تحول التبييض

التحويل التبييضي أو التحويل الكروي هو تحويل خطي يحول متجهًا من المتغيرات العشوائية ذات مصفوفة تباين معروفة إلى مجموعة من المتغيرات الجديدة التي يكون تباينها هو مصفوفة الوحدة ، مما يعني أنها غير مرتبطة ولكل منها تباين يساوي 1. ^{[ 1 ]} يُطلق على هذا التحويل اسم "التبييض" لأنه يحول متجه الإدخال إلى متجه ضوضاء بيضاء .

هناك العديد من التحولات الأخرى المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالتبييض:

1. لا يزيل تحويل إزالة الارتباط سوى الارتباطات ولكنه يترك التباينات سليمة.
2. يقوم تحويل التقييس بضبط التباينات على 1 ولكنه يترك الارتباطات سليمة.
3. تحويل التلوين يحول متجهًا من المتغيرات العشوائية البيضاء إلى متجه عشوائي ذي مصفوفة تباين محددة. ^{[ 2 ]}

يفترض${\displaystyle X}$هو متجه عشوائي (عمودي) ذو مصفوفة تباين غير منفردة${\displaystyle \Sigma }$ويعني${\displaystyle 0}$ثم التحول${\displaystyle Y=WX}$مع مصفوفة تبييض${\displaystyle W}$استيفاء الشرط${\displaystyle W^{\mathrm {T} }W=\Sigma ^{-1}}$ينتج عنه متجه عشوائي مبيض${\displaystyle Y}$مع تباين قطري يساوي الوحدة.

لو${\displaystyle X}$له متوسط ​​غير صفري${\displaystyle \mu }$ثم يمكن إجراء عملية التبييض بواسطة${\displaystyle Y=W(X-\mu )}$.

توجد عدد لا نهائي من مصفوفات التبييض الممكنة${\displaystyle W}$أن جميعها تستوفي الشرط المذكور أعلاه. الخيارات الشائعة الاستخدام هي${\displaystyle W=\سيجما ^{-1/2}}$(تبييض ماهالانوبيس أو ZCA)،${\displaystyle W=L^{T}}$أين${\displaystyle L}$هو تحليل تشوليسكي لـ${\displaystyle \Sigma ^{-1}}$(تبييض تشوليسكي)، ^{[ 3 ]} أو نظام القيم الذاتية لـ${\displaystyle \Sigma }$(تبييض الأسنان بتقنية PCA). ^{[ 4 ]}

يمكن تحديد تحويلات التبييض المثلى من خلال دراسة التغاير المشترك والارتباط المتبادل لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$^{[ 3 ]} على سبيل المثال ، التحويل الأمثل الفريد للتبييض الذي يحقق أقصى ارتباط بين المكونات الأصلية${\displaystyle X}$وبيضاء${\displaystyle Y}$يتم إنتاجه بواسطة مصفوفة التبييض${\displaystyle W=P^{-1/2}V^{-1/2}}$ أين${\displaystyle P}$هي مصفوفة الارتباط و${\displaystyle V}$مصفوفة التباين القطرية.

تبييض مصفوفة البيانات يتبع نفس التحويل المتبع مع المتغيرات العشوائية. يتم الحصول على تحويل التبييض التجريبي من خلال تقدير التباين (على سبيل المثال، باستخدام أقصى احتمال ) ثم إنشاء مصفوفة تبييض مُقدَّرة مقابلة (على سبيل المثال، باستخدام تحليل تشوليسكي ).

تُعد هذه الطريقة تعميمًا لإجراء التبييض المسبق الممتد إلى مساحات أكثر عمومية حيث${\displaystyle X}$يُفترض عادةً أن تكون دالة عشوائية أو كائنات عشوائية أخرى في فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$إحدى المشكلات الرئيسية لتوسيع نطاق التبييض إلى أبعاد لا نهائية هي أن عامل التغاير له معكوس غير محدود في${\displaystyle H}$لذا، لا يمكن تحقيق سوى توحيد جزئي في الأبعاد اللانهائية. ويمكن تعريف عامل التبييض من خلال تحليل عامل التغاير المتدهور. ويمكن استغلال خصائص البيانات عالية الأبعاد من خلال نماذج الانحدار النواة أو أنظمة الدوال الأساسية. ^{[ 5 ]}

تتوفر في حزمة "whitening" في لغة R ^{[ 6 ]} المنشورة على CRAN ، تطبيقاتٌ لعدة إجراءات تبييض ، بما في ذلك تبييض ZCA وتبييض PCA، بالإضافة إلى تبييض CCA . وتتيح حزمة "pfica" في لغة R ^{[ 7 ]} حساب تمثيلات التبييض عالية الأبعاد باستخدام أنظمة الدوال الأساسية ( مثل دوال B-splines وأساس فورييه ).

• التدهور
• تحليل المكونات الرئيسية
• المربعات الصغرى الموزونة
• الارتباط الكنسي
• مسافة ماهالانوبيس (هي المسافة الإقليدية بعد تحويل W).

• https://courses.media.mit.edu/2010fall/mas622j/whiten.pdf
• تحويل التبييض ZCA . الملحق أ من كتاب تعلم طبقات متعددة من الميزات من الصور الصغيرة بقلم أ. كريزيفسكي.