العمل الافتراضي

في علم الميكانيكا ، ينشأ الشغل الافتراضي عند تطبيق مبدأ الفعل الأدنى لدراسة القوى وحركة النظام الميكانيكي . يختلف شغل القوة المؤثرة على جسيم أثناء حركته باختلاف الإزاحة. ومن بين جميع الإزاحات الممكنة التي قد يقطعها الجسيم، والتي تُسمى الإزاحات الافتراضية ، تُقلل إحداها من الفعل إلى أدنى حد. وبالتالي، فإن هذه الإزاحة هي الإزاحة التي يقطعها الجسيم وفقًا لمبدأ الفعل الأدنى.

يُعرف شغل القوة المؤثرة على جسيم على طول إزاحة افتراضية بالشغل الافتراضي.

تاريخياً، تم صياغة العمل الافتراضي وحساب التفاضل والتكامل المرتبط به لتحليل أنظمة الأجسام الصلبة، ^{[ 1 ]} ولكن تم تطويرهما أيضاً لدراسة ميكانيكا الأجسام القابلة للتشوه. ^{[ 2 ]}

لطالما استُخدم مبدأ الشغل الافتراضي بشكل أو بآخر منذ القدم في دراسة علم السكون. وقد استخدمه الإغريق والعرب واللاتينيون في العصور الوسطى، والإيطاليون في عصر النهضة، تحت مسمى "قانون الرافعة". ^{[ 3 ]} وقد استعان العديد من الفيزيائيين البارزين في القرن السابع عشر، مثل غاليليو وديكارت وتوريتشيلي وواليس وهيغنز، بفكرة الشغل الافتراضي، بدرجات متفاوتة من العمومية، عند حل مسائل في علم السكون. ^{[ 3 ]} وبالاستناد إلى مفاهيم لايبنتز، قام يوهان برنولي بتنظيم مبدأ الشغل الافتراضي، وأوضح مفهوم الإزاحة المتناهية الصغر. وقد تمكن من حل مسائل تتعلق بالأجسام الصلبة والسوائل على حد سواء. ظهرت صيغة برنولي لقانون الشغل الافتراضي في رسالته إلى بيير فارينيون عام 1715، والتي نُشرت لاحقًا في المجلد الثاني من كتاب فارينيون " الميكانيكا الجديدة أو السكون" عام 1725. تُعرف هذه الصيغة اليوم بمبدأ السرعات الافتراضية، وتُعتبر النموذج الأولي لمبادئ الشغل الافتراضي المعاصرة. ^{[ 3 ]} في عام 1743، نشر دالمبير كتابه "رسالة في الديناميكا" حيث طبّق مبدأ الشغل الافتراضي، استنادًا إلى عمل برنولي، لحلّ مسائل مختلفة في الديناميكا. تمثّلت فكرته في تحويل المسألة الديناميكية إلى مسألة سكونية بإدخال قوة القصور الذاتي . ^{[ 4 ]} في عام 1768، قدّم لاغرانج مبدأ الشغل الافتراضي بصيغة أكثر كفاءة من خلال إدخال الإحداثيات المعممة، وعرضه كمبدأ بديل في الميكانيكا يُمكن من خلاله حلّ جميع مسائل التوازن. قُدِّم عرضٌ منهجيٌّ لبرنامج لاغرانج لتطبيق هذا النهج على جميع فروع الميكانيكا، الساكنة منها والديناميكية، وتحديدًا مبدأ دالمبير ، في كتابه "الميكانيكا التحليلية" الصادر عام ١٧٨٨. ^{[ ٣ ]} مع أن لاغرانج كان قد قدّم نسخته من مبدأ الفعل الأدنى قبل هذا العمل، إلا أنه أقرّ بأن مبدأ الشغل الافتراضي أكثر جوهرية، وذلك لأنه يُمكن اعتباره وحده أساسًا لجميع فروع الميكانيكا، على عكس الفهم الحديث الذي يرى أن مبدأ الفعل الأدنى لا يأخذ في الحسبان القوى غير المحافظة. ^{[ ٣ ]}

