أثر جزئي

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 69 صور
الموسوعة الحرة
يُظهر الجانب الأيسر مصفوفة الكثافة الكاملةρأب{\displaystyle \rho _{AB}}لنظام كيوبت ثنائي الأجزاء. يتم إجراء التتبع الجزئي على نظام فرعي ذي بُعد 2×2 (مصفوفة كثافة كيوبت واحد). يُظهر الجانب الأيمن مصفوفة الكثافة المُختزلة الناتجة ذات البُعد 2×2.ρأ{\displaystyle \rho _{A}}.
تصور الأثر الجزئي في فضاء متجهي مركب. يوضح هذا الرسم التخطيطي عملية الأثر الجزئي على مصفوفة 8 × 8 تمثل مؤثرًا خطيًا يعمل على فضاء متجهي مركب ثلاثي الأجزاءV=Vأ⊗Vب⊗Vج{\displaystyle V=V_{A}\otimes V_{B}\otimes V_{C}}في هذه الحالة، كل من الفضاءات الفرعية (Vأ،Vب،Vج{\displaystyle V_{A},V_{B},V_{C}}تكون هذه الفضاءات الفرعية ذات بُعد 2، أي أنها تُمثَّل بمصفوفات 2 × 2. ويمكن لهذه الفضاءات الفرعية أن تصف أنظمة ثنائية المستوى (ج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}على سبيل المثال، ينتج عن تتبع فضاء فرعي واحد تمثيل مصفوفي 4 × 4 للمؤثر الناتج. تُجمع العناصر الموجودة في المربعات المتصلة بخطوط معًا.

في الجبر الخطي والتحليل الوظيفي ، يُعدّ الأثر الجزئي تعميمًا للأثر . فبينما يكون الأثر دالة عددية على المؤثرات، يكون الأثر الجزئي دالة على المؤثرات . وللأثر الجزئي تطبيقات في المعلومات الكمومية وفقدان الترابط ، وهو أمرٌ ذو صلة بالقياس الكمومي ، وبالتالي بالمناهج غير المترابطة لتفسيرات ميكانيكا الكم ، بما في ذلك التاريخ المتسق وتفسير الحالة النسبية .

تفاصيل

يفترضV{\displaystyle V}،دبليو{\displaystyle W}هي فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة على حقل ، بأبعادم{\displaystyle m}ون{\displaystyle n}، على التوالي. لأي مساحةأ{\displaystyle A}، دعل(أ){\displaystyle L(A)}يرمز إلى فضاء المؤثرات الخطية علىأ{\displaystyle A}الأثر الجزئي علىدبليو{\displaystyle W}ثم تُكتب على النحو التالي :Trدبليو:ل⁡(V⊗دبليو)→ل⁡(V){\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)}، حيث⊗{\displaystyle \otimes }يرمز إلى حاصل الضرب الموتري .

يُعرَّف على النحو التالي: لـتي∈ل⁡(V⊗دبليو){\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}، دع​هـ1،...،هـم{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}و​​و1،...،ون{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}⁠ ، لتكن أساسًا لـ V و W على التوالي؛ عندئذٍ يكون لـ T تمثيل مصفوفي

{أكℓ،أناج}1≤ك،أنا≤م،1≤ℓ،ج≤ن{\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n}

بالنسبة للأساس هـك⊗وℓ{\displaystyle e_{k}\otimes f_{\ell }} ل V⊗دبليو{\displaystyle V\otimes W}.

أما بالنسبة للمؤشرين k و i في النطاق 1، ...، m ، فضع في اعتبارك المجموع

بك،أنا=∑ج=1نأكج،أناج{\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}}

هذا يعطي مصفوفة b k , i . المؤثر الخطي المرتبط على V مستقل عن اختيار القواعد وهو بحكم التعريف الأثر الجزئي .

بين الفيزيائيين، يطلق على هذا غالبًا اسم "التتبع الخارجي" أو "التتبع فوق" W لترك عامل فقط على V في السياق حيث W و V هي فضاءات هيلبرت المرتبطة بالأنظمة الكمومية (انظر أدناه).

