θ+⋯+هـ-أنا(م-1)θ+هـ-أنا(م+1)θ).{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}

يمكننا الآن التحقق بسهولة من أن معظم الحدود تُحذف بين الحدين الموجودين على الجانب الأيمن أعلاه، مما يترك لنا فقط

X((هـأناθ00هـ-أناθ))(هـأناθ-هـ-أناθ)=هـأنا(م+1)θ-هـ-أنا(م+1)θ{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}

لهذا السبب.

X((هـأناθ00هـ-أناθ))=هـأنا(م+1)θ-هـ-أنا(م+1)θهـأناθ-هـ-أناθ=الخطيئة⁡((م+1)θ)الخطيئة⁡θ.{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}

الشخصية في هذه الحالة عبارة عن سلسلة هندسية معR=هـ2أناθ{\displaystyle R=e^{2i\theta }}والحجة السابقة هي شكل صغير من أشكال الاشتقاق القياسي لصيغة مجموع متسلسلة هندسية منتهية.

صيغة المقام لـ Weyl

في الحالة الخاصة للتمثيل التافه أحادي البعد، يكون الحرف 1، لذا تصبح صيغة حرف ويل هي صيغة مقام ويل : [ 9 ]

∑w∈دبليوε(w)هـw(ρ)(ح)=∏α∈Δ+(هـα(ح)/2-هـ-α(ح)/2).{\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}

بالنسبة للمجموعات الوحدوية الخاصة ، فإن هذا يعادل التعبير

∑σ∈Sنعلامة⁡(σ)X1σ(1)-1⋯Xنσ(ن)-1=∏1≤أنا<ج≤ن(Xج-Xأنا){\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}

بالنسبة لمحدد فانديرموند . [ 10 ]

صيغة أبعاد ويل

من خلال تقييم الشخصية فيح=0{\displaystyle H=0}تعطي صيغة شخصية ويل صيغة بُعد ويل

خافت⁡Vλ=∏α∈Δ+(λ+ρ،α)∏α∈Δ+(ρ،α){\displaystyle \dim V_{\lambda }={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}

بالنسبة لبُعد التمثيل ذي الأبعاد المحدودةVλ{\displaystyle V_{\lambda }}بأعلى وزنλ{\displaystyle \lambda }(وكما هو معتاد، فإن ρ يساوي نصف مجموع الجذور الموجبة، وتمتد نواتج الضرب على الجذور الموجبة α ). لا يُعدّ التخصيص تافهًا تمامًا، لأن كلًا من بسط ومقام صيغة ويل للخاصية يتلاشى عند الرتبة العليا عند عنصر الوحدة، لذا من الضروري حساب نهاية أثر عنصر يؤول إلى عنصر الوحدة، باستخدام صيغة من قاعدة لوبيتال . [ 11 ] في حالة SU(2) الموصوفة أعلاه، على سبيل المثال، يمكننا استعادة البُعد .م+1{\displaystyle m+1}من خلال استخدام قاعدة لوبيتال لتقييم النهاية كما يلي:θ{\displaystyle \theta }يميل إلى الصفر منالخطيئة⁡((م+1)θ)/الخطيئة⁡θ{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }.

يمكننا أن نعتبر على سبيل المثال جبر لي شبه البسيط المعقد sl(3, C )، أو ما يكافئه المجموعة المدمجة SU(3). في هذه الحالة، يتم تصنيف التمثيلات بواسطة زوج(م1،م2){\displaystyle (m_{1},m_{2})}من الأعداد الصحيحة غير السالبة . في هذه الحالة، توجد ثلاثة جذور موجبة، وليس من الصعب التحقق من أن صيغة الأبعاد تأخذ الشكل الصريح [ 12 ].

خافت⁡Vم1،م2=12(م1+1)(م2+1)(م1+م2+2){\displaystyle \dim V_{m_{1},m_{2}}={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}

القضيةم1=1،م2=0{\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}هذا هو التمثيل القياسي، وبالفعل تعطي صيغة الأبعاد القيمة 3 في هذه الحالة.

