نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى

في الجبر الخطي والتحليل الوظيفي ، تُعدّ نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى ، أو نظرية التباين ، أو مبدأ كوران - فيشر - ويل للحد الأدنى والحد الأقصى ، نتيجةً تُعطي توصيفًا تباينيًا للقيم الذاتية للمؤثرات الهرميتية المدمجة على فضاءات هيلبرت . ويمكن اعتبارها نقطة انطلاق للعديد من النتائج ذات الطبيعة المماثلة.

تتناول هذه المقالة أولاً الحالة ذات الأبعاد المحدودة وتطبيقاتها قبل التطرق إلى المؤثرات المدمجة على فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد اللانهائية. بالنسبة للمؤثرات المدمجة، يعتمد برهان النظرية الرئيسية بشكل أساسي على الفكرة نفسها المستخدمة في الحالة ذات الأبعاد المحدودة.

في حالة كون المؤثر غير هيرميتي، توفر النظرية توصيفًا مكافئًا للقيم المفردة المرتبطة به . ويمكن تعميم نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى لتشمل المؤثرات ذاتية الترافق المحدودة من الأسفل.

المصفوفات

لتكن $A$ مصفوفة هيرميتية من الرتبة $n \times n$ . وكما هو الحال مع العديد من نتائج التباين الأخرى المتعلقة بالقيم الذاتية، يُنظر في خارج قسمة رايلي - ريتز $R$ $A$ $:$ $C$ $n$ $\ {0} →$ $R$ المعرف بـ

R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}

حيث يشير $(\cdot, \cdot) إلى$ الضرب الداخلي الإقليدي على $C n$ .

حاصل قسمة رايلي لمتجه ذاتي $v$ هي القيمة الذاتية المرتبطة بها $\lambda$ لأن $R_{A}(v)=(\lambda x,x)/(x,x)=\lambda$ بالنسبة للمصفوفة الهرميتية A ، فإن مدى الدوال المتصلة R<sub> _A</sub> ( x ) هو فترة مغلقة [ a , b ] على خط الأعداد الحقيقية. القيمة العظمى b والقيمة الصغرى a هما أكبر وأصغر قيمة ذاتية للمصفوفة A ، على التوالي. تُعدّ نظرية القيم الصغرى والعظمى تحسينًا لهذه الحقيقة.

نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى

يترك ${\textstyle A}$ كن هيرميتيًا في مساحة المنتج الداخلية ${\textstyle V}$ بأبعاد ${\textstyle n}$ ، مع ترتيب الطيف بترتيب تنازلي ${\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}$ .

يترك ${\textstyle v_{1},...,v_{n}}$ لتكن المتجهات الذاتية المتعامدة ذات الطول الواحد المناظرة.

اعكس ترتيب الطيف، بحيث ${\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}$ .

(متباينة بوانكاريه) — ليكن ${\textstyle M}$ ليكن فضاءً جزئياً من ${\textstyle V}$ بأبعاد ${\textstyle k}$ إذن، توجد متجهات وحدة ${\textstyle x,y\in M}$ بحيث

${\textstyle \langle x,Ax\rangle \leq \lambda _{k}}$ ، و ${\textstyle \langle y,Ay\rangle \geq \xi _{k}}$ .

دليل

الجزء الثاني هو نتيجة طبيعية، باستخدام ${\textstyle -A}$ .

${\textstyle M}$ هو ${\textstyle k}$ الفضاء الجزئي ذو الأبعاد، لذلك إذا اخترنا أي قائمة من ${\textstyle n-k+1}$ المتجهات، وامتدادها ${\textstyle N:=span(v_{k},...v_{n})}$ يجب أن تتقاطع ${\textstyle M}$ على سطر واحد على الأقل.

خذ الوحدة ${\textstyle x\in M\cap N}$ هذا ما نحتاجه.

{\textstyle x=\sum _{i=k}^{n}a_{i}v_{i}}

، منذ

{\textstyle x\in N}

.

منذ

{\textstyle \sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}=1}

، نجد

{\textstyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}\lambda _{i}\leq \lambda _{k}}

.

نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى — ${\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}$

دليل

الجزء الثاني هو نتيجة طبيعية للجزء الأول، وذلك باستخدام ${\textstyle -A}$ .

بحسب مفهوم بوانكاريه عن عدم المساواة، ${\textstyle \lambda _{k}}$ يمثل حدًا أعلى للجانب الأيمن.

عن طريق الضبط ${\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}$ ، يتم الوصول إلى الحد الأعلى.

حدد التتبع الجزئي ${\textstyle tr_{V}(A)}$ أن يكون أثر إسقاط ${\textstyle A}$ ل ${\textstyle V}$ وهو يساوي ${\textstyle \sum _{i}v_{i}^{*}Av_{i}}$ بالنظر إلى أساس متعامد من ${\textstyle V}$ .

صيغة ويلاندت مينيمكس ( ^[¹^]^:⁴⁴ ) — ليكن ${\textstyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ لتكن أعدادًا صحيحة. عرّف علامة جزئية على أنها مجموعة متداخلة ${\textstyle V_{1}\subset \cdots \subset V_{k}}$ من الفضاءات الفرعية لـ ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$ بحيث ${\textstyle \operatorname {dim} \left(V_{j}\right)=i_{j}}$ للجميع ${\textstyle 1\leq j\leq k}$ .

عرّف نوع شوبيرت المرتبط ${\textstyle X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}$ أن تكون مجموعة من كل ${\textstyle k}$ الفضاءات الفرعية متعددة الأبعاد ${\textstyle W}$ بحيث ${\textstyle \operatorname {dim} \left(W\cap V_{j}\right)\geq j}$ .

$\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)=\sup _{V_{1},\ldots ,V_{k}}\inf _{W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}tr_{W}(A)$

دليل

ال ${\textstyle \leq }$ قضية.

يترك ${\textstyle V_{j}=span(e_{1},\dots ,e_{i_{j}})}$ وأي ${\textstyle W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}$ يبقى أن نثبت ذلك $\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\leq tr_{W}(A)$

ولإثبات ذلك، نقوم بإنشاء مجموعة متعامدة من المتجهات. ${\textstyle v_{1},\dots ,v_{k}}$ بحيث ${\textstyle v_{j}\in V_{j}\cap W}$ . ثم ${\textstyle tr_{W}(A)\geq \sum _{j}\langle v_{j},Av_{j}\rangle \geq \lambda _{i_{j}}(A)}$

منذ ${\textstyle dim(V_{1}\cap W)\geq 1}$ نختار أي وحدة ${\textstyle v_{1}\in V_{1}\cap W}$ . بعد ذلك، بما أن ${\textstyle dim(V_{2}\cap W)\geq 2}$ نختار أي وحدة ${\textstyle v_{2}\in (V_{2}\cap W)}$ وهو عمودي على ${\textstyle v_{1}}$ وهكذا دواليك.

ال ${\textstyle \geq }$ قضية.

لأي تسلسل من الفضاءات الجزئية من هذا القبيل ${\textstyle V_{i}}$ يجب أن نجد بعضاً ${\textstyle W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}$ بحيث $\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\geq tr_{W}(A)$

والآن نثبت ذلك بالاستقراء.

ال ${\textstyle n=1}$ في هذه الحالة، تنطبق نظرية كوران-فيشر. لنفترض الآن ${\textstyle n\geq 2}$ .

لو ${\textstyle i_{1}\geq 2}$ ثم يمكننا تطبيق الاستقراء. ليكن ${\textstyle E=span(e_{i_{1}},\dots ,e_{n})}$ نقوم بإنشاء علامة جزئية ضمن ${\textstyle E}$ من تقاطع ${\textstyle E}$ مع ${\textstyle V_{1},\dots ,V_{k}}$ .

نبدأ باختيار ${\textstyle (i_{k}-(i_{1}-1))}$ فضاء فرعي ذو أبعاد ${\textstyle W_{k}'\subset E\cap V_{i_{k}}}$ ، وهو موجود عن طريق حساب الأبعاد. وهذا له بُعد مشترك ${\textstyle (i_{1}-1)}$ داخل ${\textstyle V_{i_{k}}}$ .

