نظرية التقارب الرتيب

(1 ⇒ 2) لنفترض${\displaystyle (a_{n})\to L\in \mathbb {R} }$بواسطة${\displaystyle \varepsilon }$- تعريف النهاية، يوجد${\displaystyle N}$بحيث${\displaystyle |a_{n}-L|<1}$للجميع${\displaystyle n\geq N}$، لذلك${\displaystyle |a_{n}|\leq |L|+1}$ل${\displaystyle n\geq N}$. يترك${\displaystyle M=\max\{\,|a_{1}|,\dots ,|a_{N-1}|,\,|L|+1\,\}}$. ثم${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$للجميع${\displaystyle n}$، لذا${\displaystyle (a_{n})}$محدود.

(2 ⇒ 1) لنفترض${\displaystyle (a_{n})}$محدود ورتيب.

• لو${\displaystyle (a_{n})}$دالة غير متناقصة ومحدودة من الأعلى، مجموعة${\displaystyle c=\sup _{n}a_{n}}$لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$، يوجد${\displaystyle N}$مع${\displaystyle c-\varepsilon <a_{N}\leq c}$؛ خلاف ذلك${\displaystyle c-\varepsilon }$سيكون الحد الأعلى أصغر من${\displaystyle c}$. ل${\displaystyle n\geq N}$، الرتابة تعطي${\displaystyle a_{N}\leq a_{n}\leq c}$، لذلك${\displaystyle 0\leq c-a_{n}\leq c-a_{N}<\varepsilon }$. هكذا${\displaystyle a_{n}\to c=\sup _{n}a_{n}}$.
• لو${\displaystyle (a_{n})}$إذا كانت الدالة غير متزايدة ومحدودة من الأسفل، فإما أن تكرر الحجة مع${\displaystyle c=\inf _{n}a_{n}}$أو تطبيق الحالة السابقة على${\displaystyle (-a_{n})}$للحصول على${\displaystyle a_{n}\to \inf _{n}a_{n}}$.

وهذا يثبت التكافؤ.

قد لا يصحّ الاستنتاج "محدود ورتيب ⇒ متقارب"${\displaystyle \mathbb {Q} }$لأن الحد الأعلى/الأدنى للمتتالية الكسرية ليس بالضرورة أن يكون كسريًا. على سبيل المثال،${\displaystyle a_{n}=\lfloor 10^{n}{\sqrt {2}}\rfloor /10^{n}}$دالة غير متناقصة ومحدودة من الأعلى بـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$، ولكن ليس لها حد في${\displaystyle \mathbb {Q} }$(حدودها الحقيقية هي)${\displaystyle {\sqrt {2}}}$).

منذ${\displaystyle a_{i,k}\leq \sup _{k}a_{i,k}}$لدينا${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$لذا${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$.

وعلى العكس من ذلك، يمكننا تبديل مفهومي sup و sum للمجاميع المنتهية بالرجوع إلى تعريف النهاية ، لذلك ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sup _{k}a_{i,k}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{N}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$لذلك${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$.

يترك${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$كن مساحة قياس و${\displaystyle X\in \Sigma }$. لو${\displaystyle \{f_{k}\}_{k\geq 1}}$هي سلسلة من الأعداد غير السالبة${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$- وظائف قابلة للقياس على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots \quad {\text{for all }}x\in X,}$ ثم القيمة العليا النقطية${\displaystyle f:=\sup _{k}f_{k}}$قابل للقياس و${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

يترك${\displaystyle f=\sup _{k}f_{k}}$قابلية القياس${\displaystyle f}$ويتبع ذلك لأن النهايات/القيم العليا النقطية للدوال القابلة للقياس قابلة للقياس.