صيغة تعدد كوستانت

تُعطي صيغة فايل للخاصية خاصية كل تمثيل كحاصل قسمة، حيث يكون كل من البسط والمقام عبارة عن توليفة خطية منتهية من الدوال الأسية. مع أن هذه الصيغة تحدد الخاصية من حيث المبدأ، إلا أنه ليس من الواضح تمامًا كيفية حساب حاصل القسمة هذا صراحةً كمجموع منتهٍ من الدوال الأسية. حتى في حالة SU(2) الموصوفة أعلاه، ليس من الواضح مباشرةً كيفية الانتقال من صيغة فايل للخاصية، التي تُعطي الخاصية كـالخطيئة⁡((م+1)θ)/الخطيئة⁡θ{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }، بالعودة إلى صيغة الحرف كمجموع للأسس:

هـأنامθ+هـأنا(م-2)θ+⋯+هـ-أنامθ.{\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}

في هذه الحالة، ربما ليس من الصعب للغاية التعرف على التعبيرالخطيئة⁡((م+1)θ)/الخطيئة⁡θ{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }كمجموع متسلسلة هندسية منتهية، ولكن بشكل عام نحتاج إلى إجراء أكثر منهجية.

بشكل عام، يمكن إتمام عملية القسمة بحساب مقلوب رسمي لمقام معادلة فايل، ثم ضرب بسط صيغة معادلة فايل بهذا المقلوب الرسمي. [ 13 ] والنتيجة هي أن الدالة تُعطي الدالة كمجموع محدود من الدوال الأسية. معاملات هذا التوسع هي أبعاد فضاءات الأوزان، أي تعدد الأوزان. ومن ثم، نحصل من صيغة معادلة فايل على صيغة لتعدد الأوزان، تُعرف بصيغة كوستانت للتعدد . يُقدَّم في القسم التالي صيغة بديلة، أسهل حسابيًا في بعض الحالات.

معادلة فرويدنتال

صيغة هانز فرويدنتال هي صيغة تكرارية لحساب أوزان التعددية، وتعطي نفس نتيجة صيغة كوستانت، ولكنها أسهل استخدامًا في بعض الأحيان نظرًا لقلة عدد الحدود المطلوب جمعها. تعتمد هذه الصيغة على عنصر كازيمير ، واشتقاقها مستقل عن صيغة الحرف. [ 14 ]

(‖Λ+ρ‖2-‖λ+ρ‖2)مΛ(λ)=2∑α∈Δ+∑ج≥1(λ+جα،α)مΛ(λ+جα){\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}

أين

  • Λ{\displaystyle \Lambda }هو أعلى وزن،
  • λ{\displaystyle \lambda }وزن آخر،
  • مΛ(λ){\displaystyle m_{\Lambda }(\lambda )}تعددية الوزنλ{\displaystyle \lambda }في التمثيل غير القابل للاختزالVΛ{\displaystyle V_{\Lambda }}
  • ρ{\displaystyle \rho }هو متجه ويل
  • المجموع الأول يشمل جميع الجذور الموجبةα{\displaystyle \alpha }.

صيغة ويل-كاك المميزة

تنطبق صيغة فايل المميزة أيضًا على التمثيلات القابلة للتكامل ذات الوزن الأعلى لجبر كاك-مودي ، وتُعرف حينها بصيغة فايل-كاك المميزة . وبالمثل، توجد متطابقة مقام لجبر كاك-مودي، والتي تُكافئ في حالة جبر لي الأفيني متطابقات ماكدونالد . في أبسط حالات جبر لي الأفيني من النوع A1 ، تكون هذه المتطابقة هي متطابقة الضرب الثلاثي لجاكوبي.

