الارتباط الكنسي

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 76 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعد تحليل الارتباط الكنسي ( CCA )، المعروف أيضًا بتحليل المتغيرات الكنسية ، طريقةً لاستنتاج المعلومات من مصفوفات التغاير المشترك . إذا كان لدينا متجهان X  =  ( X₁ , ...  , Xₙ ) و Y = ( Y₁ , ..., Yₘ ) من المتغيرات العشوائية ، وكانت هناك ارتباطات بين هذه المتغيرات، فإن تحليل الارتباط الكنسي سيجد التراكيب الخطية لـ X و Y التي تحقق أعلى ارتباط بينهما. [ 1 ] ويشير تي آر كناب إلى أنه "يمكن اعتبار جميع اختبارات الدلالة البارامترية الشائعة تقريبًا حالات خاصة من تحليل الارتباط الكنسي، وهو الإجراء العام لدراسة العلاقات بين مجموعتين من المتغيرات". [ 2 ] وقد طُوِّرت هذه الطريقة لأول مرة على يد هارولد هوتلينج عام 1936، [ 3 ] على الرغم من أن المفهوم الرياضي نُشر عام 1875 في سياق الزوايا بين المستويات . [ 4 ]     

أصبح تحليل الارتباط الكنسي (CCA) الآن حجر الزاوية في الإحصاءات متعددة المتغيرات والتعلم متعدد الرؤى، وقد طُرحت العديد من التفسيرات والتوسعات، مثل تحليل الارتباط الكنسي الاحتمالي، وتحليل الارتباط الكنسي المتفرق، وتحليل الارتباط الكنسي متعدد الرؤى، وتحليل الارتباط الكنسي العميق [ 5 ] ، وتحليل الارتباط الكنسي الجغرافي العميق [ 6 ] . مع ذلك، ربما بسبب شيوعه، قد يكون هناك تضارب في المصطلحات المستخدمة في المراجع العلمية. نسعى في هذه المقالة إلى تسليط الضوء على هذا التضارب لمساعدة القارئ على الاستفادة القصوى من المراجع والتقنيات المتاحة.

على غرار طريقة تحليل المكونات الرئيسية (PCA) ، يمكن النظر إلى تحليل الارتباط الكنسي (CCA) من منظورين: إما من منظور السكان (أي المتجهات العشوائية ومصفوفات التباين الخاصة بها) أو من منظور العينة (أي مجموعات البيانات ومصفوفات التباين الخاصة بها). يتشابه هذان المنظوران بشكل كبير، ولذلك غالبًا ما يُغفل التمييز بينهما، إلا أنهما قد يتصرفان بشكل مختلف تمامًا في البيئات عالية الأبعاد. [ 7 ] سنقدم فيما يلي تعريفات رياضية صريحة لمسألة السكان، ونسلط الضوء على العناصر المختلفة في ما يُسمى بالتحليل الكنسي - إذ يُعد فهم الاختلافات بين هذه العناصر أمرًا بالغ الأهمية لتفسير هذه التقنية.

تعريف تحليل الارتباط الكنسي للسكان من خلال الارتباطات

بفرض وجود متجهين عموديينX=(x1،...،xن)تي{\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}وY=(y1،...،yم)تي{\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{m})^{T}}بالنسبة للمتغيرات العشوائية ذات العزوم الثانية المحدودة ، يمكن تعريف التغاير المشتركΣXY=كوف⁡(X،Y){\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {cov} (X,Y)}أن يكونن×م{\displaystyle n\times m}المصفوفة التي(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}المدخل هو التغايركوف⁡(xأنا،yج){\displaystyle \operatorname {cov} (x_{i},y_{j})}عمليًا، نقوم بتقدير مصفوفة التغاير بناءً على البيانات المأخوذة من العينة.X{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}(أي من زوج من مصفوفات البيانات).

