تغير الضغط الرأسي

يُعرَّف تغير الضغط الرأسي بأنه تغير الضغط تبعًا للارتفاع . وبحسب نوع السائل والسياق، قد يختلف هذا التغير اختلافًا كبيرًا في الأبعاد العمودية على الارتفاع أيضًا، وهذه التغيرات ذات أهمية في سياق قوة تدرج الضغط وتأثيراتها. مع ذلك، يُعد التغير الرأسي ذا أهمية خاصة، إذ ينتج عن تأثير الجاذبية على السائل؛ أي أنه بالنسبة للسائل نفسه، يُقابل انخفاض الارتفاع فيه عمودًا أطول من السائل يضغط على تلك النقطة.

تتمثل إحدى الصيغ البسيطة نسبيًا ^{[ 1 ]} لتغير ضغط السائل الرأسي في أن فرق الضغط بين ارتفاعين هو حاصل ضرب تغير الارتفاع، والجاذبية، والكثافة . والمعادلة هي كما يلي: $${\displaystyle {\frac {dP}{dh}}=-\rho g,}$$ أين

• P هو الضغط،
• ρ هي الكثافة،
• g هي تسارع الجاذبية الأرضية ، و
• h هو الارتفاع .

يشير رمز دلتا إلى تغير في متغير معين. وبما أن قيمة g سالبة، فإن زيادة الارتفاع ستؤدي إلى انخفاض الضغط، وهو ما يتوافق مع المنطق المذكور سابقًا حول وزن عمود السائل.

عندما تكون الكثافة والجاذبية ثابتتين تقريبًا (أي عند تغيرات طفيفة نسبيًا في الارتفاع)، فإن ضرب فرق الارتفاع والجاذبية والكثافة يعطي تقريبًا جيدًا لفرق الضغط. إذا عُلم أن الضغط عند نقطة ما في سائل ذي كثافة منتظمة ρ هو P₀ _، فإن الضغط عند نقطة أخرى هو _P₁ .

${\displaystyle P_{1}=P_{0}-\rho g(h_{1}-h_{0})}$

حيث h ₁ - h ₀ هي المسافة الرأسية بين النقطتين. ^{[ 2 ]}

عند وضع سوائل مختلفة فوق بعضها البعض، يُحسب فرق الضغط الكلي بجمع فرقَي الضغط؛ الأول من النقطة 1 إلى الحد الفاصل، والثاني من الحد الفاصل إلى النقطة 2؛ وذلك ببساطة عن طريق استبدال قيم ρ و Δh لكل سائل وجمع النتائج. أما إذا كانت كثافة السائل تتغير بتغير الارتفاع، فسيلزم استخدام التكامل الرياضي.

يعتمد مدى إمكانية تقريب الكثافة والجاذبية على ثباتهما على مستوى الدقة المطلوب، وكذلك على مقياس فرق الارتفاع، إذ تتناقص الكثافة والجاذبية مع ازدياد الارتفاع. وبالنسبة للكثافة تحديدًا، يُعدّ نوع السائل عاملًا مهمًا؛ فمياه البحر ، على سبيل المثال، تُعتبر سائلًا غير قابل للانضغاط ؛ إذ يمكن أن تتغير كثافتها مع الارتفاع، ولكن بدرجة أقل بكثير من كثافة الهواء. لذا، يُمكن تقريب كثافة الماء على أنها ثابتة بشكل أدق من كثافة الهواء، وبافتراض تساوي فرق الارتفاع، فإن فروق الضغط في الماء تكون متساوية تقريبًا عند أي ارتفاع.

تعتمد معادلة الضغط الجوي فقط على ارتفاع حجرة السائل، وليس على عرضها أو طولها. عند ارتفاع كافٍ، يمكن الوصول إلى أي ضغط. تُعرف هذه الخاصية في علم السوائل الساكنة باسم مفارقة السوائل الساكنة . كما أوضحها دبليو ^إتش بيسانت [ ^{3 ]}

يمكن جعل أي كمية من السائل، مهما كانت صغيرة، قادرة على تحمل أي وزن، مهما كان كبيراً.