تعريف ثابت

يمكن تعريف مؤثر الأثر الجزئي بشكل ثابت (أي بدون الرجوع إلى أساس) على النحو التالي: إنه التطبيق الخطي الوحيد

Trدبليو:ل⁡(V⊗دبليو)→ل⁡(V){\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)}

بحيث

Trدبليو⁡(R⊗S)=Tr⁡(S)R∀R∈ل⁡(V)∀S∈ل⁡(دبليو).{\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {Tr} (S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).}

لإثبات أن الشروط المذكورة أعلاه تحدد الأثر الجزئي بشكل فريد، دعv1،...،vم{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}تشكل أساسًا لـV{\displaystyle V}، يتركw1،...،wن{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}تشكل أساسًا لـدبليو{\displaystyle W}، يتركهـأناج:V→V{\displaystyle E_{ij}:V\to V}كن الخريطة التي ترسلvأنا{\displaystyle v_{i}}لvج{\displaystyle v_{j}}(وجميع عناصر الأساس الأخرى تساوي صفرًا)، ولتكنFكل:دبليو→دبليو{\displaystyle F_{kl}\colon W\to W}كن الخريطة التي ترسلwك{\displaystyle w_{k}}لwل{\displaystyle w_{l}}بما أن المتجهاتvأنا⊗wك{\displaystyle v_{i}\otimes w_{k}}تشكل أساسًا لـV⊗دبليو{\displaystyle V\otimes W}الخرائطهـأناج⊗Fكل{\displaystyle E_{ij}\otimes F_{kl}}تشكل أساسًا لـل⁡(V⊗دبليو){\displaystyle \operatorname {L} (V\otimes W)}.

انطلاقاً من هذا التعريف المجرد، تترتب الخصائص التالية:

Trدبليو⁡(أناV⊗دبليو)=خافت⁡دبليو أناV{\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}}
Trدبليو⁡(تي(أناV⊗S))=Trدبليو⁡((أناV⊗S)تي)∀S∈ل⁡(دبليو)∀تي∈ل⁡(V⊗دبليو).{\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).}

مفهوم نظرية الفئات

إن الأثر الجزئي للتحويلات الخطية هو موضوع مفهوم جويال وستريت وفيريتي للفئة المونيدية المُتتبَّعة . والفئة المونيدية المُتتبَّعة هي فئة مونويدية.(ج،⊗،أنا){\displaystyle (C,\otimes ,I)}بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للأشياء X و Y و U في الفئة، دالة لمجموعات Hom،

TrX،Yيو:هومج⁡(X⊗يو،Y⊗يو)→هومج⁡(X،Y){\displaystyle \operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}:\operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}

تحقيق بعض البديهيات.

يظهر مثال آخر لهذا المفهوم المجرد للأثر الجزئي في فئة المجموعات المنتهية والتقابلات بينها، حيث يكون حاصل الضرب المونيدي اتحادًا منفصلاً. يمكن إثبات أنه لأي مجموعات منتهية X و Y و U وتقابل ،X+يو≅Y+يو{\displaystyle X+U\cong Y+U}يوجد تقابل "مُتتبَّع جزئيًا" مُقابلX≅Y{\displaystyle X\cong Y}.

أثر جزئي للمؤثرات على فضاءات هيلبرت

يمكن تعميم الأثر الجزئي ليشمل المؤثرات على فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد اللانهائية. لنفترض أن V و W فضاءات هيلبرت، ولتكن

{وأنا}أنا∈أنا{\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}

ليكن أساسًا متعامدًا لـ W. الآن يوجد تماثل متساوي القياس

⨁ℓ∈أنا(V⊗جوℓ)→V⊗دبليو{\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W}

في ظل هذا التفكيك، أي عاملتي∈ل⁡(V⊗دبليو){\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}يمكن اعتبارها مصفوفة لانهائية من المؤثرات على V

[تي11تي12...تي1ج...تي21تي22...تي2ج...⋮⋮⋮تيك1تيك2...تيكج...⋮⋮⋮]،{\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}

أينتيكℓ∈ل⁡(V){\displaystyle T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)}.

