محاكاة المجموعة الفرعية

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة

محاكاة المجموعات الفرعية [ 1 ] هي طريقة تُستخدم في هندسة الموثوقية لحساب احتمالات الفشل الصغيرة (أي الأحداث النادرة) التي تُصادف في الأنظمة الهندسية. وتتلخص الفكرة الأساسية في التعبير عن احتمال الفشل الصغير كحاصل ضرب احتمالات شرطية أكبر من خلال إدخال أحداث فشل وسيطة. وهذا يُحوّل مفهوميًا مشكلة الأحداث النادرة الأصلية إلى سلسلة من مشاكل الأحداث المتكررة التي يسهل حلها. في التطبيق العملي، تُولّد عينات مشروطة بأحداث الفشل الوسيطة بشكل تكيفي لتملأ تدريجيًا من منطقة الأحداث المتكررة إلى منطقة الأحداث النادرة. تُوفّر هذه "العينات الشرطية" معلومات لتقدير دالة التوزيع التراكمي التكميلي (CCDF) للكمية محل الاهتمام (التي تُحدّد الفشل)، مُغطيةً مناطق الاحتمالات العالية والمنخفضة. كما يُمكن استخدامها لدراسة سبب ونتائج أحداث الفشل. إن توليد العينات الشرطية ليس بالأمر البسيط، ولكنه يُمكن تنفيذه بكفاءة باستخدام سلسلة ماركوف مونت كارلو (MCMC).

تعتبر محاكاة المجموعات الفرعية العلاقة بين المتغيرات العشوائية (المدخلة) وكمية الاستجابة (المخرجة) محل الاهتمام بمثابة " صندوق أسود ". قد يكون هذا الأسلوب جذابًا للأنظمة المعقدة التي يصعب فيها استخدام تقنيات أخرى لتقليل التباين أو أخذ عينات الأحداث النادرة التي تتطلب معلومات مسبقة عن سلوك النظام. أما في المسائل التي يُمكن فيها دمج المعلومات المسبقة في خوارزمية الموثوقية، فغالبًا ما يكون من الأجدى استخدام تقنيات أخرى لتقليل التباين ، مثل أخذ العينات المهمة . وقد ثبت أن محاكاة المجموعات الفرعية أكثر كفاءة من محاكاة مونت كارلو التقليدية ، ولكنها أقل كفاءة من أخذ عينات الخط ، عند تطبيقها على مسألة اختبار ميكانيكا الكسور . [ 2 ]

الفكرة الأساسية

ليكن X متجهًا من المتغيرات العشوائية، وليكن Y = h ( X ) كمية استجابة قياسية (مخرجات) ذات أهمية، والتي يكون احتمال الفشل لهاP(F)=P(Y>ب){\displaystyle P(F)=P(Y>b)}يجب تحديد ذلك. كل عملية تقييم لـ h ( · ) مكلفة، لذا يُفضّل تجنّبها قدر الإمكان. باستخدام طرق مونت كارلو المباشرة، يمكن توليد عينات مستقلة ومتطابقة التوزيع ( iid ) من X ، ثم تقدير P ( F ) ببساطة كنسبة العينات التي تحقق Y > b . مع ذلك، لا تُعدّ هذه الطريقة فعّالة عندما تكون P ( F ) صغيرة، لأن معظم العينات لن تفشل (أي، Y ≤ b )، وفي كثير من الحالات تكون النتيجة تقديرًا يساوي صفرًا. كقاعدة عامة ، بالنسبة لقيم P ( F ) الصغيرة ، يلزم 10 عينات فاشلة لتقدير P(F) بمعامل تباين 30% (وهو شرط معقول). على سبيل المثال، يلزم 10000 عينة مستقلة ومتطابقة التوزيع، وبالتالي 10000 عملية تقييم لـ h ( · )، للحصول على مثل هذا التقدير إذا كانت P ( F ) = 0.001.       

تحاول محاكاة المجموعات الفرعية تحويل مشكلة الأحداث النادرة إلى مشاكل أكثر تكرارًا. لنفترضب1<ب2<⋯<بم=ب{\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots <b_{m}=b}لتكن سلسلة متزايدة من مستويات العتبة الوسيطة. من الخاصية الأساسية للاحتمال الشرطي ،

P(Y>ب)=P(Y>بم|Y>بم-1)P(Y>بم-1)=P(Y>بم|Y>بم-1)P(Y>بم-1|Y>بم-2)P(Y>بم-2)=⋯=P(Y>بم|Y>بم-1)P(Y>بم-1|Y>بم-2)⋯P(Y>ب2|Y>ب1)P(Y>ب1){\displaystyle {\begin{aligned}P(Y>b)&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1})\\&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1}\mid Y>b_{m-2})P(Y>b_{m-2})\\&=\cdots \\&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1}\mid Y>b_{m-2})\cdots P(Y>b_{2}\mid Y>b_{1})P(Y>b_{1})\end{aligned}}}

تتمثل الفكرة الأساسية لمحاكاة المجموعات الفرعية في تقدير احتمال حدوث F من خلال تقديرP(Y>ب1){\displaystyle P(Y>b_{1})}والاحتمالات الشرطيةP(Y>بأنا|Y>بأنا-1){\displaystyle P(Y>b_{i}\mid Y>b_{i-1})}لأنا=2،...،م{\displaystyle i=2,\ldots ,m}توقعًا لزيادة الكفاءة عندما لا تكون هذه الاحتمالات ضئيلة. ولتطبيق هذه الفكرة، هناك مسألتان أساسيتان:

  1. يتطلب تقدير الاحتمالات الشرطية عن طريق المحاكاة توليد عينات فعالة من X بشرط وقوع أحداث الفشل الوسيطة، أي العينات الشرطية. وهذا أمر ليس بالهين عموماً.
  2. مستويات العتبة المتوسطةبأنا{\displaystyle b_{i}}ينبغي اختيار القيم بحيث لا تكون الاحتمالات الوسيطة صغيرة جدًا (وإلا سينتهي الأمر بمشكلة الحدث النادر مرة أخرى) ولا كبيرة جدًا (وإلا سيتطلب الأمر عددًا كبيرًا جدًا من المستويات للوصول إلى الحدث المستهدف). ومع ذلك، يتطلب هذا معرفة دالة التوزيع التراكمي التكميلي (CCDF)، وهي الهدف المراد تقديره.

في الخوارزمية القياسية لمحاكاة المجموعات الفرعية، تُحل المشكلة الأولى باستخدام طريقة مونت كارلو لسلاسل ماركوف . [ 3 ] وقد طُوّرت مؤخرًا نسخٌ أكثر عمومية ومرونة من خوارزميات المحاكاة لا تعتمد على طريقة مونت كارلو لسلاسل ماركوف . [ 4 ] أما المشكلة الثانية، فتُحل باختيار مستويات العتبة الوسيطة { bi } بشكلٍ تكيفي باستخدام عينات من مستوى المحاكاة الأخير. ونتيجةً لذلك، تُنتج محاكاة المجموعات الفرعية في الواقع مجموعةً من التقديرات لـ b تُقابل قيمًا ثابتة مختلفة لـ p = P ( Y > b )، بدلًا من تقديرات الاحتمالات لقيم عتبة ثابتة.   

توجد عدة أشكال مختلفة لمحاكاة المجموعات الفرعية تُستخدم في سياقات متنوعة في الاحتمالات التطبيقية وبحوث العمليات العشوائية [ 5 ] [ 6 ]. على سبيل المثال، في بعض هذه الأشكال، قد لا يكون جهد المحاكاة لتقدير كل احتمال شرطي P( Y  >  bᵢ | Y > bᵢ - 1 ) (حيث i = 2 ، ...، m ) ثابتًا قبل المحاكاة، بل قد يكون عشوائيًا، على غرار طريقة التقسيم في تقدير احتمالية الأحداث النادرة. [ 7 ] يمكن أيضًا استخدام هذه النسخ من محاكاة المجموعات الفرعية لأخذ عينات تقريبية من توزيع X عند حدوث عطل في النظام (أي، بشرط وقوع الحدث).        {Y>ب}{\displaystyle \{Y>b\}}في هذه الحالة، يكون التباين النسبي لعدد الجسيمات (العشوائي) في المستوى النهائيم{\displaystyle m}يمكن استخدامها لتقييد خطأ المعاينة كما تم قياسه بواسطة مسافة التباين الكلي لمقاييس الاحتمالية . [ 8 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  • انظر Au & Wang [ 9 ] للحصول على تغطية تمهيدية لمحاكاة المجموعات الفرعية وتطبيقها على تحليل المخاطر الهندسية.
  • يقدم Schuëller & Pradlwarter [ 10 ] تقريرًا عن أداء محاكاة المجموعات الفرعية (وتقنيات تقليل التباين الأخرى) في مجموعة من مسائل الميكانيكا العشوائية المعيارية.
  • يناقش الفصل 4 من Phoon [ 11 ] تطبيق محاكاة المجموعة الفرعية (وغيرها من طرق مونت كارلو) على مشاكل الهندسة الجيوتقنية.
  • يناقش Zio & Pedroni [ 12 ] تطبيق محاكاة المجموعة الفرعية (وغيرها من الطرق) على مشكلة في الهندسة النووية.

مراجع

  1. ↑ أو، إس كيه؛ بيك، جيمس إل. (أكتوبر 2001). "تقدير احتمالات الفشل الصغيرة في الأبعاد العالية عن طريق محاكاة المجموعات الفرعية". ميكانيكا الهندسة الاحتمالية . 16 (4): 263-277 . CiteSeerX 10.1.1.131.1941 . doi : 10.1016/S0266-8920(01)00019-4 . 
  2. ↑ زيو، إي؛ بيدروني، ن (2009). "محاكاة المجموعات الفرعية وأخذ عينات الخطوط لتحليل موثوقية مونت كارلو المتقدم". الموثوقية والمخاطر والسلامة (ملف PDF) . doi : 10.1201/9780203859759.ch94 (غير نشط في 12 يوليو 2025). ISBN 978-0-415-55509-8. S2CID 9845287 . {{cite book}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
  3. ↑ أو، سيو-كوي (2016). "حول خوارزمية MCMC لمحاكاة المجموعات الفرعية". ميكانيكا الهندسة الاحتمالية . 43 : 117-120 . doi : 10.1016/j.probengmech.2015.12.003 .
  4. ↑ أو، سيو-كوي؛ باتيلي، إدواردو (2016). "محاكاة الأحداث النادرة في فضاء ذي أبعاد محدودة وغير محدودة" (ملف PDF) . هندسة الموثوقية وسلامة الأنظمة . 148 : 67-77 . doi : 10.1016/j.ress.2015.11.012 .
  5. ↑ فيلين-ألتاميرانو، مانويل؛ فيلين-ألتاميرانو، خوسيه (1994). "إعادة التشغيل: طريقة مباشرة لمحاكاة سريعة للأحداث النادرة" . كُتب في سان دييغو، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية. وقائع المؤتمر الشتوي السادس والعشرين للمحاكاة . WSC '94. أورلاندو، فلوريدا، الولايات المتحدة الأمريكية: الجمعية الدولية لمحاكاة الحاسوب. الصفحات 282-289 . ISBN  0-7803-2109-X. acmid 194044.
  6. ↑ بوتيف، زي؛ كروس، دي بي (2008). "خوارزمية فعّالة لتقدير احتمالية الأحداث النادرة، والتحسين التوافقي، والعد". المنهجية والحوسبة في الاحتمالات التطبيقية . 10 (4): 471-505 . CiteSeerX 10.1.1.399.7912 . doi : 10.1007/s11009-008-9073-7 . S2CID 1147040 .  
  7. ↑ بوتيف، زي؛ كروس، دي بي (2012). "محاكاة مونت كارلو الفعالة باستخدام طريقة التقسيم المعممة". الإحصاء والحوسبة . 22 (1): 1-16 . doi : 10.1007/s11222-010-9201-4 . S2CID 14970946 . 
  8. ↑ بوتيف، زي؛ ليكويير، ب. (2020). "أخذ العينات المشروط بحدث نادر عبر التقسيم المعمم". مجلة INFORMS للحوسبة ijoc.2019.0936. arXiv : 1909.03566 . doi : 10.1287/ijoc.2019.0936 . S2CID 202540190 . 
  9. ↑ أو، إس كيه؛ وانغ، واي. (2014). تقييم المخاطر الهندسية باستخدام محاكاة المجموعات الفرعية . سنغافورة: جون وايلي وأولاده . ISBN 978-1-118-39804-3.
  10. ↑ شويلر، جي آي؛ برادلوورتر، إتش جيه (2007). "دراسة معيارية حول تقدير الموثوقية في الأبعاد العليا للأنظمة الهيكلية - نظرة عامة". السلامة الهيكلية . 29 (3): 167-182 . doi : 10.1016/j.strusafe.2006.07.010 .
  11. ↑ فون، ك.ك. (2008). التصميم القائم على الموثوقية في الهندسة الجيوتقنية: الحسابات والتطبيقات . سنغافورة: تايلور وفرانسيس . ISBN 978-0-415-39630-1.
  12. ↑ زيو، إي.؛ بيدروني، ن. (2011). "كيفية حساب موثوقية نظام نووي سلبي حراري-هيدروليكي بفعالية". الهندسة النووية والتصميم . 241 : 310-327 . CiteSeerX 10.1.1.636.2126 . doi : 10.1016/j.nucengdes.2010.10.029 . S2CID 53677748 .