إذا أثرت قوة على جسيم أثناء تحركه من نقطة${\displaystyle A}$للإشارة${\displaystyle B}$إذن، لكل مسار محتمل قد يسلكه الجسيم، يمكن حساب إجمالي الشغل المبذول بواسطة القوة على طول هذا المسار. ينص مبدأ الشغل الافتراضي ، وهو شكل من أشكال مبدأ الفعل الأدنى المطبق على هذه الأنظمة، على أن المسار الذي يسلكه الجسيم فعليًا هو المسار الذي يكون فيه الفرق بين الشغل المبذول على طول هذا المسار والشغل المبذول على المسارات المجاورة الأخرى صفرًا (من الدرجة الأولى). الإجراء الرسمي لحساب الفرق بين الدوال المحسوبة على المسارات المجاورة هو تعميم للمشتقة المعروفة من حساب التفاضل والتكامل ، ويُطلق عليه حساب التغيرات .

لنفترض جسيمًا نقطيًا يتحرك على طول مسار موصوف بدالة${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$من النقطة${\displaystyle A}$، أين${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})}$، للإشارة${\displaystyle B}$، أين${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})}$من المحتمل أن يتحرك الجسيم من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$على طول مسار قريب موصوف بواسطة${\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)}$، أين${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$يُطلق عليه اسم تنويع${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$التباين${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$يفي بالمتطلبات${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0}$المكونات العددية للتغير ${\displaystyle \delta r_{1}(t)}$،${\displaystyle \delta r_{2}(t)}$و${\displaystyle \delta r_{3}(t)}$تُسمى هذه الإزاحات بالإزاحات الافتراضية. ويمكن تعميم ذلك على أي نظام ميكانيكي مُعرَّف بالإحداثيات المعممة.${\displaystyle q_{i}}$،${\displaystyle i=1,2,...,n}$وفي هذه الحالة، يتغير المسار${\displaystyle q_{i}(t)}$يتم تعريفها من خلال الإزاحات الافتراضية${\displaystyle \delta q_{i}}$،${\displaystyle i=1,2,...,n}$.

الشغل الافتراضي هو إجمالي الشغل المبذول بواسطة القوى المؤثرة وقوى القصور الذاتي لنظام ميكانيكي أثناء تحركه عبر مجموعة من الإزاحات الافتراضية. عند النظر إلى القوى المؤثرة على جسم في حالة اتزان سكوني، فإن مبدأ الفعل الأدنى يقتضي أن يكون الشغل الافتراضي لهذه القوى صفراً.

لنفترض جسيمًا P يتحرك من النقطة A إلى النقطة B على طول المسار r ( t ) ، بينما تُطبق عليه قوة F ( r ( t )) . يُعطى الشغل المبذول بواسطة القوة F بالتكامل التالي: $${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}$$ حيث يمثل d r العنصر التفاضلي على طول المنحنى الذي يمثل مسار النقطة P ، و v سرعتها. من المهم ملاحظة أن قيمة الشغل W تعتمد على المسار r ( t ) .

لنفترض الآن جسيمًا P يتحرك من النقطة A إلى النقطة B مرة أخرى ، ولكنه هذه المرة يتحرك على طول مسار قريب يختلف عن r ( t ) بمقدار التغير δr ( t ) = εh ( t ) ، حيث ε ثابت قياس يمكن تصغيره حسب الرغبة، و _h ( t ) دالة اختيارية تحقق h ( t₀ ) = h ( _t₁ ) = 0. لنفترض أن القوة F ( r ( t ) + εh ( t )) هي نفسها F ( r ( t ) ) . الشغل المبذول بواسطة هذه القوة يُعطى بالتكامل التالي :$${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$يمكن حساب تغير الشغل δW المرتبط بهذا المسار القريب، والمعروف بالشغل الافتراضي ، على النحو التالي:$${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

