توزيع ويغنر شبه الاحتمالي

يُعرف توزيع ويغنر شبه الاحتمالي ، أو دالة ويغنر ، أو توزيع ويغنر-فيل ، نسبةً إلى يوجين ويغنر وجان -أندريه فيل ، بأنه توزيع شبه احتمالي ، مشابه لتوزيع مارجينو-هيل شبه الاحتمالي وتوزيع كيركوود-ديراك شبه الاحتمالي. وقد قدّمه يوجين ويغنر عام 1932 ^{[ 1 ]} لدراسة التصحيحات الكمومية للميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية . وكان الهدف هو ربط الدالة الموجية التي تظهر في معادلة شرودنغر بتوزيع احتمالي في فضاء الطور .

هي دالة مولدة لجميع دوال الارتباط الذاتي المكاني لدالة موجية ميكانيكية كمومية معينة ψ ( x ) . وبالتالي، فهي تُسقط ^{[ 2 ]} على مصفوفة الكثافة الكمومية في التحويل بين دوال فضاء الطور الحقيقية والمؤثرات الهرميتية الذي قدمه هيرمان فايل عام 1927، ^{[ 3 ]} في سياق يتعلق بنظرية التمثيل في الرياضيات (انظر تكميم فايل ). في الواقع، هي تحويل ويغنر-فايل لمصفوفة الكثافة، وبالتالي فهي تجسيد ذلك المؤثر في فضاء الطور.

وله تطبيقات في الميكانيكا الإحصائية ، والكيمياء الكمية ، والبصريات الكمية ، والبصريات الكلاسيكية ، وتحليل الإشارات في مجالات متنوعة، مثل الهندسة الكهربائية ، وعلم الزلازل ، وتحليل التردد الزمني لإشارات الموسيقى ، والمخططات الطيفية في علم الأحياء ومعالجة الكلام، وتصميم المحركات .

للجسيم الكلاسيكي موقع وزخم محددين، ولذا يُمثَّل بنقطة في فضاء الطور. عند وجود مجموعة من الجسيمات، يُحدَّد احتمال وجود جسيم في موقع معين في فضاء الطور بتوزيع احتمالي، هو كثافة ليوفيل. هذا التفسير الدقيق لا ينطبق على الجسيمات الكمومية، بسبب مبدأ عدم اليقين . بدلاً من ذلك، يؤدي توزيع ويغنر شبه الاحتمالي المذكور أعلاه دورًا مشابهًا، ولكنه لا يُلبي جميع خصائص التوزيع الاحتمالي التقليدي؛ وعلى العكس، يُلبي خصائص التقييد غير المتوفرة في التوزيعات الكلاسيكية.

على سبيل المثال، يمكن لتوزيع ويغنر أن يأخذ قيمًا سالبة، بل ويأخذها عادةً، للحالات التي لا تمتلك نموذجًا كلاسيكيًا، وهو مؤشر ملائم للتداخل الكمومي. (انظر أدناه لوصف الحالات النقية التي تكون دوال ويغنر الخاصة بها غير سالبة). يؤدي تنعيم توزيع ويغنر من خلال مرشح بحجم أكبر من ħ (مثلًا، عن طريق الالتفاف مع دالة غاوسية في فضاء الطور، أو تحويل فايرشتراس ، للحصول على تمثيل هوسيمي ، الموضح أدناه)، إلى دالة شبه موجبة، أي أنه يمكن اعتبارها قد تم تنعيمها لتصبح دالة شبه كلاسيكية. ^{[ أ ]}

يمكن إثبات أن المناطق ذات هذه القيمة السالبة (عن طريق دمجها مع دالة غاوسية صغيرة) "صغيرة": فهي لا يمكن أن تمتد إلى مناطق مضغوطة أكبر من بضعة أضعاف ħ ، وبالتالي تختفي في الحد الكلاسيكي . وهي محمية بمبدأ عدم اليقين ، الذي لا يسمح بتحديد موقعها بدقة داخل مناطق فضاء الطور الأصغر من ħ ، مما يجعل هذه " الاحتمالات السالبة " أقل تناقضًا.