ثم ننزل خطوة واحدة للأسفل، لنختار ${\textstyle (i_{k-1}-(i_{1}-1))}$ فضاء فرعي ذو أبعاد ${\textstyle W_{k-1}'\subset W_{k}\cap V_{i_{k-1}}}$ هذا لا يزال موجودًا. إلخ. الآن بما أن ${\textstyle dim(E)\leq n-1}$ بتطبيق فرضية الاستقراء، يوجد بعض ${\textstyle W\in X(W_{1},\dots ,W_{k})}$ بحيث $\lambda _{i_{1}-(i_{1}-1)}(A|E)+\cdots +\lambda _{i_{k}-(i_{1}-1)}(A|E)\geq tr_{W}(A)$ الآن ${\textstyle \lambda _{i_{j}-(i_{1}-1)}(A|E)}$ هو ${\textstyle (i_{j}-(i_{1}-1))}$ القيمة الذاتية رقم - لـ ${\textstyle A}$ إسقاط عمودي لأسفل إلى ${\textstyle E}$ بحسب نظرية كوشي للتداخل، ${\textstyle \lambda _{i_{j}-(i_{1}-1)}(A|E)\leq \lambda _{i_{j}}(A)}$ . منذ ${\textstyle X(W_{1},\dots ,W_{k})\subset X(V_{1},\dots ,V_{k})}$ انتهينا.

لو ${\textstyle i_{1}=1}$ ثم نقوم بعملية بناء مماثلة. ليكن ${\textstyle E=span(e_{2},\dots ,e_{n})}$ . لو ${\textstyle V_{k}\subset E}$ ثم يمكننا الاستقراء. وإلا، فإننا نبني تسلسلًا جزئيًا للأعلام. ${\textstyle W_{2},\dots ,W_{k}}$ بالاستقراء، يوجد شيء ما ${\textstyle W'\in X(W_{2},\dots ,W_{k})\subset X(V_{2},\dots ,V_{k})}$ بحيث $\lambda _{i_{2}-1}(A|E)+\cdots +\lambda _{i_{k}-1}(A|E)\geq tr_{W'}(A)$ هكذا $\lambda _{i_{2}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\geq tr_{W'}(A)$ ويبقى أن نجد بعضاً ${\textstyle v}$ بحيث ${\textstyle W'\oplus v\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}$ .

لو ${\textstyle V_{1}\not \subset W'}$ ثم أي ${\textstyle v\in V_{1}\setminus W'}$ سينجح الأمر. وإلا، إذا ${\textstyle V_{2}\not \subset W'}$ ثم أي ${\textstyle v\in V_{2}\setminus W'}$ سينجح الأمر، وهكذا. إذا لم ينجح أي من هذه الحلول، فهذا يعني ${\textstyle V_{k}\subset E}$ ، تناقض.

وهذا له بعض النتائج المترتبة عليه: ^{[ 1 ]}^{: 44}

أثر جزئي متطرف — $\lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)=\sup _{\operatorname {dim} (V)=k}tr_{V}(A)$

$\xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)=\inf _{\operatorname {dim} (V)=k}tr_{V}(A)$

النتيجة المترتبة على ذلك — المجموع ${\textstyle \lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)}$ هي دالة محدبة، و ${\textstyle \xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)}$ مقعر.

(متباينة شور-هورن) $\xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)\leq a_{i_{1},i_{1}}+\dots +a_{i_{k},i_{k}}\leq \lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)$ لأي مجموعة فرعية من المؤشرات.

وبصورة مكافئة، ينص هذا على أن المتجه القطري لـ ${\textstyle A}$ يتم التحكم فيه بواسطة طيفه الذاتي.