إذا لم تكن هناك قيود على حركة النقطة P ، فسنحتاج إلى 3 معلمات لوصف موضعها بالكامل عند أي لحظة زمنية t . أما إذا كانت هناك k قوى قيد ( حيث k ≤ 3 )، فسنحتاج إلى n = (3 − k ) معلمة. ومن ثم ، يمكننا تعريف n إحداثيات معممة qᵢ ₍ t ) (حيث i = 1,..., n )، والتعبير عن r ( t ) و δr = εh ( t ) بدلالة هذه الإحداثيات المعممة. أي ،$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),}$$$${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).}$$ثم، تُعطى مشتقة التغير δ r = ε h ( t ) بالصيغة التالية$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i},}$$ ثم لدينا $${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$$

إن اشتراط أن يكون الشغل الافتراضي صفرًا لأي تغير عشوائي δ r ( t ) = ε h ( t ) يكافئ مجموعة الشروط $${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$$تُسمى المصطلحات Q _i بالقوى المعممة المرتبطة بالإزاحة الافتراضية δ r .

الاتزان السكوني هو حالة تكون فيها محصلة القوى وعزوم الدوران المؤثرة على النظام تساوي صفرًا. بعبارة أخرى، يكون كل من الزخم الخطي والزخم الزاوي للنظام محفوظين. ينص مبدأ الشغل الافتراضي على أن الشغل الافتراضي للقوى المؤثرة يساوي صفرًا لجميع الحركات الافتراضية للنظام من حالة الاتزان السكوني . يمكن تعميم هذا المبدأ ليشمل الدوران ثلاثي الأبعاد : الشغل الافتراضي للقوى والعزوم المؤثرة يساوي صفرًا لجميع الحركات الافتراضية للنظام من حالة الاتزان السكوني. $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\varphi } _{j}=0,}$$ حيث F _i ، i = 1، 2، ...، m و M _j ، j = 1، 2، ...، n هي القوى المطبقة والعزوم المطبقة، على التوالي، و δ r _i ، i = 1، 2، ...، m و δ φ _j ، j = 1، 2، ...، n هي الإزاحات الافتراضية والدورانات الافتراضية ، على التوالي.

لنفترض أن النظام يتكون من N جسيمًا، وله f ( حيث f ≤ 6N ) درجة حرية . يكفي استخدام f إحداثيات فقط لوصف حركة النظام وصفًا كاملًا، لذا تُعرَّف f إحداثيات معممة qk ، حيث _k = 1، 2، ...، f ، بحيث يمكن التعبير عن الحركات الافتراضية بدلالة هذه الإحداثيات المعممة . أي، $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;}$$$${\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}$$

يمكن بعد ذلك إعادة تحديد معلمات العمل الافتراضي بواسطة الإحداثيات المعممة : $${\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}$$ حيث تُعرَّف القوى المعممة Q _{k على النحو التالي}$${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$ يُبين كين ^{[ 5 ]} أن هذه القوى المعممة يمكن صياغتها أيضًا بدلالة نسبة المشتقات الزمنية. أي، $${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

ينص مبدأ الشغل الافتراضي على أن الشغل الافتراضي المبذول على نظام ما بواسطة القوى Fi _{والعزوم} Mj يساوي صفرًا إذا كان النظام في حالة اتزان . وبالتالي، _فإن القوى المعممة Qk _تساوي صفرًا، أي $${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

يُصوَّر الرافعة على أنها قضيب صلب متصل بإطار أرضي بواسطة مفصل محوري يُسمى نقطة الارتكاز. يتم تشغيل الرافعة بتطبيق قوة دخل F_{_A} عند النقطة A التي يُحددها متجه الإحداثيات r_{_A} على القضيب. ثم تُؤثر الرافعة بقوة خرج F_{_B} عند النقطة B التي يُحددها متجه الإحداثيات r_{_B} . تُحدد زاوية الدوران θ دوران الرافعة حول نقطة الارتكاز P.

