معادلة والد

ليكن N عددًا قابلاً للتكامل،${\displaystyle \mathbb {N} }$_{متغير عشوائي ذو قيمة صفرية} ، وهو مستقل عن المتغير العشوائي Z القابل للتكامل وذو القيم الحقيقية، حيث E[ Z ] = 0. عرّف X _{_n} = (–1) ^ⁿ Z لكل n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$عندئذٍ، تتحقق الافتراضات ( 1 ) و( 5 ) و( 7 ) و( 8 ) مع C  := E[| Z |] ، وبالتالي تتحقق أيضًا ( 2 ) و( 6 )، وينطبق قانون والد. إذا لم يكن توزيع Z متماثلًا، فإن ( 9 ) لا يتحقق. لاحظ أنه عندما لا يكون Z مساويًا تقريبًا للصفر كمتغير عشوائي، فلا يمكن أن يتحقق ( 11 ) و( 12 ) معًا لأي ترشيح ( Fn _{) n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}، لأن Z لا يمكن أن يكون مستقلاً عن نفسه لأن E[ Z ² ] = (E[ Z ]) ² = 0 أمر مستحيل.

ليكن ( X _n ) _{n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}لتكن متتالية من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتماثلة والتي قيمها {–1، +1 }. لكل n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$ليكن F _{_n} الجبر سيجما المُوَلَّد بواسطة X _₁، ...، X_{_n} ، ولنُعرِّف N = n عندما يكون X _{_n} هو المتغير العشوائي الأول الذي يأخذ القيمة +1 . لاحظ أن P( N = n ) = 1/2 ⁿ ، وبالتالي E[ N ] < ∞ وفقًا لاختبار النسبة . تتحقق الافتراضات ( 1 ) و( 5 ) و( 9 )، وبالتالي ( 4 ) و( 8 ) مع C = 1 ، و ( 10 ) و( 11 ) و( 12 )، وبالتالي أيضًا ( 2 ) و( 6 )، وينطبق قانون والد. مع ذلك، لا يتحقق ( 7 )، لأن N مُعرَّف بدلالة المتتالية ( X _{_n} ) _{_n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}قد يتوقع المرء، بشكل بديهي، أن تكون قيمة E[ SN _] أكبر من الصفر في هذا المثال، لأن عملية الجمع تتوقف مباشرة بعد الواحد، مما يُوحي بوجود انحياز موجب. مع ذلك، تُظهر معادلة والد أن هذا التوقع مُضلل.

لنفترض متتالية ( X _n ) _{n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}لنفترض أن لدينا متغيرات عشوائية مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا ( iid )، تأخذ كل منها القيمتين  0 و  1 باحتمال 1/2 ( في الواقع، نحتاج فقط إلى X1 فيما يلي). لنُعرّف N = 1 – X1 . عندئذٍ، _يكون S_N مساويًا للصفر، وبالتالي E[S_N] = 0، ولكن E[X1] = 1/2 وE[N] = 1/2 _{، ولذلك} لا تتحقق معادلة والد . _في الواقع ، تتحقق الافتراضات ( 1 ) _و ( 3 ) و ( 4 ) و ( 5 ) ، ومع ذلك ، فإن المعادلة في الافتراض ( 2 ) صحيحة لجميع قيم n ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$باستثناء n = 1 .

على غرار المثال الثاني أعلاه، ليكن ( X _n ) _{n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}لتكن X سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتماثلة، حيث تأخذ X _{_n} كلًا من القيمتين 2^ⁿ و -2 ^ⁿ باحتمال 1/2 . ولتكن N أول n ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$بحيث يكون X_{_n} = 2^ⁿ . إذن، كما سبق، فإن N لها قيمة متوقعة محدودة، وبالتالي فإن الفرضية ( 5 ) صحيحة. بما أن E[ X_{_n} ] = 0 لجميع n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$تتحقق الفرضيتان ( 1 ) و( 4 ). ومع ذلك، بما أن S _N = 1 بشكل شبه مؤكد، فإن معادلة والد لا يمكن أن تكون صحيحة.

بما أن N هو وقت توقف بالنسبة للترشيح الناتج عن ( X _n ) _{n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$}، الفرضية ( 2 ) صحيحة، انظر أعلاه. لذلك، فإن الفرضية ( 3 ) فقط هي التي يمكن أن تفشل، وبالفعل، بما أن

${\displaystyle \{N\geq n\}=\{X_{i}=-2^{i}{\text{ for }}i=1,\ldots ,n-1\}}$

وبالتالي فإن P( N ≥ n ) = 1/2 ^{n – 1} لكل n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$وبناءً على ذلك

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\operatorname {E} \!{\bigl [}|X_{n}|1_ {\{N\geq n\}}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty}2^{n}\,\اسم المشغل {P} (N\geq n)=\sum _{n=1}^{\infty}2=\infty .}$

سنبين أولاً أن المجموع العشوائي S _N قابل للتكامل. عرّف المجاميع الجزئية

${\displaystyle S_{i}=\sum _{n=1}^{i}X_{n},\quad i\in {\mathbb {N} }_{0}.}$

14

بما أن N تأخذ قيمها في${\displaystyle \mathbb {N} }$_وبما أن S ₀ = 0 ، فإنه يترتب على ذلك أن

${\displaystyle |S_{N}|=\sum _{i=1}^{\infty }|S_{i}|\,1_{\{N=i\}}.}$

تنص نظرية التقارب الرتيب لليبيغ على أن

${\displaystyle \operatorname {E} [|S_{N}|]=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} [|S_{i}|\,1_{\{N=i\}}].}$

بحسب متباينة المثلث،

${\displaystyle |S_{i}|\leq \sum _{n=1}^{i}|X_{n}|,\quad i\in {\mathbb {N} }.}$

باستخدام هذا التقدير الأعلى وتغيير ترتيب الجمع (وهو أمر مسموح به لأن جميع الحدود غير سالبة)، نحصل على

${\displaystyle \operatorname {E} [|S_{N}|]\leq \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {E} [|X_{n}|\,1_{\{N=i\}}]=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} [|X_{n}|\,1_{\{N\geq n\}}],}$

15

حيث تُستنتج المتباينة الثانية باستخدام نظرية التقارب الرتيب. وبناءً على الفرضية ( 3 )، فإن المتتالية اللانهائية على الجانب الأيمن من ( 15 ) تتقارب، وبالتالي فإن S _N قابلة للتكامل.