عدم المساواة بمعيار شاتن هولدر – في ضوء هيرميتيان ${\textstyle A,B}$ وزوج هولدر ${\textstyle 1/p+1/q=1}$ ، $|\operatorname {tr} (AB)|\leq \|A\|_{S^{p}}\|B\|_{S^{q}}$

دليل

مدونة WLOG، ${\textstyle B}$ إذا تم تحويلها إلى شكل قطري، فنحن بحاجة إلى إظهار ${\textstyle |\sum _{i}B_{ii}A_{ii}|\leq \|A\|_{S^{p}}\|(B_{ii})\|_{l^{q}}}$

بحسب متباينة هولدر القياسية، يكفي أن نُظهر ${\textstyle \|(A_{ii})\|_{l^{p}}\leq \|A\|_{S^{p}}}$

بحسب متباينة شور-هورن، فإن أقطار ${\textstyle A}$ تُهيمن عليها الطيف الذاتي لـ ${\textstyle A}$ ومنذ الخريطة ${\textstyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\|x\|_{p}}$ إذا كان متماثلاً ومحدباً، فهو محدب من نوع شور.

مثال مضاد في الحالة غير الهرميتية

لتكن N مصفوفة عديمة القوة

{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.

عرّف حاصل قسمة رايلي $R_{N}(x)$ $تمامًا كما في الحالة الهرميتية . ومن ثم$ $،$ يسهل ملاحظة أن القيمة الذاتية الوحيدة لـ N هي الصفر، بينما القيمة $القصوى$ لنسبة رايلي هي $½ .$ أي أن القيمة القصوى لنسبة رايلي أكبر من القيمة الذاتية القصوى.

التطبيقات

مبدأ الحد الأدنى والحد الأقصى للقيم المفردة

القيم المفردة { σk _} للمصفوفة المربعة M هي الجذور التربيعية للقيم الذاتية للمصفوفة M * M (أو MM* ). ومن النتائج المباشرة للمساواة الأولى في نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى ما يلي:

\sigma _{k}^{\downarrow }=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.

بصورة مماثلة،

\sigma _{k}^{\downarrow }=\min _{S:\dim(S)=n-k+1}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.

هنا $\sigma _{k}^{\downarrow }$ يشير إلى العنصر ^رقمk في التسلسل التنازلي للقيم المفردة، بحيث $\sigma _{1}^{\downarrow }\geq \sigma _{2}^{\downarrow }\geq \cdots$ .

نظرية كوشي للتداخل

لتكن $A$ مصفوفة متناظرة من الرتبة n × n . تُسمى المصفوفة B من الرتبة m × m ، حيث m ≤ n ، ضغطًا للمصفوفة $A$ إذا وُجد إسقاط متعامد P على فضاء جزئي ذي بُعد m بحيث يكون PAP* = B. تنص نظرية كوشي للتداخل على ما يلي:

نظرية. إذا كانت القيم الذاتية للمصفوفة

A

هي

α 1 \leq ... \leq α n

، والقيم الذاتية للمصفوفة B هي

β 1 \leq ... \leq β j \leq ... \leq β m

، فإن لكل

j \leq m

،

\alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.

يمكن إثبات ذلك باستخدام مبدأ الحد الأدنى والحد الأقصى. ليكن βᵢ _متجهًا ذاتيًا مناظرًا bᵢ _، وليكن Sⱼ الفضاء الجزئي ذو البعد j $، Sⱼ$ = $span$ _{ $b₁$ $,$ $...$ $,$ $bⱼ$ $}$ $،$ عندئذٍ

\beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.

وفقًا للجزء الأول من معادلة min-max، $فإن$ αj $\leq$ $βj . من جهة$ أخرى، إذا عرّفنا $Sm - j + 1 = span{bj, ..., bm}$ $،$ $فإن$

\beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},

حيث يتم تحديد المتباينة الأخيرة من خلال الجزء الثاني من min-max.

عندما يكون $n - m = 1$ ، يكون لدينا $α j \leq β j \leq α j +1$ ، ومن هنا جاء اسم نظرية التداخل .

عدم المساواة عند ليدسكي

عدم المساواة في ليدسكي — إذا ${\textstyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ثم ${\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\&\quad \leq \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\&\quad \geq \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\xi _{1}(B)+\cdots +\xi _{k}(B)\end{aligned}}$

دليل

الثانية هي نقيض الأولى. الأولى من تأليف ويلاندت مينيمكس.