ليكن متجه إحداثيات النقطة P التي تحدد نقطة الارتكاز هو rP ، ولنُعرّف الأطوال _.$${\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}$$ وهي المسافات من نقطة الارتكاز إلى نقطة الإدخال A وإلى نقطة الإخراج B ، على التوالي.

_{الآن ،} أدخل متجهي الوحدة eA و eB من نقطة الارتكاز إلى النقطتين A و B _، لذا $${\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.}$$ تسمح لنا هذه الصيغة بتعريف سرعة النقطتين A و B على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}$$ حيث أن e _A ^⊥ و e _B ^⊥ هما متجهان وحدة عموديان على e _A و e _B ، على التوالي.

الزاوية θ هي الإحداثية المعممة التي تحدد شكل الرافعة، وبالتالي باستخدام الصيغة أعلاه للقوى المطبقة على آلية ذات درجة حرية واحدة، تُعطى القوة المعممة بواسطة $${\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}$$

الآن، لنرمز بـ F_{_A} و F_{_B} إلى مركبتي القوتين العموديتين على القطعتين الشعاعيتين PA و PB . تُعطى هاتان القوتان بالعلاقة التالية: $${\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.}$$ تُؤدي هذه الرموز ومبدأ الشغل الافتراضي إلى صيغة القوة المعممة كما يلي: $${\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}$$

نسبة قوة الخرج F _B إلى قوة الدخل F _A هي الفائدة الميكانيكية للرافعة، ويتم الحصول عليها من مبدأ الشغل الافتراضي كما يلي: $${\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}$$

تُبيّن هذه المعادلة أنه إذا كانت المسافة (أ) من نقطة الارتكاز إلى النقطة (أ) حيث تُطبّق قوة الإدخال أكبر من المسافة (ب) من نقطة الارتكاز إلى النقطة (ب) حيث تُطبّق قوة الإخراج، فإن الرافعة تُضخّم قوة الإدخال. أما إذا كان العكس صحيحًا، أي أن المسافة من نقطة الارتكاز إلى نقطة الإدخال ( أ) أقل من المسافة من نقطة الارتكاز إلى نقطة الإخراج (ب) ، فإن الرافعة تُقلّل من مقدار قوة الإدخال.

هذا هو قانون الرافعة ، الذي أثبته أرخميدس باستخدام الاستدلال الهندسي. ^{[ 6 ]}

تتكون سلسلة التروس من تركيب التروس على إطار بحيث تتعشق أسنانها. صُممت أسنان التروس لضمان دوران دوائر الخطوة للتروس المتعشقة بسلاسة دون انزلاق، مما يوفر نقلًا سلسًا للدوران من ترس إلى آخر. في هذا التحليل، نعتبر سلسلة تروس ذات درجة حرية واحدة، أي أن الدوران الزاوي لجميع التروس في السلسلة يُحدد بزاوية الترس المُدخل.

يُحدد حجم التروس وتسلسل تعشيقها نسبة السرعة الزاوية ωA للترس الداخل إلى السرعة الزاوية ωB للترس _الخارج ، والمعروفة بنسبة السرعة أو نسبة التروس في سلسلة التروس. لنفترض أن _R هي نسبة السرعة، إذن $${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}$$

يتحول عزم الدوران المدخل TA المؤثر على الترس المدخل GA بواسطة مجموعة التروس إلى عزم الدوران المخرج _TB الذي يبذله الترس المخرج BB . بافتراض _{أن التروس صلبة ولا توجد خسائر في تعشيق} أسنانها، يمكن استخدام مبدأ الشغل الافتراضي لتحليل التوازن الساكن لمجموعة التروس.