يسعى تحليل الارتباط الكنسي إلى إيجاد سلسلة من المتجهاتأك{\displaystyle a_{k}} (أك∈Rن{\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}) وبك{\displaystyle b_{k}}(بك∈Rم{\displaystyle b_{k}\in \mathbb {R} ^{m}}) بحيث تكون المتغيرات العشوائيةأكتيX{\displaystyle a_{k}^{T}X}وبكتيY{\displaystyle b_{k}^{T}Y}تعظيم الارتباطρ=تصحيح⁡(أكتيX،بكتيY){\displaystyle \rho =\operatorname {corr} (a_{k}^{T}X,b_{k}^{T}Y)}المتغيرات العشوائية (القياسية)يو=أ1تيX{\displaystyle U=a_{1}^{T}X}وV=ب1تيY{\displaystyle V=b_{1}^{T}Y}يمثل الزوج الأول من المتغيرات الأساسية . ثم نبحث عن متجهات تُعظّم نفس الارتباط مع مراعاة شرط عدم ارتباطها بالزوج الأول من المتغيرات الأساسية؛ وهذا يُعطي الزوج الثاني من المتغيرات الأساسية . يمكن مواصلة هذه العملية حتىمين{م،ن}{\displaystyle \min\{m,n\}}مرات.

(أك،بك)=argmaxأ،بتصحيح⁡(أتيX،بتيY) رهناً بـ كوف⁡(أتيX،أجتيX)=كوف⁡(بتيY،بجتيY)=0 ل ج=1،...،ك-1{\displaystyle (a_{k},b_{k})={\underset {a,b}{\operatorname {argmax} }}\operatorname {corr} (a^{T}X,b^{T}Y)\quad {\text{ subject to }}\operatorname {cov} (a^{T}X,a_{j}^{T}X)=\operatorname {cov} (b^{T}Y,b_{j}^{T}Y)=0{\text{ for }}j=1,\dots ,k-1}

مجموعات المتجهاتأك،بك{\displaystyle a_{k},b_{k}}تُسمى هذه المتجهات بالاتجاهات الأساسية أو متجهات الوزن أو ببساطة الأوزان . مجموعات المتجهات "الثنائية"ΣXXأك،ΣYYبك{\displaystyle \Sigma _{XX}a_{k},\Sigma _{YY}b_{k}}تُسمى هذه المتجهات متجهات التحميل الأساسية أو ببساطة التحميلات ؛ وغالبًا ما يكون تفسيرها أسهل من تفسير الأوزان. [ 8 ]

حساب

الاشتقاق

يتركΣXY{\displaystyle \Sigma _{XY}}لتكن مصفوفة التغاير المتقاطع لأي زوج من المتغيرات العشوائية (ذات الشكل المتجهي)X{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}الدالة المستهدفة التي يجب تعظيمها هي

ρ=أتيΣXYبأتيΣXXأبتيΣYYب.{\displaystyle \rho ={\frac {a^{T}\Sigma _{XY}b}{{\sqrt {a^{T}\Sigma _{XX}a}}{\sqrt {b^{T}\Sigma _{YY}b}}}}.}

الخطوة الأولى هي تحديد تغيير الأساس وتحديد

ج=ΣXX1/2أ،{\displaystyle c=\Sigma _{XX}^{1/2}a,}
د=ΣYY1/2ب،{\displaystyle d=\Sigma _{YY}^{1/2}b,}

أينΣXX1/2{\displaystyle \Sigma _{XX}^{1/2}}وΣYY1/2{\displaystyle \Sigma _{YY}^{1/2}}يمكن الحصول عليها من تحليل القيم الذاتية (أو عن طريق القطرنة ):

ΣXX1/2=VXدX1/2VX⊤،VXدXVX⊤=ΣXX،{\displaystyle \Sigma _{XX}^{1/2}=V_{X}D_{X}^{1/2}V_{X}^{\top },\qquad V_{X}D_{X}V_{X}^{\top }=\Sigma _{XX},}