${\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\=&\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}(tr_{W}(A)+tr_{W}(B))\\=&\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}(\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}tr_{W}(A)+tr_{W}(B))\\\leq &\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}(\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}tr_{W}(A)+(\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)))\\=&\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)\end{aligned}}$

لاحظ أن $\sum _{i}\lambda _{i}(A+B)=tr(A+B)=\sum _{i}\lambda _{i}(A)+\lambda _{i}(B)$ . بعبارة أخرى، $\lambda (A+B)-\lambda (A)\preceq \lambda (B)$ أين $\preceq$ يعني ذلك الترتيب الجزئي . وبحسب نظرية شور للتحدب، لدينا

متباينة ويلاندت-هوفمان من النوع p — ${\textstyle \|\lambda (A+B)-\lambda (A)\|_{\ell ^{p}}\leq \|B\|_{S^{p}}}$ أين ${\textstyle \|\cdot \|_{S^{p}}}$ يرمز إلى معيار p-Schatten.

المشغلين المدمجين

ليكن $A$ مؤثرًا هيرميتيًا متراصًا على فضاء هيلبرت H. تذكر أن الطيف غير الصفري لهذا المؤثر يتكون من قيم ذاتية حقيقية ذات تعدد محدود، ونقطة تجمعها الوحيدة الممكنة هي الصفر. إذا كان لـ $A$ عدد لا نهائي من القيم الذاتية الموجبة، فإنها تتراكم عند الصفر. في هذه الحالة، نسرد القيم الذاتية الموجبة لـ $A$ كما يلي:

\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},

حيث تتكرر العناصر بتكرارات متعددة ، كما هو الحال في المصفوفة. (للتأكيد على أن المتتالية متناقصة، يمكننا كتابة $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$ نطبق الآن نفس المنطق كما في حالة المصفوفة. إذا اعتبرنا S _k ⊂ H فضاءً جزئياً ذا بُعد k ، فيمكننا الحصول على النظرية التالية.

نظرية (الحد الأدنى - الحد الأقصى). ليكن

A

مؤثرًا متراصًا ذاتيًا على فضاء هيلبرت

H

، حيث تُدرج قيمه الذاتية الموجبة بترتيب تنازلي

... \leq λ k \leq ... \leq λ 1.

عندئذٍ:

{\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}

وينطبق زوج مماثل من المعادلات على القيم الذاتية السالبة.

دليل

ليكن S' هو إغلاق الامتداد الخطي $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ الفضاء الجزئي S' له بُعد مشترك k − 1. وباستخدام نفس حجة عدد الأبعاد كما في حالة المصفوفة، فإن S' ∩ S _k له بُعد موجب. لذا يوجد x ∈ S' ∩ S _k بحيث $\|x\|=1$ بما أنه عنصر من S' ، فإن مثل هذا x يحقق بالضرورة

(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

لذلك، بالنسبة لجميع S _k

\inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}

لكن المجموعة $A$ متراصة، لذا فإن الدالة f ( x ) = ( Ax , x ) متصلة اتصالًا ضعيفًا. علاوة على ذلك، فإن أي مجموعة محدودة في H تكون متراصة اتصالًا ضعيفًا. وهذا يسمح لنا باستبدال الحد الأدنى بالحد الأدنى.

\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

لذا

\sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

لأن المساواة تتحقق عندما $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ ،

\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.

هذا هو الجزء الأول من نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى للمؤثرات الذاتية المدمجة.

وبالمثل، لنفترض الآن فضاءً جزئياً ذا بُعد ( $k - 1)$ يُرمز إلى مكمله المتعامد بـ S _k₋₁^⊥ . إذا كان _S' = span{ u ₁ ... u _k }،

S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.

لذا

\exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.

وهذا يعني

\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}

حيث تم تطبيق خاصية التراص في A. بفهرسة ما سبق بواسطة مجموعة الفضاءات الجزئية ذات البعد k-1، نحصل على

\inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.

اختر S _{k −1} = span{ u ₁ , ..., u _{k −1} } واستنتج

\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.