يُعرَّف توزيع ويغنر W ( x , p ) لحالة نقية على النحو التالي:

حيث ψ هي دالة الموجة، و x و p هما الموضع والزخم، ولكن يمكن أن يكونا أي زوج من المتغيرات المترافقة (مثل الأجزاء الحقيقية والخيالية للمجال الكهربائي أو التردد والزمن للإشارة). لاحظ أنه قد يكون لها دعم في x حتى في المناطق التي لا يكون لـ ψ فيها دعم في x ("النبضات").

إنها متناظرة في x و p : $${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (pq)e^{-2ixq/\hbar }\,dq,}$$ أين${\displaystyle \varphi }$هي دالة الموجة المعيارية في فضاء الزخم، وتتناسب مع تحويل فورييه لـ ψ .

بتقنية ثلاثية الأبعاد، $${\displaystyle W(\mathbf {r} ,\mathbf {p})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}{\!\left(\mathbf {r} +{\tfrac {\hbar }{2}}\mathbf {s} \right)}\psi {\left(\mathbf {r} -{\tfrac) {\hbar }{2}}\mathbf {s} \right)}e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {s} }\,d^{3}s.}$$

في الحالة العامة، والتي تشمل الحالات المختلطة، يكون تحويل ويغنر لمصفوفة الكثافة : $${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle xy|{\hat {\rho }}|x+y\rangle e^{2ipy/\hbar }\,dy,}$$ حيث ⟨ x | ψ ⟩ = ψ ( x ) . يُعد تحويل ويغنر هذا (أو الخريطة) معكوس تحويل فايل ، الذي يحوّل دوال فضاء الطور إلى مؤثرات فضاء هيلبرت ، في تكميم فايل . وبالتالي، تُعتبر دالة ويغنر حجر الزاوية في ميكانيكا الكم في فضاء الطور .

في التكميم الثاني، تكون عوامل فضاء الطور هي${\displaystyle x=(a+a^{\dagger })/{\sqrt {2}}}$و${\displaystyle p=-i(aa^{\dagger })/{\sqrt {2}}}$حيث تكون دالة ويغنر $${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\mathrm {Tr} [\rho D(\alpha )\Pi D^{\dagger }(\alpha )]}$$ لعامل التكافؤ${\displaystyle \Pi =e^{i\pi a^{\dagger }a}}$ومعامل الإزاحة${\displaystyle D(\alpha )=e^{\alpha a^{\dagger }-\alpha ^{*}a}}$مع${\displaystyle \alpha =(x+ip)/{\sqrt {2}}}$.

في عام 1949، أوضح خوسيه إنريكي مويال كيف توفر دالة ويغنر مقياس التكامل (المماثل لدالة كثافة الاحتمال ) في فضاء الطور، لإنتاج قيم متوقعة من دوال عدد c في فضاء الطور g ( x , p )  المرتبطة بشكل فريد بالمؤثرات المرتبة بشكل مناسب Ĝ من خلال تحويل ويل (انظر تحويل ويغنر-ويل والخاصية  7 أدناه)، بطريقة تذكرنا بنظرية الاحتمالات الكلاسيكية .

على وجه التحديد، فإن القيمة المتوقعة للمؤثر Ĝ هي "متوسط ​​فضاء الطور" لتحويل ويغنر لهذا المؤثر: $${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int dx\,dp\,W(x,p)g(x,p).}$$