لنفترض أولاً أن T مؤثر غير سالب. في هذه الحالة، جميع عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة أعلاه هي مؤثرات غير سالبة على V. إذا كان المجموع

∑ℓتيℓℓ{\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell }}

يتقارب في طوبولوجيا المؤثرات القوية لـ L( V )، وهو مستقل عن الأساس المختار لـ W. يُعرَّف الأثر الجزئي TrW ( T ) بأنه هذا المؤثر. يُعرَّف الأثر الجزئي لمؤثر ذاتي الترافق إذا وفقط إذا عُرِّف الأثر الجزئي للأجزاء الموجبة والسالبة.

حساب الأثر الجزئي

لنفترض أن W لها أساس متعامد، والذي نرمز إليه باستخدام ترميز متجه ket بـ ⁠{|ℓ⟩}ℓ{\displaystyle \{\vert \ell \rangle \}_{\ell }}ثم​

Trدبليو⁡(∑ك،ℓتي(كℓ)⊗|ك⟩⟨ℓ|)=∑جتي(جج).{\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}\left(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T^{(jj)}.}

لا تمثل الأرقام المرتفعة بين قوسين مكونات المصفوفة، بل تشير إلى المصفوفة نفسها.

التتبع الجزئي والتكامل الثابت

في حالة فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد المحدودة، توجد طريقة مفيدة للنظر إلى الأثر الجزئي تتضمن التكامل بالنسبة إلى مقياس هار μ المعياري بشكل مناسب على المجموعة الوحدوية U( W ) للفضاء W. والمقصود بالمعيارية المناسبة هو أن μ يُعتبر مقياسًا بكتلة كلية dim( W ).

نظرية . لنفترض أن V و W فضاءان هيلبرت منتهيا الأبعاد. عندئذٍ

∫يو⁡(دبليو)(أناV⊗يو*)تي(أناV⊗يو) دμ(يو){\displaystyle \int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)}

يتنقل مع جميع المشغلين من النوعأناV⊗S{\displaystyle I_{V}\otimes S}وبالتالي فهو فريد من نوعهR⊗أنادبليو{\displaystyle R\otimes I_{W}}. المؤثر R هو الأثر الجزئي لـ T.

الأثر الجزئي كعملية كمومية

يمكن اعتبار الأثر الجزئي عملية كمومية . لنفترض نظامًا ميكانيكيًا كموميًا تكون فضاء حالته عبارة عن حاصل ضرب موتر.حأ⊗حب{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}في فضاءات هيلبرت. تُوصف الحالة المختلطة بمصفوفة الكثافة ρ ، أي مؤثر من فئة الأثر غير السالب ذي أثر 1 على حاصل الضرب الموتري.حأ⊗حب.{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.} الأثر الجزئي لـ ρ بالنسبة للنظام B ، ويرمز إليه بـρأ{\displaystyle \rho ^{A}}، وتسمى الحالة المختزلة لـ ρ على النظام A. بالرموز، [ 1 ]ρأ=Trب⁡ρ.{\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .}

لإثبات أن هذه طريقة منطقية لتعيين حالة على النظام الفرعي A لـ ρ، نقدم التبرير التالي: ليكن M متغيرًا قابلًا للرصد على النظام الفرعي A ، فإن المتغير المقابل القابل للرصد على النظام المركب هوم⊗أنا{\displaystyle M\otimes I}ومع ذلك، كيف يختار المرء تعريف الحالة المختزلةρأ{\displaystyle \rho ^{A}}ينبغي أن يكون هناك اتساق في إحصائيات القياس. القيمة المتوقعة لـ M بعد إعداد النظام الفرعي A فيρأ{\displaystyle \rho ^{A}}وذلك منم⊗أنا{\displaystyle M\otimes I}عندما يتم تحضير النظام المركب في ρ، يجب أن يكون هو نفسه، أي يجب أن تتحقق المساواة التالية:

Trأ⁡(م⋅ρأ)=Tr⁡(م⊗أنا⋅ρ).{\displaystyle \operatorname {Tr} _{A}(M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).}

نرى أن هذا يتحقق إذاρأ{\displaystyle \rho ^{A}}يتم ذلك كما هو موضح أعلاه من خلال التتبع الجزئي. علاوة على ذلك، فإن هذه العملية فريدة من نوعها.

