عدم الترابط (نظرية الاحتمالات)

متغيران عشوائيان${\displaystyle X,Y}$تُسمى العلاقات غير مترابطة إذا كان تباينها${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])]}$يساوي صفرًا. ^{[ 1 ] : ص 153 [ 2 ] : ص 121} رسميًا:

متغيران عشوائيان معقدان${\displaystyle Z,W}$تُسمى العلاقات غير مترابطة إذا كان تباينها${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}]}$وتغايرهما الزائف${\displaystyle \operatorname {J} _{ZW}=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])(W-\operatorname {E} [W])]}$يساوي صفرًا، أي

${\displaystyle Z,W{\text{ غير مترابطين}}\quad \iff \quad \operatorname {E} [Z{\overline {W}}]=\operatorname {E} [Z]\cdot \operatorname {E} [{\overline {W}}]{\text{ و }}\operatorname {E} [ZW]=\operatorname {E} [Z]\cdot \operatorname {E} [W]}$

مجموعة من متغيرين عشوائيين أو أكثر${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$يُطلق عليها اسم غير مترابطة إذا كان كل زوج منها غير مترابط. وهذا يُعادل شرط أن تكون العناصر غير القطرية لمصفوفة التغاير الذاتي${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$من المتجه العشوائي${\displaystyle \mathbf {X} =[X_{1}\ldots X_{n}]^{\mathrm {T} }}$جميعها أصفار. تُعرَّف مصفوفة التغاير الذاتي على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]))^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$

• يترك${\displaystyle X}$ليكن متغيرًا عشوائيًا يأخذ القيمة 0 باحتمالية 1/2، ويأخذ القيمة 1 باحتمالية 1/2.
• يترك${\displaystyle Y}$ليكن متغيرًا عشوائيًا، مستقلًا عن${\displaystyle X}$، التي تأخذ القيمة -1 باحتمالية 1/2، وتأخذ القيمة 1 باحتمالية 1/2.
• يترك${\displaystyle U}$ليكن متغيرًا عشوائيًا تم إنشاؤه على النحو التالي${\displaystyle U=XY}$.

الادعاء هو أن${\displaystyle U}$و${\displaystyle X}$لها تباين مشترك صفري (وبالتالي فهي غير مرتبطة)، لكنها ليست مستقلة.

دليل:

مع الأخذ في الاعتبار أن

${\displaystyle \operatorname {E} [U]=\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [X]\cdot 0=0,}$

حيث تتحقق المساواة الثانية لأن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مستقلين، يحصل المرء

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} [U,X]&=\operatorname {E} [(U-\operatorname {E} [U])(X-\operatorname {E} [X])]=\operatorname {E} [U(X-{\tfrac {1}{2}})]\\&=\operatorname {E} [X^{2}Y-{\tfrac {1}{2}}XY]=\operatorname {E} [(X^{2}-{\tfrac {1}{2}}X)Y]=\operatorname {E} [(X^{2}-{\tfrac {1}{2}}X)]\operatorname {E} [Y]=0\end{aligned}}}$

لذلك،${\displaystyle U}$و${\displaystyle X}$غير مترابطة.

استقلال${\displaystyle U}$و${\displaystyle X}$هذا يعني أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$،${\displaystyle \Pr(U=a\mid X=b)=\Pr(U=a)}$وهذا غير صحيح، على وجه الخصوص، بالنسبة لـ${\displaystyle a=1}$و${\displaystyle b=0}$.

• ${\displaystyle \Pr(U=1\mid X=0)=\Pr(XY=1\mid X=0)=0}$
• ${\displaystyle \Pr(U=1)=\Pr(XY=1)=1/4}$

هكذا${\displaystyle \Pr(U=1\mid X=0)\neq \Pr(U=1)}$لذا${\displaystyle U}$و${\displaystyle X}$ليست مستقلة.

QED

لو${\displaystyle X}$متغير عشوائي مستمر موزع بشكل منتظم على${\displaystyle [-1,1]}$و${\displaystyle Y=X^{2}}$، ثم${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لا توجد علاقة بينهما على الرغم من${\displaystyle X}$يحدد${\displaystyle Y}$وقيمة معينة لـ${\displaystyle Y}$يمكن إنتاجها بقيمة واحدة أو قيمتين فقط من${\displaystyle X}$ :

${\displaystyle f_{X}(t)={1 \over 2}I_{[-1,1]};f_{Y}(t)={1 \over {2{\sqrt {t}}}}I_{]0,1]}}$

على الجانب الآخر،${\displaystyle f_{X,Y}}$يساوي صفرًا على المثلث المحدد بواسطة${\displaystyle 0<X<Y<1}$بالرغم من${\displaystyle f_{X}\times f_{Y}}$ليس فارغًا في هذا النطاق. لذلك،${\displaystyle f_{X,Y}(X,Y)\neq f_{X}(X)\times f_{Y}(Y)}$والمتغيرات ليست مستقلة.

${\displaystyle E[X]={{1-1} \over 4}=0;E[Y]={{1^{3}-(-1)^{3}} \over {3\times 2}}={1 \over 3}}$

${\displaystyle Cov[X,Y]=E\left[(X-E[X])(Y-E[Y])\right]=E\left[X^{3}-{X \over 3}\right]={{1^{4}-(-1)^{4}} \over {4\times 2}}=0}$

لذلك فإن المتغيرات غير مترابطة.

متجهان عشوائيان${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{T}}$و${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{T}}$تُسمى غير مترابطة إذا

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$.

تكون هذه العناصر غير مترابطة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة التغاير المتقاطع الخاصة بها${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$يساوي صفرًا. ^{[ 5 ] : ص 337}

متجهان عشوائيان معقدان${\displaystyle \mathbf {Z} }$و${\displaystyle \mathbf {W} }$تُسمى هذه المجموعات غير مترابطة إذا كانت مصفوفة التغاير المتقاطع ومصفوفة التغاير المتقاطع الزائف تساويان صفرًا، أي إذا

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$

أين

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{\mathrm {H} }]}$

و

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{\mathrm {T} }]}$.

عمليتان عشوائيتان${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$و${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$تُسمى هذه العلاقات غير مترابطة إذا كان تباينها المتبادل${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$يساوي صفرًا في جميع الأوقات. ^{[ 2 ] : ص 142} رسميًا:

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad$ :\iff \quad \forall t_{1},t_{2}\colon \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0} .