1. W ( x , p ) هي دالة ذات قيم حقيقية.
2. يتم إعطاء التوزيعات الاحتمالية x و p بواسطة التوزيعات الهامشية :$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle .}$$إذا أمكن وصف النظام بحالة نقية ، فسيحصل المرء على${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=|\psi (x)|^{2}}$و${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=|\varphi (p)|^{2}.}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}).}$$عادةً ما يكون أثر مصفوفة الكثافة${\displaystyle {\hat {\rho }}}$يساوي 1.
3. يمتلك W ( x , p ) تناظرات الانعكاس التالية:
   • التناظر الزمني:${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x)^{*}\Rightarrow W(x,p)\to W(x,-p).}$
   • التناظر المكاني:${\displaystyle \psi (x)\to \psi (-x)\Rightarrow W(x,p)\to W(-x,-p).}$
4. W ( x , p ) متغيرة مع غاليلي :$${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x+y)\Rightarrow W(x,p)\to W(x+y,p).}$$إنها ليست متغيرة لورنتز .
5. تكون معادلة الحركة لكل نقطة في فضاء الطور كلاسيكية في حالة عدم وجود قوى:$${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial W(x,p)}{\partial x}}.}$$في الواقع، إنها كلاسيكية حتى في وجود القوى التوافقية.
6. يتم حساب تداخل الولايات على النحو التالي:$${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W_{\psi }(x,p)W_{\theta }(x,p).}$$
7. يتم حساب قيم التوقع للمشغل (المتوسطات) كمتوسطات فضاء الطور لتحويلات ويغنر المعنية:$${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\left\langle x-{\frac {y}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {y}{2}}\right\rangle e^{ipy/\hbar },}$$$${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)g(x,p).}$$
8. لكي يُمثل W ( x , p ) مصفوفات الكثافة الفيزيائية (الموجبة)، يجب أن يُحقق الشروط التالية$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)W_{\theta }(x,p)\geq 0}$$لجميع الحالات النقية | θ ⟩ .
9. بحكم متباينة كوشي-شفارتز ، بالنسبة لحالة نقية، فإنها مقيدة بأن تكون محدودة:$${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq W(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$$يختفي هذا الحد في الحالة الكلاسيكية، عندما يؤول ħ إلى الصفر. في هذه الحالة، يؤول W ( x , p ) إلى دالة كثافة الاحتمال في فضاء الإحداثيات x ، والتي عادةً ما تكون شديدة التمركز، مضروبةً بدوال دلتا في الزخم: وتكون الحالة الكلاسيكية "مُتقطّعة". وبالتالي، فإن هذا الحد الكمومي يمنع وجود دالة ويغنر التي تُمثّل دالة دلتا متمركزة تمامًا في فضاء الطور، كانعكاس لمبدأ عدم اليقين. ^{[ 4 ]} 
10. إن تحويل ويغنر هو ببساطة تحويل فورييه للعناصر المضادة للأقطار في مصفوفة الكثافة، عندما يتم التعبير عن تلك المصفوفة في أساس موضعي. ^{[ 5 ]}

يترك${\displaystyle |m\rangle \equiv {\frac {a^{\dagger m}}{\sqrt {m!}}}|0\rangle }$كن${\displaystyle m}$الحالة فوك رقم -th لمذبذب توافقي كمي . اكتشف غرونيفولد (1946) دالة ويغنر المرتبطة بها، في متغيرات لا بُعدية: $${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi }}e^{-(x^{2}+p^{2})}L_{m}{\big (}2(p^{2}+x^{2}){\big )},}$$ أين${\displaystyle L_{m}(x)}$يشير إلى${\displaystyle m}$متعددة حدود لاغير من الرتبة -th .

قد يستنتج هذا من صيغة دوال الموجة للحالة الذاتية الساكنة، $${\displaystyle u_{m}(x)=\pi ^{-1/4}H_{m}(x)e^{-x^{2}/2},}$$ أين${\displaystyle H_{m}}$هو${\displaystyle m}$متعددة حدود هيرميت من الرتبة n. من التعريف أعلاه لدالة ويغنر، عند تغيير متغيرات التكامل، $${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi ^{3/2}2^{m}m!}}e^{-x^{2}-p^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\zeta \,e^{-\zeta ^{2}}H_{m}(\zeta -ip+x)H_{m}(\zeta -ip-x).}$$ وينتج هذا التعبير من العلاقة التكاملية بين كثيرات حدود هيرميت ولاغير. ^{[ 6 ]}