∏م=1∞(1-x2م)(1-x2م-1y)(1-x2م-1y-1)=∑ن=-∞∞(-1)نxن2yن.{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}

يمكن أيضًا توسيع صيغة الخاصية لتشمل تمثيلات الوزن الأعلى القابلة للتكامل لجبر كاك-مودي المعمم ، عندما تُعطى الخاصية بواسطة

∑w∈دبليو(-1)ℓ(w)w(هـλ+ρS)هـρ∏α∈Δ+(1-هـ-α).{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}

هنا، S هو حد تصحيح معبر عنه بدلالة الجذور البسيطة التخيلية بواسطة

S=∑أنا(-1)|أنا|هـΣأنا{\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}

حيث يمتد المجموع على جميع المجموعات الفرعية المحدودة I من الجذور البسيطة التخيلية المتعامدة بشكل متبادل والمتعامدة مع أعلى وزن λ، و | I | هي عدد عناصر I و Σ I هو مجموع عناصر I.

صيغة المقام في جبر لي الوحشي هي صيغة الضرب

ج(ص)-ج(q)=(1ص-1q)∏ن،م=1∞(1-صنqم)جنم{\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}

للدالة النمطية الإهليلجية j .

قدم بيترسون صيغة تكرارية لتعددية mult(β) للجذور β لجبر Kac–Moody المتناظر (المعمم)، وهو ما يعادل صيغة مقام Weyl–Kac، ولكنه أسهل في الاستخدام للحسابات:

(β،β-2ρ)جβ=∑γ+دلتا=β(γ،دلتا)جγجدلتا{\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}

حيث يكون المجموع على الجذور الموجبة γ و δ و

جβ=∑ن≥1متعدد⁡(β/ن)ن.{\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}

صيغة شخصية هاريش-تشاندرا

أظهر هاريش-تشاندرا أن صيغة فايل للخصائص تقبل تعميمًا على تمثيلات مجموعة اختزالية حقيقية . لنفترضπ{\displaystyle \pi }هو تمثيل غير قابل للاختزال ومقبول لمجموعة اختزالية حقيقية G ذات طابع متناهي الصغرλ{\displaystyle \lambda }. يتركΘπ{\displaystyle \Theta _{\pi }}أن يكون شخصية هاريش-تشاندراπ{\displaystyle \pi }يُعطى هذا الناتج بالتكامل مع دالة تحليلية على المجموعة المنتظمة. إذا كانت H زمرة كارتان جزئية من G و H′ هي مجموعة العناصر المنتظمة في H ، فإن

Θπ|ح′=∑w∈دبليو/دبليوλأwهـwλهـρ∏α∈Δ+(1-هـ-α).{\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}

هنا

  • دبليو{\displaystyle W}هي مجموعة ويل المعقدة لـحج{\displaystyle H_{\mathbb {C} }}بالنسبة إلىجيج{\displaystyle G_{\mathbb {C} }}
  • دبليوλ{\displaystyle W_{\lambda }}هو عامل استقرارλ{\displaystyle \lambda }فيدبليو{\displaystyle W}

وبقية الرموز كما سبق.

المعاملاتأw{\displaystyle a_{w}}لا تزال هذه المعاملات غير مفهومة جيداً. ويمكن الاطلاع على نتائجها في أبحاث هيرب ، وآدامز، وشميد، وشميد-فيلونين، وغيرهم.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هول 2015 القسم 12.4.
  2. ↑ هول 2015 القسم 10.4.
  3. ↑ هول 2015 القسم 12.5.
  4. ↑ هول 2015 نظرية 10.14
  5. ↑ هول 2015 القسم 10.4.
  6. ↑ هول 2015 القسم 12.3
  7. ↑ انظر هول 2015 القسم 10.8 في سياق جبر لي والقسم 12.4 في سياق المجموعة المدمجة
  8. ↑ هول 2015 مثال 12.23
  9. ↑ هول 2015 المبرهنة 10.28.
  10. ↑ هول 2015 التمرين 9 في الفصل 10.
  11. ↑ هول 2015 القسم 10.5.
  12. ↑ هول 2015 مثال 10.23
  13. ↑ هول 2015 القسم 10.6
  14. ↑ همفريز 1972 القسم 22.3
  1. ↑ فولتون، ويليام، 1939- (1991). نظرية التمثيل : مدخل تمهيدي . هاريس، جو، 1951-. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN  0387974954. OCLC 22861245 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )