أخذ عينات الخط

يُعدّ أخذ العينات الخطية أسلوبًا يُستخدم في هندسة الموثوقية لحساب احتمالات الفشل الصغيرة (أي النادرة) التي تُصادف في الأنظمة الهندسية. يُناسب هذا الأسلوب بشكل خاص مسائل الموثوقية عالية الأبعاد ، حيث تُظهر دالة الأداء لاخطية معتدلة بالنسبة للمعاملات غير المؤكدة ^{[ 1 ].} كما يُناسب هذا الأسلوب تحليل أنظمة الصندوق الأسود ، وعلى عكس أسلوب أخذ العينات المهمة لتقليل التباين ، لا يتطلب معرفة تفصيلية بالنظام.

تتمثل الفكرة الأساسية وراء أخذ عينات الخط في تحسين التقديرات المُستمدة من طريقة الموثوقية من الدرجة الأولى (FORM)، والتي قد تكون غير دقيقة بسبب عدم خطية دالة حالة الحد . من الناحية النظرية، يتحقق ذلك عن طريق حساب متوسط ​​نتائج محاكاة FORM المختلفة. عمليًا، يُصبح ذلك ممكنًا من خلال تحديد اتجاه الأهمية.${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ في فضاء معلمات الإدخال، يشير اتجاه الأهمية إلى المنطقة التي تُسهم بشكلٍ كبير في احتمالية الفشل الإجمالية. يرتبط هذا الاتجاه ارتباطًا وثيقًا بمركز كتلة منطقة الفشل، أو بنقطة الفشل ذات أعلى كثافة احتمالية، والتي غالبًا ما تقع عند أقرب نقطة إلى أصل دالة حالة الحد ، وذلك عند تحويل المتغيرات العشوائية للمسألة إلى فضاء التوزيع الطبيعي القياسي . بمجرد تحديد اتجاه الأهمية ليشير إلى منطقة الفشل، تُولّد عينات عشوائيًا من فضاء التوزيع الطبيعي القياسي، وتُرسم خطوط موازية لاتجاه الأهمية لحساب المسافة إلى دالة حالة الحد، مما يُتيح تقدير احتمالية الفشل لكل عينة. بعد ذلك، يُمكن حساب متوسط ​​احتمالات الفشل هذه للحصول على تقدير مُحسّن.

أولاً، يجب تحديد اتجاه الأهمية. ويمكن تحقيق ذلك من خلال إيجاد نقطة التصميم، أو ميل دالة حالة الحد.

يتم توليد مجموعة من العينات باستخدام محاكاة مونت كارلو في فضاء التوزيع الطبيعي القياسي. لكل عينة${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$، يتم تعريف احتمال الفشل في الخط الموازي للاتجاه المهم على النحو التالي:

${\displaystyle p_{f}({\boldsymbol {x}})=\int _{-\infty }^{+\infty }I({\boldsymbol {x}}+\beta \cdot {\boldsymbol {\alpha }})\varphi (\beta )\,d\beta }$

أين${\displaystyle I(\cdot )}$ يساوي واحدًا بالنسبة للعينات التي تساهم في الفشل، ويكون صفرًا فيما عدا ذلك:

${\displaystyle I_{f}({\boldsymbol {x}})={\begin{cases}1&{\text{إذا كان }}{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{f}\\0&{\text{وإلا}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ هذا هو الاتجاه المهم،${\displaystyle \varphi }$ هي دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الغاوسي (و${\displaystyle \beta }$ ( عدد حقيقي ). عمليًا، يجب إيجاد جذور دالة غير خطية لتقدير الاحتمالات الجزئية للفشل على طول كل خط. ويتم ذلك إما عن طريق استيفاء بضع عينات على طول الخط، أو باستخدام طريقة نيوتن-رافسون .

الاحتمالية العالمية للفشل هي متوسط ​​احتمالية الفشل على الخطوط التالية:

${\displaystyle {\tilde {p}}_{f}={\frac {1}{N_{L}}}\sum _{i=1}^{N_{L}}p_{f}^{(i)}}$

أين${\displaystyle N_{L}}$ يمثل العدد الإجمالي للأسطر المستخدمة في التحليل و${\displaystyle p_{f}^{(i)}}$ هي الاحتمالات الجزئية للفشل المقدرة على طول جميع الخطوط.

في المسائل التي يكون فيها اعتماد دالة الأداء على المعاملات المُنمذجة كمتغيرات عشوائية غير خطي بشكل طفيف فقط، فإن تحديد اتجاه الأهمية كمتجه تدرج دالة الأداء في فضاء التوزيع الطبيعي القياسي الأساسي يؤدي إلى أخذ عينات خطية عالية الكفاءة. وبشكل عام، يمكن إثبات أن التباين الناتج عن أخذ العينات الخطية يكون دائمًا أصغر من التباين الناتج عن محاكاة مونت كارلو التقليدية، وبالتالي فإن خوارزمية أخذ العينات الخطية تتقارب بشكل أسرع. ^{[ 1 ]} وقد تم تسريع معدل التقارب بشكل أكبر بفضل التطورات الحديثة التي تسمح بتحديث اتجاه الأهمية بشكل متكرر طوال فترة المحاكاة، وهذا ما يُعرف بأخذ العينات الخطية التكيفي. ^{[ 2 ]}

تُعدّ هذه الخوارزمية مفيدةً بشكلٍ خاص لإجراء تحليل الموثوقية على نماذج الصندوق الأسود الصناعية ذات التكلفة الحسابية العالية، نظرًا لأن دالة حالة الحدّ قد تكون غير خطية، كما أن عدد العينات المطلوبة أقل من تقنيات تحليل الموثوقية الأخرى، مثل محاكاة المجموعات الفرعية . ^{[ 3 ]} ويمكن أيضًا استخدام الخوارزمية لنشر عدم اليقين المعرفي بكفاءة في شكل مربعات احتمالية أو مجموعات عشوائية . ^{[ 4 ] [ 5 ]} يتوفر تطبيق عددي لهذه الطريقة في برنامج OpenCOSSAN مفتوح المصدر. ^{[ 6 ]}

• أخذ عينات من الأحداث النادرة
• لعنة الأبعاد
• التقييم الكمي للمخاطر