تحويل ويغنر هو تحويل عام قابل للعكس لمؤثر Ĝ على فضاء هيلبرت إلى دالة g ( x , p ) على فضاء الطور ، ويُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds\,e^{ips/\hbar }\left\langle x-{\tfrac {s}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\tfrac {s}{2}}\right\rangle .}$$

تُحوّل المؤثرات الهرميتية إلى دوال حقيقية. ويُطلق على معكوس هذا التحويل، من فضاء الطور إلى فضاء هيلبرت، اسم تحويل فايل . $${\displaystyle \langle x|{\hat {G}}|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dp}{h}}e^{ip(x-y)/\hbar }g{\left({\frac {x+y}{2}},p\right)}}$$ (لا ينبغي الخلط بينها وبين تحويل ويل المتميز في الهندسة التفاضلية ).

يتضح من ذلك أن دالة ويغنر W ( x , p ) التي نناقشها هنا هي تحويل ويغنر لمؤثر مصفوفة الكثافة ρ̂ . وبالتالي، فإن أثر مؤثر ذي تحويل ويغنر لمصفوفة الكثافة يتحول إلى تداخل تكاملي مكافئ في فضاء الطور للدالة g ( x , p )  مع دالة ويغنر.

إن تحويل ويغنر لمعادلة فون نيومان التطورية لمصفوفة الكثافة في صورة شرودنغر هو معادلة مويال التطورية لدالة ويغنر:

حيث H ( x , p ) هي دالة هاميلتون، و {{⋅,  ⋅}} هي قوس مويال . في الحد الكلاسيكي، عندما ħ → 0 ، يختزل قوس مويال إلى قوس بواسون ، بينما تختزل معادلة التطور هذه إلى معادلة ليوفيل في الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية.

بصورة رسمية، يمكن حل معادلة ليوفيل الكلاسيكية بدلالة مسارات الجسيمات في فضاء الطور، والتي تمثل حلولاً لمعادلات هاميلتون الكلاسيكية. تُعرف هذه التقنية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية باسم طريقة الخصائص . تنتقل هذه الطريقة إلى الأنظمة الكمومية، حيث تحدد "مسارات" الخصائص تطور دوال ويغنر. يُعبَّر عن حل معادلة مويال التطورية لدالة ويغنر بصورة رسمية كما يلي: $${\displaystyle W(x,p,t)=W{\big (}\star {\big (}x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p){\big )},0{\big )},}$$ أين${\displaystyle x_{t}(x,p)}$و${\displaystyle p_{t}(x,p)}$تمثل هذه المسارات المميزة الخاضعة لمعادلات هاميلتون الكمومية مع الشروط الابتدائية${\displaystyle x_{t=0}(x,p)=x}$و${\displaystyle p_{t=0}(x,p)=p}$وحيث${\displaystyle \star }$يُفهم تركيب المنتج لجميع دوال الوسائط.

منذ${\displaystyle \star }$[ب] تركيب الدوال غير محلي تمامًا (ينتشر "سائل الاحتمالية الكمومية"، كما لاحظ مويال)، بالكاد يمكن تمييز آثار المسارات المحلية في الأنظمة الكمومية في تطور دالة توزيع ويغنر. ^{[ ب ]} في التمثيل التكاملي لـ${\displaystyle \star }$تم تكييف عمليات الضرب المتتالية مع تكامل المسار في فضاء الطور لحل معادلة تطور دالة ويغنر ^{[ 7 ]} (انظر أيضًا ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} ). تُوضَّح هذه الخاصية غير المحلية لتطور مويال الزمني ^{[ 11 ]} في المعرض أدناه، وذلك بالنسبة لهاملتونيان أكثر تعقيدًا من المذبذب التوافقي. في الحد الكلاسيكي، يصبح مسار تطور دوال ويغنر الزمني أكثر وضوحًا. عند ħ  =  0، تختزل مسارات الخصائص إلى المسارات الكلاسيكية للجسيمات في فضاء الطور.