إذا كانت الزاوية θ للترس المدخل هي الإحداثي العام لمجموعة التروس، فإن نسبة السرعة R لمجموعة التروس تحدد السرعة الزاوية للترس المخرج بدلالة الترس المدخل، أي $${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}$$

الصيغة المذكورة أعلاه لمبدأ الشغل الافتراضي مع العزوم المطبقة تعطي القوة المعممة $${\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}$$

تُعرَّف الميزة الميكانيكية لمجموعة التروس بأنها نسبة عزم الدوران الناتج T_{_B} إلى عزم الدوران الداخل T_{_A} ، وتعطي المعادلة أعلاه $${\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}$$

وبالتالي، تحدد نسبة سرعة مجموعة التروس ميزتها الميكانيكية. وهذا يعني أنه إذا كان ترس الإدخال يدور أسرع من ترس الإخراج، فإن مجموعة التروس تُضخّم عزم الدوران المُدخل. وإذا كان ترس الإدخال يدور أبطأ من ترس الإخراج، فإن مجموعة التروس تُقلل عزم الدوران المُدخل.

إذا تم استخدام مبدأ الشغل الافتراضي للقوى المطبقة على الجسيمات الفردية لجسم صلب ، فيمكن تعميم المبدأ على الجسم الصلب: عندما يتعرض جسم صلب في حالة توازن لإزاحات افتراضية متوافقة، فإن إجمالي الشغل الافتراضي لجميع القوى الخارجية يساوي صفرًا؛ وعلى العكس من ذلك، إذا كان إجمالي الشغل الافتراضي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على جسم صلب يساوي صفرًا، فإن الجسم يكون في حالة توازن .

إذا لم يكن النظام في حالة اتزان سكوني، فقد بيّن دالمبير أنه بإدخال حدود التسارع في قوانين نيوتن كقوى قصور ذاتي، يُمكن تعميم هذا النهج لتعريف الاتزان الديناميكي. والنتيجة هي صيغة دالمبير لمبدأ الشغل الافتراضي، والتي تُستخدم لاشتقاق معادلات الحركة لنظام ميكانيكي من الأجسام الصلبة.

يعني مصطلح "الإزاحات المتوافقة" أن الجسيمات تبقى متلامسة وتتحرك معًا بحيث يلغي الشغل المبذول بواسطة أزواج قوى الفعل ورد الفعل بين الجسيمات بعضها بعضًا. وقد نُسبت أشكال مختلفة من هذا المبدأ إلى يوهان (جان) برنولي (1667-1748) ودانيال برنولي (1700-1782).

لننظر الآن إلى مخطط الجسم الحر لجسم قابل للتشوه ، يتكون من عدد لا نهائي من المكعبات التفاضلية. لنُعرّف حالتين غير مرتبطتين لهذا الجسم:

• ال${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$- الحالة : يوضح هذا قوى السطح الخارجية T ، وقوى الجسم f ، والإجهادات الداخلية.${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$في حالة توازن.
• ال${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$- الحالة : يوضح هذا الإزاحات المستمرة${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$وسلالات متسقة${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$.

تشير العلامة * إلى أن الحالتين غير مرتبطتين. وبخلاف الشروط المذكورة أعلاه، لا داعي لتحديد ما إذا كانت أي من الحالتين حقيقية أم افتراضية.

تخيل الآن أن القوى والضغوط في${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$-تخضع الحالة للإزاحات والتشوهات في${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$-الحالة: يمكننا حساب إجمالي العمل الافتراضي (التخيلي) الذي تقوم به جميع القوى المؤثرة على أوجه جميع المكعبات بطريقتين مختلفتين:

• أولاً، عن طريق جمع العمل الذي تقوم به قوى مثل${\displaystyle F_{A}}$والتي تؤثر على الوجوه المشتركة الفردية (الشكل ج): بما أن المادة تتعرض لإزاحات متوافقة ، فإن هذا العمل يلغي نفسه، ولا يتبقى سوى العمل الافتراضي الذي تقوم به قوى السطح T (والتي تساوي الإجهادات على وجوه المكعبات، حسب التوازن).
• ثانيًا، عن طريق حساب صافي الشغل المبذول بواسطة الإجهادات أو القوى مثل${\displaystyle F_{A}}$،${\displaystyle F_{B}}$والتي تؤثر على مكعب فردي، على سبيل المثال في الحالة أحادية البعد في الشكل (ج):$${\displaystyle F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right)-F_{A}u^{*}\approx {\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}\sigma dV+u^{*}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}dV=\epsilon ^{*}\sigma dV-u^{*}fdV}$$حيث علاقة التوازن${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0}$تم استخدام هذه الطريقة وتم إهمال الحد من الدرجة الثانية.
  التكامل على كامل الجسم يعطي:$${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$$– الشغل المبذول بواسطة قوى الجسم f .