المؤثرات ذاتية الترافق

تنطبق نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى أيضًا على المؤثرات الذاتية المرافقة (التي قد تكون غير محدودة). ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} تذكر أن الطيف الأساسي هو الطيف الذي لا يحتوي على قيم ذاتية معزولة ذات تعدد محدود. في بعض الأحيان، توجد لدينا بعض القيم الذاتية أسفل الطيف الأساسي، ونرغب في تقريب القيم الذاتية والدوال الذاتية.

نظرية (الحد الأدنى-الأقصى). ليكن A مصفوفة ذاتية الترافق، وليكن

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

لتكن القيم الذاتية للمصفوفة A أسفل الطيف الأساسي. عندئذٍ

${\displaystyle E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle$ .

إذا كان لدينا N قيمة ذاتية فقط، وبالتالي نفدت القيم الذاتية، فإننا نترك $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ (أسفل الطيف الأساسي) لـ n>N ، والبيان أعلاه صحيح بعد استبدال min-max بـ inf-sup.

نظرية (الحد الأقصى الأدنى). ليكن A مصفوفة ذاتية الترافق، وليكن

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

لتكن القيم الذاتية للمصفوفة A أسفل الطيف الأساسي. عندئذٍ

${\displaystyle E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle$ .

إذا كان لدينا N قيمة ذاتية فقط، وبالتالي نفدت القيم الذاتية، فإننا نترك $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ (أسفل الطيف الأساسي) لـ n > N ، والبيان أعلاه صحيح بعد استبدال max-min بـ sup-inf.

تستخدم البراهين ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} النتائج التالية حول المؤثرات الذاتية المرافقة:

نظرية. ليكن A مصفوفة ذاتية الترافق. عندئذٍ

(A-E)\geq 0

ل

E\in \mathbb {R}

إذا وفقط إذا

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

. ^{[ 2 ]}^{: 77}

نظرية. إذا كانت A ذاتية الترافق، فإن

$\inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle$

و

$\sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle$ . ^{[ 2 ]}^{: 77}

انظر أيضاً

مراجع

1 2 تاو، تيرينس (2012). موضوعات في نظرية المصفوفات العشوائية . دراسات عليا في الرياضيات. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-7430-1.
1 2 3 4 جي. تيشل، الأساليب الرياضية في ميكانيكا الكم (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
1 2 ليب؛ لوس (2001). التحليل . GSM. المجلد 14 ( الطبعة الثانية). بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-2783-9.

روابط خارجية ومراجع لأعمال ذات صلة

فيسك، ستيف (2005). "برهان موجز للغاية لنظرية كوشي للتداخل للقيم الذاتية للمصفوفات الهرميتية". arXiv : math/0502408 .
هوانغ، سوك-غيون (2004). "نظرية كوشي المتشابكة للقيم الذاتية للمصفوفات الهرميتية" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 111 (2): 157-159 . doi : 10.2307/4145217 . JSTOR 4145217 .
كلاين، جيفري (2020). "المصفوفات الهرميتية ذات الحدود ومجاميع دالة موبيوس" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 588 : 224-237 . doi : 10.1016/j.laa.2019.12.004 .
ريد، مايكل؛ سيمون، باري (1978). أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة 4: تحليل المؤثرات . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-08-057045-7.
إدموندز، دي إي؛ إيفانز، دبليو دي (2018). "11.1 مبدأ الحد الأقصى والأدنى للمؤثرات شبه المحدودة ذاتية الترافق" . نظرية الطيف والمؤثرات التفاضلية . منشورات أكسفورد للعلوم ( الطبعة الثانية). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-881205-0.

[:0-1] 1 2 تاو، تيرينس (2012). موضوعات في نظرية المصفوفات العشوائية . دراسات عليا في الرياضيات. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-7430-1.

[teschl-2] 1 2 3 4 جي. تيشل، الأساليب الرياضية في ميكانيكا الكم (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf

[lieb-loss-3] 1 2 ليب؛ لوس (2001). التحليل . GSM. المجلد 14 ( الطبعة الثانية). بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-2783-9.

[ 2 ]

[ 3 ]