ليكن T ( H ) فضاء باناخ لمؤثرات فئة الأثر على فضاء هيلبرت H. يمكن التحقق بسهولة من أن الأثر الجزئي، عند النظر إليه كدالة

Trب:تي(حأ⊗حب)→تي(حأ){\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})}

إيجابي تمامًا ويحافظ على الآثار.

مصفوفة الكثافة ρ هيرميتية ، وشبه موجبة ، ولها أثر يساوي 1. ولها تحليل طيفي :

ρ=∑مصم|Ψم⟩⟨Ψم|؛ 0≤صم≤1، ∑مصم=1{\displaystyle \rho =\sum _{m}p_{m}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|;\ 0\leq p_{m}\leq 1,\ \sum _{m}p_{m}=1}

من السهل ملاحظة أن الأثر الجزئيρأ{\displaystyle \rho ^{A}}كما أنه يستوفي هذه الشروط. على سبيل المثال، لأي حالة نقية|ψأ⟩{\displaystyle |\psi _{A}\rangle }فيحأ{\displaystyle H_{A}}لدينا

⟨ψأ|ρأ|ψأ⟩=∑مصمTrب⁡[⟨ψأ|Ψم⟩⟨Ψم|ψأ⟩]≥0{\displaystyle \langle \psi _{A}|\rho ^{A}|\psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0}

لاحظ أن المصطلحTrب⁡[⟨ψأ|Ψم⟩⟨Ψم|ψأ⟩]{\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]}يمثل احتمال العثور على الحالة|ψأ⟩{\displaystyle |\psi _{A}\rangle }عندما يكون النظام المركب في الحالة|Ψم⟩{\displaystyle |\Psi _{m}\rangle }وهذا يثبت شبه الإيجابية لـρأ{\displaystyle \rho ^{A}}.

تؤدي خريطة التتبع الجزئية المذكورة أعلاه إلى خريطة ثنائيةTrب*{\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}بين جبر C* للمؤثرات المحدودة علىحأ{\displaystyle \;H_{A}}وحأ⊗حب{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}مقدم من

Trب*⁡(أ)=أ⊗أنا.{\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.}

Trب*{\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}يرسم خرائط للمشاهدات إلى مشاهدات أخرى، وهو تمثيل صورة هايزنبرغ لـTrب{\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}}⁠ .

مقارنة بالحالة الكلاسيكية

لنفترض أن النظامين A و B نظامان كلاسيكيان بدلاً من أنهما نظامان ميكانيكيان كموميان. في هذه الحالة، يكون فضاء الكميات القابلة للرصد لكل نظام عبارة عن جبر C* تبديلي. ويأخذ هذان الجبران الشكل C ( X ) و C ( Y ) على التوالي للفضاءين المتراصين X و Y. أما فضاء حالة النظام المركب فهو ببساطة

ج(X)⊗ج(Y)=ج(X×Y).{\displaystyle C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).}

الحالة على النظام المركب هي عنصر موجب ρ من ثنائي C( X × Y )، والذي يُقابل، وفقًا لنظرية ريز-ماركوف، مقياس بوريل منتظم على X × Y. وتُحصل الحالة المختزلة المقابلة بإسقاط المقياس ρ على X. وبالتالي، فإن الأثر الجزئي هو المكافئ الكمي لهذه العملية.

مراجع

  1. ↑ ستيب، ويلي-هانز؛ هاردي، يوريك (2006). مشاكل وحلول في الحوسبة الكمومية والمعلومات الكمومية . وورلد ساينتيفيك. ص  80.