كان العالم الفلمنكي سيمون ستيفن أول من شرح المفارقة رياضيًا. ^{[ 4 ]} في عام 1916، أشار ريتشارد جليزبروك إلى مفارقة الضغط الهيدروستاتيكي واصفًا ترتيبًا نسبه إلى باسكال : ثقل كبير W يستقر على لوح مساحته A، موضوع بدوره على كيس مملوء بسائل متصل بأنبوب رأسي مساحته α . يؤدي سكب ماء وزنه w في الأنبوب إلى رفع الثقل في النهاية. ويؤدي توازن القوى إلى المعادلة

${\displaystyle W={\frac {wA}{\alpha }}.}$

يقول جليزبروك: "بجعل مساحة اللوح كبيرة ومساحة الأنبوب صغيرة، يمكن دعم وزن كبير W بوزن صغير w من الماء. وتوصف هذه الحقيقة أحيانًا بأنها مفارقة الضغط الهيدروستاتيكي." ^{[ 5 ]}

تستخدم الآلات الهيدروليكية هذه الظاهرة لمضاعفة القوة أو عزم الدوران. وتُستخدم عروض توضيحية لمفارقة الضغط الهيدروستاتيكي في تدريس هذه الظاهرة. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

عند تحليل التغير الرأسي لضغط الغلاف الجوي للأرض ، يصبح المقياس الطولي بالغ الأهمية ( إذ يبلغ ارتفاع طبقة التروبوسفير وحدها عدة كيلومترات ، بينما يبلغ ارتفاع طبقة الثيرموسفير عدة مئات من الكيلومترات)، كما أن السائل المعني (الهواء) قابل للانضغاط. ومع ذلك، يمكن تقريب الجاذبية بشكل معقول على أنها ثابتة، لأن المقاييس الطولية التي تبلغ بضعة كيلومترات لا تزال صغيرة مقارنةً بنصف قطر الأرض، الذي يبلغ في المتوسط ​​حوالي 6371  كيلومترًا، ^{[ 8 ]} والجاذبية دالة للمسافة من لب الأرض. ^{[ 9 ]}

أما الكثافة، من ناحية أخرى، فتتغير بشكل ملحوظ مع الارتفاع. ويترتب على ذلك قانون الغاز المثالي أن $${\displaystyle \rho ={\frac {mP}{kT}},}$$ أين

• m هي متوسط ​​الكتلة لكل جزيء هواء ،
• يمثل P الضغط عند نقطة معينة.
• k هو ثابت بولتزمان ،
• T هي درجة الحرارة بالكلفن .

ببساطة، تعتمد كثافة الهواء على ضغط الهواء. ونظرًا لأن ضغط الهواء يعتمد أيضًا على كثافة الهواء، فقد يتبادر إلى الذهن أن هذا تعريف دائري ، ولكنه في الواقع مجرد ترابط بين متغيرات مختلفة. وهذا بدوره يُنتج صيغة أكثر دقة، على النحو التالي: $${\displaystyle P_{h}=P_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}},}$$ أين

• يمثل P _h الضغط عند الارتفاع h ،
• P ₀ هو الضغط عند نقطة مرجعية 0 (عادةً ما تشير إلى مستوى سطح البحر)،
• m هي كتلة كل جزيء هواء،
• g هو تسارع الجاذبية الأرضية ،
• يمثل h الارتفاع من نقطة المرجع 0،
• k هو ثابت بولتزمان ،
• T هي درجة الحرارة بالكلفن.

لذلك، بدلاً من أن يكون الضغط دالة خطية للارتفاع كما قد يتوقع المرء من الصيغة الأبسط الواردة في قسم "الصيغة الأساسية"، فإنه يتم تمثيله بدقة أكبر كدالة أسية للارتفاع.