سنبين الآن أن المجموع العشوائي T _N قابل للتكامل. عرّف المجاميع الجزئية

${\displaystyle T_{i}=\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E} [X_{n}],\quad i\in {\mathbb {N} }_{0},}$

16

من الأعداد الحقيقية. بما أن N تأخذ قيمها في${\displaystyle \mathbb {N} }$_وبما أن T ₀ = 0 ، فإنه يترتب على ذلك أن

${\displaystyle |T_{N}|=\sum _{i=1}^{\infty }|T_{i}|\,1_{\{N=i\}}.}$

كما في الخطوة 1، تنص نظرية التقارب الرتيب لليبيغ على أن

${\displaystyle \operatorname {E} [|T_{N}|]=\sum _{i=1}^{\infty }|T_{i}|\operatorname {P} (N=i).}$

بحسب متباينة المثلث،

${\displaystyle |T_{i}|\leq \sum _{n=1}^{i}{\bigl |}\!\operatorname {E} [X_{n}]{\bigr |},\quad i\in {\mathbb {N} }.}$

باستخدام هذا التقدير الأعلى وتغيير ترتيب الجمع (وهو أمر مسموح به لأن جميع الحدود غير سالبة)، نحصل على

${\displaystyle \operatorname {E} [|T_{N}|]\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}\!\operatorname {E} [X_{n}]{\bigr |}\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {P} (N=i)} _{=\,\operatorname {P} (N\geq n)},}$

17

بناءً على الافتراض ( 2 )،

${\displaystyle {\bigl |}\!\operatorname {E} [X_{n}]{\bigr |}\operatorname {P} (N\geq n)={\bigl |}\!\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}]{\bigr |}\leq \operatorname {E} [|X_{n}|1_{\{N\geq n\}}],\quad n\in {\mathbb {N} }.}$

وبتعويض هذا في ( 17 ) نحصل على

${\displaystyle \operatorname {E} [|T_{N}|]\leq \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} [|X_{n}|1_{\{N\geq n\}}],}$

وهو محدود بحسب الفرضية ( 3 )، وبالتالي فإن T _N قابل للتكامل.

لإثبات معادلة والد، نمر بشكل أساسي بنفس الخطوات مرة أخرى بدون القيمة المطلقة ، ونستفيد من قابلية التكامل للمجاميع العشوائية S _N و T _N من أجل إظهار أن لهما نفس القيمة المتوقعة.

باستخدام نظرية التقارب المسيطر مع المتغير العشوائي المسيطر | SN _| وتعريف المجموع الجزئي Si الوارد في ( 14 )، يترتب على ذلك ما _يلي :

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} [S_{i}1_{\{N=i\}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N=i\}}].}$

بسبب التقارب المطلق الذي تم إثباته في ( 15 ) أعلاه باستخدام الفرضية ( 3 )، يمكننا إعادة ترتيب المجموع والحصول على ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N=i\}}]=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}],}$

حيث استخدمنا الفرضية ( 1 ) ونظرية التقارب المسيطر مع المتغير العشوائي المسيطر _| Xn | للمساواة الثانية. وبسبب الفرضية ( 2 ) والجمعية-σ لمقياس الاحتمال،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}]&=\operatorname {E} [X_{n}]\operatorname {P} (N\geq n)\\&=\operatorname {E} [X_{n}]\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {P} (N=i)=\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {E} \!{\bigl [}\operatorname {E} [X_{n}]1_{\{N=i\}}{\bigr ]}.\end{aligned}}}$

وباستبدال هذه النتيجة في المعادلة السابقة، وإعادة ترتيب المجموع (وهو أمر مسموح به بسبب التقارب المطلق، انظر ( 15 ) أعلاه)، باستخدام خطية التوقع وتعريف المجموع الجزئي T _i للتوقعات الواردة في ( 16 )،

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E} \!{\bigl [}\operatorname {E} [X_{n}]1_{\{N=i\}}{\bigr ]}=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} [\underbrace {T_{i}1_{\{N=i\}}} _{=\,T_{N}1_{\{N=i\}}}].}$

باستخدام التقارب المسيطر مرة أخرى مع المتغير العشوائي المسيطر | T _N | ،

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\operatorname {E} \!{\biggl [}T_{N}\underbrace {\sum _{i=1}^{\infty }1_{\{N=i\}}} _{=\,1_{\{N\geq 1\}}}{\biggr ]}=\operatorname {E} [T_{N}].}$

إذا تحققت الفرضيتان ( 4 ) و( 5 )، فبسبب خطية التوقع،

${\displaystyle \operatorname {E} [T_{N}]=\operatorname {E} \!{\biggl [}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [X_{n}]{\biggr ]}=\operatorname {E} [X_{1}]\operatorname {E} \!{\biggl [}\underbrace {\sum _{n=1}^{N}1} _{=\,N}{\biggr ]}=\operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X_{1}].}$

وبهذا يكتمل البرهان.