إن مساواة النتيجتين تؤدي إلى مبدأ الشغل الافتراضي للجسم القابل للتشوه:

$${\displaystyle {\text{Total external virtual work}}=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

د

حيث يتم إنجاز العمل الافتراضي الخارجي الكلي بواسطة T و f . وبالتالي،

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} ^{*T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\mathbf {u} ^{*T}\mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

هـ

يُطلق على الطرف الأيمن من المعادلة ( د ، هـ ) غالبًا اسم الشغل الافتراضي الداخلي. وينص مبدأ الشغل الافتراضي على أن الشغل الافتراضي الخارجي يساوي الشغل الافتراضي الداخلي عندما تخضع القوى والإجهادات المتوازنة لإزاحات وانفعالات غير مرتبطة ولكنها متسقة . ويشمل هذا المبدأ مبدأ الشغل الافتراضي للأجسام الصلبة كحالة خاصة يكون فيها الشغل الافتراضي الداخلي صفرًا.

مبدأ الإزاحات الافتراضية

بحسب الغرض، يمكننا تخصيص معادلة الشغل الافتراضي. على سبيل المثال، لاستنتاج مبدأ الإزاحات الافتراضية في تدوينات حساب التفاضل والتكامل للأجسام المدعومة، نحدد ما يلي:

• الإزاحات والانفعالات الافتراضية كتغيرات للإزاحات والانفعالات الحقيقية باستخدام الترميز التغيري مثل${\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}}$و${\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$
• تكون الإزاحات الافتراضية معدومة على جزء السطح الذي له إزاحات محددة، وبالتالي يكون الشغل المبذول بواسطة ردود الفعل معدومًا. ولا يتبقى سوى قوى السطح الخارجية على ذلك الجزء.${\displaystyle S_{t}}$هذا يعمل بالفعل.

تصبح معادلة الشغل الافتراضي حينها مبدأ الإزاحات الافتراضية:

$${\displaystyle \int _{S_{t}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV=\int _{V}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

و

تُكافئ هذه العلاقة مجموعة معادلات التوازن المكتوبة لعنصر تفاضلي في الجسم القابل للتشوه، بالإضافة إلى شروط حدود الإجهاد على الجزء.${\displaystyle S_{t}}$من السطح. وعلى العكس من ذلك، يمكن الوصول إلى ( f )، وإن كان ذلك بطريقة غير بديهية، من خلال البدء بمعادلات التوازن التفاضلية وشروط حدود الإجهاد على${\displaystyle S_{t}}$، والمضي قدماً بطريقة مماثلة لـ ( أ ) و ( ب ).

بما أن الإزاحات الافتراضية متوافقة تلقائيًا عند التعبير عنها بدلالة دوال متصلة أحادية القيمة ، فإننا غالبًا ما نكتفي بالإشارة إلى ضرورة التوافق بين الانفعالات والإزاحات. وينطبق مبدأ الشغل الافتراضي أيضًا على الإزاحات الحقيقية الكبيرة؛ إلا أنه في هذه الحالة، ستُكتب المعادلة ( f ) باستخدام مقاييس أكثر تعقيدًا للإجهادات والانفعالات.

مبدأ القوى الافتراضية

هنا، نحدد:

• القوى والإجهادات الافتراضية كاختلافات للقوى والإجهادات الحقيقية.
• يجب أن تكون القوى الافتراضية معدومة من جانب${\displaystyle S_{t}}$من السطح الذي يخضع لقوى محددة، وبالتالي قوى السطح (رد الفعل) فقط على${\displaystyle S_{u}}$(حيث يتم تحديد الإزاحات) سوف يقوم بالعمل.