تتيح دالة ويغنر دراسة الحد الكلاسيكي ، مما يوفر مقارنة بين الديناميكيات الكلاسيكية والكمية في فضاء الطور. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

لقد تم اقتراح أن نهج دالة ويغنر يمكن اعتباره تشابهاً كمياً مع الصياغة التشغيلية للميكانيكا الكلاسيكية التي قدمها برنارد كوبمان وجون فون نيومان في عام 1932 : يتقارب التطور الزمني لدالة ويغنر، في حالة ħ  →  0، مع التطور الزمني لدالة الموجة كوبمان-فون نيومان لجسيم كلاسيكي. ^{[ 14 ]}

تُنتج عزوم دالة ويغنر متوسطات مؤثرات متناظرة، على عكس الترتيب الطبيعي والترتيب المضاد للطبيعي الناتجين عن تمثيل غلاوبر-سودارشان P وتمثيل هوسيمي Q على التوالي. ولذلك، يُعد تمثيل ويغنر مناسبًا جدًا لإجراء تقريبات شبه كلاسيكية في البصريات الكمومية ^{[ 15 ]} ونظرية المجال لمكثفات بوز-أينشتاين حيث يقترب شغل النمط العالي من حد شبه كلاسيكي. ^{[ 16 ]}

كما ذُكر سابقًا، تأخذ دالة ويغنر للحالة الكمومية عادةً بعض القيم السالبة. في الواقع، بالنسبة لحالة نقية في متغير واحد، إذا${\displaystyle W(x,p)\geq 0}$للجميع${\displaystyle x}$و${\displaystyle p}$إذاً، يجب أن يكون للدالة الموجية الشكل التالي: $${\displaystyle \psi (x)=e^{-ax^{2}+bx+c}}$$ بالنسبة لبعض الأعداد المركبة${\displaystyle a,b,c}$مع${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0}$(نظرية هدسون ^{[ 17 ]} ). لاحظ أن${\displaystyle a}$يُسمح بأن تكون دالة ويغنر مركبة. بعبارة أخرى، هي حزمة موجية غاوسية أحادية البعد . وبالتالي، فإن الحالات النقية ذات دوال ويغنر غير السالبة ليست بالضرورة حالات ذات حد أدنى من عدم اليقين وفقًا لصيغة هايزنبرغ لعدم اليقين ؛ بل إنها تُعطي المساواة في صيغة شرودنغر لعدم اليقين ، والتي تتضمن حدًا مضادًا للتبديل بالإضافة إلى حد التبديل. (مع تعريف دقيق للتباينات المعنية، تؤدي جميع دوال ويغنر للحالات النقية إلى متباينة هايزنبرغ على حد سواء).

في الأبعاد الأعلى، يكون توصيف الحالات النقية ذات دوال ويغنر غير السالبة مماثلاً؛ يجب أن يكون للدالة الموجية الشكل التالي: $${\displaystyle \psi (x)=e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},}$$ أين${\displaystyle A}$هي مصفوفة مركبة متناظرة يكون جزءها الحقيقي موجباً تماماً،${\displaystyle b}$هو متجه مركب، و c عدد مركب. ^{[ 18 ]} دالة ويغنر لأي حالة من هذا القبيل هي توزيع غاوسي على فضاء الطور.