الحد الأعلى. بسبب رتابة التكامل،${\displaystyle f_{k}\leq f}$يشير إلى${\displaystyle \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \;\leq \;\int _{X}f\,d\mu .}$

الحد الأدنى. حدد دالة بسيطة غير سالبة${\displaystyle s\leq f}$. تعيين${\displaystyle A_{k}=\{x\in X:\;s(x)\leq f_{k}(x)\}.}$ثم${\displaystyle A_{k}\uparrow X}$لأن${\displaystyle f_{k}\uparrow f\geq s}$بالنسبة لدالة المجموعة${\displaystyle \nu _{s}(A):=\int _{A}s\,d\mu ,}$لدينا${\displaystyle \nu _{s}}$هو مقياس (اكتب${\displaystyle s=\sum _{i}c_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}}$ولاحظ${\displaystyle \nu _{s}(A)=\sum _{i}c_{i}\,\mu (A\cap E_{i})}$وبالتالي، بالاستمرارية من الأسفل،${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{A_{k}}s\,d\mu .}$في كل${\displaystyle A_{k}}$لدينا${\displaystyle s\leq f_{k}}$، لذا${\displaystyle \int _{A_{k}}s\,d\mu \;\leq \;\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$وضع الحدود يعطي${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$وأخيرًا، خذ القيمة العليا على جميع القيم البسيطة${\displaystyle s\leq f}$(وهو ما يساوي${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$(بحسب تعريف تكامل لوبيغ) للحصول على${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \;\leq \;\liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

يؤدي الجمع بين الحدين إلى${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .\square }$

1. (النهائية.) قد تكون الكميات نهائية أو غير نهائية؛ يكون الجانب الأيسر نهائيًا إذا وفقط إذا كان الجانب الأيمن نهائيًا.
2. (النهايات النقطية والتكاملية). في ظل الفرضيات،
   • ${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k\to \infty }f_{k}(x)=\liminf _{k\to \infty }f_{k}(x)}$للجميع${\displaystyle x}$;
   • بسبب رتابة التكامل،${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$وبعبارة أخرى،${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}\lim _{k\to \infty }f_{k}\,d\mu ,}$مع العلم أن الحدود قد تكون${\displaystyle +\infty }$.
3. (نسخة شائعة في كل مكان تقريبًا.) إذا تحققت خاصية الرتابة${\displaystyle \mu }$-في كل مكان تقريبًا، فإن إعادة تعريف دالة النهاية بشكل تعسفي على مجموعة فارغة يحافظ على قابلية القياس ويترك جميع التكاملات دون تغيير. وبالتالي، تظل النظرية صحيحة.
4. (دور تأسيسي). يعتمد البرهان فقط على: (أ) رتابة التكامل للدوال القابلة للقياس غير السالبة؛ (ب) أن${\displaystyle A\mapsto \int _{A}s\,d\mu }$هو مقياس للبساطة${\displaystyle s}$و(ثالثًا) استمرارية القياسات من الأسفل. وبالتالي، يمكن استخدام اللمة لاستنتاج المزيد من الخصائص الأساسية (مثل الخطية) لتكامل لوبيغ.
5. (تخفيف فرضية الرتابة). في ظل فرضيات مماثلة، يمكن تخفيف فرضية الرتابة. ^{[ 5 ]} ليكن${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$كن مساحة قياس،${\displaystyle X\in \Sigma }$ودع${\displaystyle \{f_{k}\}_{k\geq 1}}$لتكن دوال قابلة للقياس غير سالبة على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle f_{k}(x)\to f(x)}$لـ ae${\displaystyle x}$و${\displaystyle f_{k}\leq f}$ae للجميع${\displaystyle k}$. ثم${\displaystyle f}$قابل للقياس، الحد${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$موجود، و${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\int _{X}f\,d\mu .}$

يمكن أيضًا الاستناد في البرهان إلى مبرهنة فاتو بدلًا من البرهان المباشر المذكور أعلاه، لأن مبرهنة فاتو قابلة للإثبات بشكل مستقل عن مبرهنة التقارب الرتيب. مع ذلك، تُعدّ مبرهنة التقارب الرتيب أبسط من مبرهنة فاتو في بعض النواحي. فهي تتبعها بسهولة، وبرهان مبرهنة فاتو مشابه، وربما أقل سلاسة من البرهان المذكور أعلاه.

كما في السابق، فإن قابلية القياس تنبع من حقيقة أن${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}=\lim _{k\to \infty }f_{k}=\liminf _{k\to \infty }f_{k}}$في كل مكان تقريبًا. ومن ثم، فإن تبادل النهايات والتكاملات هو نتيجة سهلة لفرضية فاتو. لدى المرء$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu }$$بحسب معضلة فاتو، ثم، بما أن ${\displaystyle \int f_{k}\,d\mu \leq \int f_{k+1}\,d\mu \leq \int fd\mu }$(الرتابة)، $${\displaystyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .}$$لذلك $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$$