لاحظ أنه في هذا التبسيط، تُعامل درجة الحرارة على أنها ثابتة، على الرغم من أنها تتغير أيضًا مع الارتفاع. ومع ذلك، فإن التغير في درجة الحرارة داخل الطبقات السفلى من الغلاف الجوي ( التروبوسفير ، الستراتوسفير ) لا يتجاوز بضع عشرات من الدرجات، على عكس درجة حرارتها الديناميكية الحرارية التي تبلغ بضع مئات من الدرجات، لذا فإن التغير في درجة الحرارة ضئيل نسبيًا ويمكن تجاهله. بالنسبة لفروق الارتفاع الأصغر، بما في ذلك تلك من أعلى إلى أسفل حتى أطول المباني (مثل برج سي إن )، أو بالنسبة للجبال ذات الحجم المماثل، سيكون التغير في درجة الحرارة بسهولة ضمن خانة الآحاد. (انظر أيضًا معدل التدرج الحراري ).

يُستخدم اشتقاق بديل، عرضته جمعية بورتلاند ستيت لعلوم الفضاء الجوي ^{[ 10 ]} ، لإعطاء الارتفاع كدالة للضغط. قد يبدو هذا غير بديهي، إذ ينتج الضغط عن الارتفاع وليس العكس، لكن هذه الصيغة قد تكون مفيدة في إيجاد الارتفاع بناءً على فرق الضغط عندما يكون الأخير معروفًا وليس الأول. تُعرض صيغ مختلفة لأنواع مختلفة من التقريبات؛ وللمقارنة مع الصيغة السابقة، ستكون الصيغة الأولى المشار إليها في المقالة هي تلك التي تطبق تقريب درجة الحرارة الثابتة نفسه؛ وفي هذه الحالة: $${\displaystyle z=-{\frac {RT}{g}}\ln {\frac {P}{P_{0}}}}$$ حيث (بالقيم المستخدمة في المقال)

• يمثل z الارتفاع بالأمتار،
• R هو ثابت الغازات النوعي =287.053  جول/(كجم كلفن)
• T هي درجة الحرارة المطلقة بالكلفن =288.15  كلفن عند مستوى سطح البحر،
• g هي تسارع الجاذبية الأرضية =9.806 65  م/ث² ^عند مستوى سطح البحر،
• يمثل P الضغط عند نقطة معينة على ارتفاع z بوحدة الباسكال ، و
• P ₀ هو الضغط عند نقطة المرجع =101,325  باسكال عند مستوى سطح البحر.

تُفسر صيغة أكثر عمومية مشتقة في نفس المقالة التغير الخطي في درجة الحرارة كدالة للارتفاع (معدل الانخفاض الحراري)، وتختزل إلى الصيغة المذكورة أعلاه عندما تكون درجة الحرارة ثابتة: $${\displaystyle z={\frac {T_{0}}{L}}\left(\left({\frac {P}{P_{0}}}\right)^{-{\frac {LR}{g}}}-1\right)}$$ أين

• L هو معدل التغير الحراري في الغلاف الجوي (التغير في درجة الحرارة مقسومًا على المسافة) =−6.5 × 10 ⁻³  كلفن/متر ، و
• T ₀ هي درجة الحرارة عند نفس نقطة المرجع التي يكون عندها P = P ₀

والكميات الأخرى هي نفسها المذكورة أعلاه. هذه هي الصيغة الموصى باستخدامها.

• مقياس الضغط الجوي
• معادلة قياس الارتفاع
• برميل باسكال
• خراب الجبل
• تدرج الضغط
• سيفون

• ميرلينو، روبرت ل. (2003). "علم السكون - السوائل في حالة سكون" . تم الاسترجاع في 20-11-2014 .

الوسائط المتعلقة بمفارقة التوازن الهيدروستاتيكي على ويكيميديا ​​كومنز