قدّم فرانسيسكو سوتو وبيير كلافيري ^{[ 18 ]} برهانًا أنيقًا لهذه الخاصية، باستخدام تحويل سيغال-بارغمان . ويتلخص المنطق فيما يلي: دالة هوسيمي Q لـ${\displaystyle \psi }$يمكن حسابها على أنها مربع مقدار تحويل سيغال-بارغمان لـ${\displaystyle \psi }$، مضروبة في دالة غاوسية. في الوقت نفسه، دالة هوسيمي Q هي التفاف دالة ويغنر مع دالة غاوسية. إذا كانت دالة ويغنر لـ${\displaystyle \psi }$إذا كانت دالة Q غير سالبة في كل مكان على فضاء الطور، فإن دالة هوسيمي Q ستكون موجبة تمامًا في كل مكان على فضاء الطور. وبالتالي، فإن تحويل سيغال-بارغمان${\displaystyle F(x+ip)}$ل${\displaystyle \psi }$لن يكون الصفر في أي مكان. وبالتالي، وفقًا لنتيجة قياسية من التحليل المركب، لدينا $${\displaystyle F(x+ip)=e^{g(x+ip)}}$$ لبعض الدوال التحليلية${\displaystyle g}$لكن لكي${\displaystyle F}$أن ينتمي إلى فضاء سيغال-بارغمان - أي لـ${\displaystyle F}$أن تكون قابلة للتكامل التربيعي بالنسبة إلى مقياس غاوسي.${\displaystyle g}$يجب أن يكون نموها عند اللانهاية تربيعيًا على الأكثر. ومن هذا، يمكن استخدام التحليل العقدي الأولي لإثبات أن${\displaystyle g}$يجب أن تكون في الواقع متعددة حدود من الدرجة الثانية. وبذلك، نحصل على صيغة صريحة لتحويل سيغال-بارغمان لأي حالة نقية تكون دالة ويغنر الخاصة بها غير سالبة. يمكننا بعد ذلك عكس تحويل سيغال-بارغمان للحصول على الصيغة المطلوبة لدالة الموجة الموضعية.

لا يبدو أن هناك أي توصيف بسيط للحالات المختلطة ذات دوال ويغنر غير السالبة.

لقد ثبت أن دالة توزيع شبه الاحتمال لويغنر يمكن اعتبارها تشويهاً من نوع ħ لدالة توزيع أخرى في فضاء الطور تصف مجموعة من مسارات دي برولي-بوم السببية. ^{[ 19 ]} وقد بيّن باسل هايلي أن توزيع شبه الاحتمال يمكن فهمه على أنه مصفوفة الكثافة المعاد صياغتها بدلالة متوسط ​​الموضع والزخم لـ "خلية" في فضاء الطور، وأن تفسير دي برولي-بوم يسمح بوصف ديناميكيات مراكز هذه "الخلايا". ^{[ 20 ] [ 21 ]}  

هناك ارتباط وثيق بين وصف الحالات الكمومية من حيث دالة ويغنر وطريقة إعادة بناء الحالات الكمومية من حيث القواعد غير المتحيزة المتبادلة . ^{[ 22 ]}

• في نمذجة الأنظمة البصرية كالتلسكوبات وأجهزة الاتصالات الليفية، تُستخدم دالة ويغنر لسد الفجوة بين تتبع الأشعة البسيط والتحليل الموجي الكامل للنظام. هنا، يُستبدل p / ħ بـ k = | k |  sin θ ≈ | k | θ  في تقريب الزاوية الصغيرة (المحورية). في هذا السياق، تُعد دالة ويغنر أقرب ما يمكن لوصف النظام بدلالة الأشعة عند الموضع x والزاوية θ مع تضمين تأثيرات التداخل. ^{[ 23 ]} إذا أصبحت سالبة عند أي نقطة، فلن يكفي تتبع الأشعة البسيط لنمذجة النظام. أي أن القيم السالبة لهذه الدالة هي مؤشر على حد غابور لإشارة الضوء الكلاسيكية، وليست دلالة على خصائص كمومية للضوء مرتبطة بـ ħ .
• في تحليل الإشارات ، تُمثَّل الإشارة الكهربائية المتغيرة مع الزمن، أو الاهتزاز الميكانيكي، أو الموجة الصوتية بدالة ويغنر . هنا، يُستبدل x بالزمن، ويُستبدل p / ħ بالتردد الزاوي ω = 2π f ، حيث f هو التردد العادي.
• في مجال البصريات فائقة السرعة ، تُوصَف نبضات الليزر القصيرة باستخدام دالة ويغنر، وذلك بتطبيق نفس استبدالات التردد والزمن المذكورة سابقًا. ويمكن تصوير عيوب النبضات، مثل التشويه الترددي (تغير التردد مع الزمن)، باستخدام دالة ويغنر. انظر الشكل المجاور .
• في البصريات الكمومية، يتم استبدال x و p / ħ بالمربعات X و P ، المكونات الحقيقية والخيالية للمجال الكهربائي (انظر الحالة المتماسكة ).

