النزوح الافتراضي

في الميكانيكا التحليلية ، أحد فروع الرياضيات التطبيقية والفيزياء ، يُظهر الإزاحة الافتراضية (أو التباين اللانهائي في الصغر ) كيف يمكن لمسار النظام الميكانيكي أن ينحرف افتراضيًا (ومن هنا جاء المصطلح افتراضي ) قليلاً جدًا عن المسار الفعلي للنظام دون انتهاك قيود النظام. ^{[1] [2] [3] : 263} لكل لحظة زمنية هي متجه مماس لمساحة التكوين عند النقطة تُظهر المتجهات الاتجاهات التي يمكن أن "تذهب" إليها دون كسر القيود. ${\displaystyle \delta \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \delta \gamma (t)}$${\displaystyle \gamma (t).}$${\displaystyle \delta \gamma (t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$

على سبيل المثال، تملأ الإزاحات الافتراضية للنظام المكون من جسيم واحد على سطح ثنائي الأبعاد المستوى المماس بأكمله، على افتراض عدم وجود قيود إضافية.

ومع ذلك، إذا كانت القيود تتطلب أن تمر جميع المسارات عبر النقطة المحددة في الوقت المحدد ، أي${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \gamma (\tau )=\mathbf {q} ,}$${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$

ليكن فضاء التكوين للنظام الميكانيكي، ليكن لحظات زمنية، يتكون من دوال سلسة على ، و ${\displaystyle M}$${\displaystyle t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle q_{0},q_{1}\in M,}$ ${\displaystyle C^{\infty }[t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$

$${\displaystyle P(M)=\{\gamma \in C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M)\mid \gamma (t_{0})=q_{0},\ \gamma (t_{1})=q_{1}\}.}$$

القيود هنا للتوضيح فقط. في الممارسة العملية، لكل نظام فردي، هناك حاجة إلى مجموعة فردية من القيود. ${\displaystyle \gamma (t_{0})=q_{0},}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})=q_{1}}$

لكل مسار وتغير في دالة بحيث ، لكل و الإزاحة الافتراضية هي الحزمة المماسية لـ المقابلة للتغير تعين ^[1] لكل متجه مماس${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \epsilon _{0}>0,}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma :[t_{0},t_{1}]\times [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}]\to M}$${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\epsilon )\in P(M)}$${\displaystyle \Gamma (t,0)=\gamma (t).}$ ${\displaystyle \delta \gamma :[t_{0},t_{1}]\to TM}$ ${\displaystyle (TM}$${\displaystyle M)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.{\frac {d\Gamma (t,\epsilon )}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\in T_{\gamma (t)}M.}$$

من حيث الخريطة المماسية ،

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\Gamma _{*}^{t}\left(\left.{\frac {d}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\right).}$$

هذه هي خريطة الظل حيث و${\displaystyle \Gamma _{*}^{t}:T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ]\to T_{\Gamma (t,0)}M=T_{\gamma (t)}M}$${\displaystyle \Gamma ^{t}:[-\epsilon ,\epsilon ]\to M,}$${\displaystyle \Gamma ^{t}(\epsilon )=\Gamma (t,\epsilon ),}$${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl |}_{\epsilon =0}\in T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ].}$

• تمثيل الإحداثيات. إذا كانت الإحداثيات في مخطط عشوائي على و${\displaystyle \{q_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n=\dim M,}$$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d[q_{i}(\Gamma (t,\epsilon ))]}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {d}{dq_{i}}}{\Biggl |}_{\gamma (t)}.}$$
• إذا، لبعض الوقت، لحظة وكل حين، لكل${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )={\text{const}},}$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$
• إذا ثم${\displaystyle \textstyle \gamma ,{\frac {d\gamma }{dt}}\in P(M),}$${\displaystyle \delta {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta \gamma .}$

يتمتع الجسيم المفرد المتحرك بحرية بثلاث درجات من الحرية. مساحة التكوين هي و لكل مسار وتغير في يوجد فريد مثل حسب التعريف، ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )}$${\displaystyle \gamma ,}$${\displaystyle \sigma \in T_{0}\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ),}$${\displaystyle \epsilon \to 0.}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ){\Bigr )}\right)\right|_{\epsilon =0}}$$

مما يؤدي إلى

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathbb {R} ^{3}.}$$

${\displaystyle N}$تتمتع الجسيمات التي تتحرك بحرية على سطح ثنائي الأبعاد بدرجة حرية. مساحة التكوين هنا هي ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 2N}$

$${\displaystyle M=\{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\in \mathbb {R} ^{3\,N}\mid \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3};\ \mathbf {r} _{i}\neq \mathbf {r} _{j}\ {\text{if}}\ i\neq j\},}$$

حيث يكون متجه نصف القطر للجسيم . ويترتب على ذلك أن ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$

$${\displaystyle T_{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}M=T_{\mathbf {r} _{1}}S\oplus \ldots \oplus T_{\mathbf {r} _{N}}S,}$$

ويمكن وصف كل مسار باستخدام متجهات نصف القطر لكل جسيم فردي، أي ${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

$${\displaystyle \gamma (t)=(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t)).}$$

وهذا يعني أنه بالنسبة لكل${\displaystyle \delta \gamma (t)\in T_{(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t))}M,}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\delta \mathbf {r} _{1}(t)\oplus \ldots \oplus \delta \mathbf {r} _{N}(t),}$$

حيث يعبر بعض المؤلفين عن هذا على النحو التالي ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t)\in T_{\mathbf {r} _{i}(t)}S.}$

$${\displaystyle \delta \gamma =(\delta \mathbf {r} _{1},\ldots ,\delta \mathbf {r} _{N}).}$$

الجسم الصلب الذي يدور حول نقطة ثابتة بدون قيود إضافية له 3 درجات من الحرية. مساحة التكوين هنا هي المجموعة المتعامدة الخاصة ذات البعد 3 (المعروفة أيضًا باسم مجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد )، ونستخدم التدوين القياسي للإشارة إلى الفضاء الخطي ثلاثي الأبعاد لجميع المصفوفات ثلاثية الأبعاد المتماثلة المائلة . تضمن الخريطة الأسية وجود بحيث، لكل مسار تباينه ويوجد مسار فريد بحيث ، لكل حسب التعريف، ${\displaystyle M=SO(3),}$${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3)\to SO(3)}$${\displaystyle \epsilon _{0}>0}$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon ),}$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}],}$${\displaystyle \Theta ^{t}\in C^{\infty }([-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],{\mathfrak {so}}(3))}$${\displaystyle \Theta ^{t}(0)=0}$${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )).}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )){\Bigr )}\right)\right|_{\epsilon =0}=\gamma (t)\left.{\frac {d\Theta ^{t}(\epsilon )}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}.}$$

نظرًا لأن، بالنسبة لبعض الوظائف ، مثل ، ${\displaystyle \sigma :[t_{0},t_{1}]\to {\mathfrak {so}}(3),}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}(\epsilon )=\epsilon \sigma (t)+o(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon \to 0}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\gamma (t)\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathrm {SO} (3).}$$

• مبدأ دالمبيرت
• العمل الافتراضي