تحويل ويغنر-ويل

يُعطى تحويل ويل (أو تكميم ويل) للدالة f بواسطة المؤثر التالي في فضاء هيلبرت ، ^{[ 5 ] [ 6 ]}

في جميع أنحاء هذا البحث، يمثل ħ ثابت بلانك المختزل .

من المفيد إجراء التكاملين p و q في الصيغة أعلاه أولاً، مما يؤدي إلى حساب تحويل فورييه العادي.${\displaystyle {\tilde {f}}}$من الدالة f ، مع ترك العامل${\displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$في هذه الحالة، يمكن كتابة تحويل ويل على النحو التالي ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db}$.

لذا يمكننا أن نفكر في خريطة فايل على النحو التالي: نأخذ تحويل فورييه العادي للدالة${\displaystyle f(p,q)}$ولكن عند تطبيق صيغة عكس فورييه، نستبدل المؤثرات الكمومية${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$بالنسبة للمتغيرات الكلاسيكية الأصلية p و q ، وبالتالي الحصول على "نسخة كمومية من f ".

أما الشكل التالي فهو أقل تناظراً، ولكنه مفيد للتطبيقات،

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dq\,dp\,d{\tilde {x}}\,d{\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.}$

ويمكن التعبير عن خريطة ويل أيضًا من حيث عناصر مصفوفة النواة التكاملية لهذا العامل، ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(xy)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

إن معكوس خريطة ويل المذكورة أعلاه هو خريطة ويغنر (أو تحويل ويغنر )، والتي قدمها يوجين ويغنر، ^{[ 9 ]} والتي تعيد المؤثر Φ إلى دالة النواة الأصلية في فضاء الطور f ،

على سبيل المثال، خريطة ويغنر لمؤثر التوزيع الحراري للمذبذب${\displaystyle \exp(-\beta (P^{2}+Q^{2})/2)}$ هو ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)(p^{2}+q^{2})/2\right).}$

إذا استبدل المرء${\displaystyle \Phi [f]}$في التعبير أعلاه مع أي مؤثر اختياري، قد تعتمد الدالة الناتجة f على ثابت بلانك المختزل ħ ، وقد تصف العمليات الكمومية بدقة، شريطة تركيبها بشكل صحيح من خلال الضرب النجمي الموضح أدناه. ^{[ 10 ]} بدورها، تُلخص خريطة فايل لخريطة ويغنر بواسطة صيغة غرونيفولد . ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).}$

على الرغم من أن الصيغ المذكورة أعلاه تُعطي فهمًا جيدًا لتكميم فايل لكمية قابلة للرصد عامة جدًا على فضاء الطور، إلا أنها ليست ملائمة جدًا للحساب على الكميات القابلة للرصد البسيطة، مثل تلك التي تكون متعددة الحدود في${\displaystyle q}$و${\displaystyle p}$في الأقسام اللاحقة، سنرى أن تكميم فايل على هذه كثيرات الحدود يمثل الترتيب المتناظر تمامًا للمؤثرات غير التبادلية${\displaystyle Q}$و${\displaystyle P}$على سبيل المثال، فإن خريطة ويغنر لمؤثر الزخم الزاوي الكمي المربع L ² ليست مجرد مربع الزخم الزاوي الكلاسيكي، ولكنها تحتوي أيضًا على حد إزاحة − 3 ħ ² /2 ، والذي يفسر الزخم الزاوي غير الصفري لمدار بور في الحالة الأرضية .

تأثير تكميم فايل على الدوال متعددة الحدود لـ${\displaystyle q}$و${\displaystyle p}$يتم تحديدها بالكامل بواسطة الصيغة المتناظرة التالية: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

لجميع الأعداد المركبة${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$انطلاقاً من هذه الصيغة، ليس من الصعب إثبات أن تكميم فايل على دالة من الشكل${\displaystyle q^{k}p^{l}}$يعطي متوسط ​​جميع الترتيبات الممكنة لـ${\displaystyle k}$عوامل${\displaystyle Q}$و${\displaystyle l}$عوامل${\displaystyle P}$:$${\displaystyle \prod _{j=1}^{N}\xi _{k_{j}}~~\longmapsto ~~{\frac {1}{N!}}\sum _{\sigma \in S_{N}}\prod _{j=1}^{N}\Xi _{k_{\sigma (j)}}}$$أين${\displaystyle \xi _{j}=q_{j},\xi _{n+j}=p_{j}}$، و${\displaystyle S_{N}}$هي مجموعة التباديل على N عنصرًا .

على سبيل المثال، لدينا

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

على الرغم من أن هذه النتيجة طبيعية من الناحية المفاهيمية، إلا أنها ليست ملائمة للحسابات عندما${\displaystyle k}$و${\displaystyle l}$كبيرة. في مثل هذه الحالات، يمكننا استخدام صيغة ماكوي ^{[ 12 ] بدلاً من ذلك.}

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

يُعطي هذا التعبير إجابة مختلفة ظاهريًا في حالة${\displaystyle p^{2}q^{2}}$انطلاقًا من التعبير المتناظر كليًا أعلاه. مع ذلك، لا يوجد تناقض، إذ تسمح علاقات التبادل الأساسية بأكثر من تعبير واحد لنفس المؤثر. (قد يجد القارئ أنه من المفيد استخدام علاقات التبادل لإعادة كتابة الصيغة المتناظرة كليًا في حالة${\displaystyle p^{2}q^{2}}$فيما يتعلق بالمشغلين${\displaystyle P^{2}Q^{2}}$،${\displaystyle QP^{2}Q}$، و${\displaystyle Q^{2}P^{2}}$وتحقق من صحة التعبير الأول في صيغة مكوي باستخدام${\displaystyle m=n=2}$.)

يُعتقد على نطاق واسع أن تكميم فايل، من بين جميع مخططات التكميم، هو الأقرب إلى تحويل قوس بواسون في الجانب الكلاسيكي إلى المبدل في الجانب الكمومي. (مع ذلك، فإن التطابق التام مستحيل، في ضوء نظرية غرونيفولد ). على سبيل المثال، أوضح مويال...

نظرية : إذا${\displaystyle f(q,p)}$هي كثيرة حدود من الدرجة الثانية على الأكثر و${\displaystyle g(q,p)}$إذا كانت دالة كثيرة الحدود اختيارية، فإننا نحصل على${\displaystyle \Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]}$.

• إذا كانت f دالة حقيقية القيمة ، فإن صورة خريطة ويل الخاصة بها Φ [ f ] تكون ذاتية الترافق .
• إذا كان f عنصرًا من فضاء شوارتز ، فإن Φ [ f ] هو فئة أثر .
• وبشكل أعم، فإن Φ [ f ] هو عامل غير محدود معرف بشكل كثيف .
• التطبيق Φ [ f ] هو تطبيق أحادي على فضاء شوارتز (كفضاء فرعي من الدوال القابلة للتكامل التربيعي).