• التصوير المقطعي الكمي
• البوابات البصرية المعتمدة على التردد

كان توزيع ويغنر أول توزيع شبه احتمالي يُصاغ، لكن تلاه العديد من التوزيعات الأخرى المكافئة له شكليًا والقابلة للتحويل منه وإليه (انظر التحويل بين التوزيعات في تحليل الزمن والتردد ). وكما هو الحال في أنظمة الإحداثيات، ونظرًا لاختلاف خصائصها، تتمتع العديد من هذه التوزيعات بمزايا متنوعة لتطبيقات محددة.

• تمثيل جلاوبر P
• تمثيل حسيني كيو

ومع ذلك، من بعض النواحي، يحتل توزيع ويغنر مكانة مميزة بين جميع هذه التوزيعات، لأنه التوزيع الوحيد الذي يختفي فيه حاصل الضرب النجمي المطلوب (يتكامل بالأجزاء إلى الوحدة الفعالة) في تقييم القيم المتوقعة، كما هو موضح أعلاه، وبالتالي يمكن تصوره كمقياس شبه احتمالي مماثل للمقاييس الكلاسيكية.

تم اشتقاق دالة ويغنر بشكل مستقل عدة مرات في سياقات مختلفة. وقد قدمها يوجين ويغنر في عام 1932. ^{[ 1 ]} لم يكن يوجين ويغنر على دراية بأنه حتى في سياق نظرية الكم، فقد تم تقديمها قبل ذلك ببضع سنوات من قبل فيرنر هايزنبرغ وبول ديراك ، ^{[ 24 ] [ 25 ]} وإن كان ذلك بشكل شكلي بحت: فقد أغفل هذان العالمان أهميتها، وأهمية قيمها السالبة، لأنهما اعتبراها مجرد تقريب للوصف الكمي الكامل لنظام مثل الذرة.

وقد أعيد اشتقاقها لاحقًا بواسطة جان فيل في عام 1948 كتمثيل تربيعي (في الإشارة) لطاقة التردد الزمني المحلي للإشارة ، ^{[ 26 ]} وهو في الواقع مخطط طيفي .

في عام 1949، أدرك خوسيه إنريكي مويال ، الذي اشتقها بشكل مستقل، أنها الدالة المولدة للعزم الكمي ، ^{[ 27 ]} وبالتالي كأساس لترميز أنيق لجميع القيم المتوقعة الكمومية، وبالتالي ميكانيكا الكم، في فضاء الطور (انظر صياغة فضاء الطور ).

في معظم مراسلاته مع مويال في منتصف الأربعينيات، لم يكن ديراك على دراية بأن دالة توليد العزم الكمومي لمويال كانت في الواقع دالة ويغنر، وكان مويال هو من لفت انتباهه إليها في النهاية. ^{[ 28 ]}

• م. ليفاندا وف. فلوروف، "دالة توزيع ويغنر شبهية للجسيمات المشحونة في المجالات الكهرومغناطيسية الكلاسيكية"، حوليات الفيزياء ، 292 ، 199-231 (2001). arXiv : cond-mat/0105137 .

• تم أرشفة وظيفة Wigner في QuTiP بتاريخ 21-08-2017 على موقع Wayback Machine .
• معرض البصريات الكمومية .
• برنامج Sonogram Visible Speech هو برنامج مجاني مرخص بموجب رخصة GPL لتوزيع ويغنر شبه الاحتمالي لملفات الإشارة.