تصبح معادلة الشغل الافتراضي مبدأ القوى الافتراضية:

$${\displaystyle \int _{S_{u}}\mathbf {u} ^{T}\delta \ \mathbf {T} dS+\int _{V}\mathbf {u} ^{T}\delta \ \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}\delta {\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

ز

تُعادل هذه العلاقة مجموعة معادلات توافق الإجهاد بالإضافة إلى شروط حدود الإزاحة على الجزء${\displaystyle S_{u}}$وله اسم آخر: مبدأ العمل الافتراضي التكميلي.

يُعدّ أسلوب القوة الوهمية الموحدة أحد تطبيقات مبدأ القوى الافتراضية ، وهو مفيد جدًا لحساب الإزاحات في الأنظمة الإنشائية. ووفقًا لمبدأ دالمبير ، فإنّ إضافة قوى القصور الذاتي كقوى جسمية إضافية تُعطي معادلة الشغل الافتراضي القابلة للتطبيق على الأنظمة الديناميكية. ويمكن اشتقاق مبادئ أكثر عمومية من خلال:

• مع السماح باختلافات في جميع الكميات.
• استخدام معاملات لاغرانج لفرض شروط الحدود و/أو لتخفيف الشروط المحددة في الحالتين.

وقد ورد وصف هذه الأمور في بعض المراجع.

من بين العديد من مبادئ الطاقة في الميكانيكا الإنشائية ، يستحق مبدأ العمل الافتراضي مكانة خاصة نظراً لعموميته التي تؤدي إلى تطبيقات قوية في التحليل الإنشائي ، وميكانيكا المواد الصلبة ، وطريقة العناصر المحدودة في الميكانيكا الإنشائية .

• أسلوب المرونة
• طريقة القوة الوهمية للوحدة
• طريقة العناصر المحدودة في الميكانيكا الإنشائية
• حساب التفاضل والتكامل
• ميكانيكا لاغرانج
• مبدأ مولر-بريسلاو
• مبدأ دالمبير

• أمثلة على تطبيقات مبدأ العمل الافتراضي. مؤرشف بتاريخ 1 ديسمبر 2022 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).

• باث، كيه جيه. "إجراءات العناصر المحدودة"، برنتيس هول، 1996. ISBN 0-13-301458-4
• شارلتون، مبادئ الطاقة في نظرية الهياكل ، مطبعة جامعة أكسفورد، 1973. ISBN 0-19-714102-1
• Dym, CL and IH Shames, Solid Mechanics: A Variational Approach , McGraw-Hill, 1973.
• غرينوود، دونالد ت. الديناميكا الكلاسيكية ، منشورات دوفر، 1977، رقم ISBN 0-486-69690-1
• هو، هـ. المبادئ التباينية لنظرية المرونة مع تطبيقاتها ، تايلور وفرانسيس، 1984. ISBN 0-677-31330-6
• Langhaar, HL Energy Methods in Applied Mechanics , Krieger, 1989.
• ريدي، جيه إن. مبادئ الطاقة وطرق حساب التفاضل والتكامل في الميكانيكا التطبيقية ، جون وايلي، 2002. ISBN 0-471-17985-X
• شيمز، آي إتش وديم، سي إل. الطاقة وطرق العناصر المحدودة في الميكانيكا الإنشائية ، تايلور وفرانسيس، 1995، رقم ISBN 0-89116-942-3
• تاوشيرت، تي آر. مبادئ الطاقة في الميكانيكا الإنشائية . ماكجرو هيل، 1974. رقم ISBN 0-07-062925-0
• واشيزو، ك. طرق حساب التفاضل والتكامل في المرونة واللدونة ، دار بيرغامون للنشر، 1982. ISBN 0-08-026723-8
• ونديرليش، دبليو. ميكانيكا الهياكل: الطرق التباينية والحسابية ، سي آر سي، 2002. رقم ISBN 0-8493-0700-7