و

ΣYY1/2=VYدY1/2VY⊤،VYدYVY⊤=ΣYY.{\displaystyle \Sigma _{YY}^{1/2}=V_{Y}D_{Y}^{1/2}V_{Y}^{\top },\qquad V_{Y}D_{Y}V_{Y}^{\top }=\Sigma _{YY}.}

هكذا

ρ=جتيΣXX-1/2ΣXYΣYY-1/2دجتيجدتيد.{\displaystyle \rho ={\frac {c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}{{\sqrt {c^{T}c}}{\sqrt {d^{T}d}}}}.}

بحسب متباينة كوشي-شفارتز ،

(جتيΣXX-1/2ΣXYΣYY-1/2)(د)≤(جتيΣXX-1/2ΣXYΣYY-1/2ΣYY-1/2ΣYXΣXX-1/2ج)1/2(دتيد)1/2،{\displaystyle \left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\right)(d)\leq \left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}\left(d^{T}d\right)^{1/2},}
ρ≤(جتيΣXX-1/2ΣXYΣYY-1ΣYXΣXX-1/2ج)1/2(جتيج)1/2.{\displaystyle \rho \leq {\frac {\left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}}{\left(c^{T}c\right)^{1/2}}}.}

يتحقق التساوي إذا كانت المتجهاتد{\displaystyle d}وΣYY-1/2ΣYXΣXX-1/2ج{\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c}تكون متوازية. بالإضافة إلى ذلك، يتم الوصول إلى أقصى درجة من الارتباط إذاج{\displaystyle c}هو المتجه الذاتي ذو القيمة الذاتية القصوى للمصفوفةΣXX-1/2ΣXYΣYY-1ΣYXΣXX-1/2{\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}}(انظر حاصل قسمة رايلي ). يتم إيجاد الأزواج اللاحقة باستخدام القيم الذاتية ذات المقادير المتناقصة. ويُضمن التعامد من خلال تناظر مصفوفات الارتباط.

ويمكن النظر إلى هذه العملية الحسابية من زاوية أخرى، وهي أنج{\displaystyle c}ود{\displaystyle d}يمثلان متجهي الارتباط الأيسر والأيمن لمصفوفة الارتباط لـ X و Y المقابلين لأعلى قيمة مفردة.

حل

إذن، الحل هو:

  • ج{\displaystyle c}هو متجه ذاتي لـΣXX-1/2ΣXYΣYY-1ΣYXΣXX-1/2{\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}}
  • د{\displaystyle d}يتناسب معΣYY-1/2ΣYXΣXX-1/2ج{\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c}

وبالمقابل، هناك أيضاً:

  • د{\displaystyle d}هو متجه ذاتي لـΣYY-1/2ΣYXΣXX-1ΣXYΣYY-1/2{\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}}
  • ج{\displaystyle c}يتناسب معΣXX-1/2ΣXYΣYY-1/2د{\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}

وبعكس تغيير الإحداثيات، نحصل على ما يلي:

  • أ{\displaystyle a}هو متجه ذاتي لـΣXX-1ΣXYΣYY-1ΣYX{\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}}،
  • ب{\displaystyle b}يتناسب معΣYY-1ΣYXأ؛{\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}a;}
  • ب{\displaystyle b}هو متجه ذاتي لـΣYY-1ΣYXΣXX-1ΣXY،{\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY},}
  • أ{\displaystyle a}يتناسب معΣXX-1ΣXYب{\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}b}.

يتم تعريف المتغيرات الأساسية على النحو التالي:

يو=جتيΣXX-1/2X=أتيX{\displaystyle U=c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}X=a^{T}X}
V=دتيΣYY-1/2Y=بتيY{\displaystyle V=d^{T}\Sigma _{YY}^{-1/2}Y=b^{T}Y}

تطبيق

يمكن حساب تحليل الارتباط الكنسي (CCA) باستخدام تحليل القيم المفردة على مصفوفة الارتباط. [ 9 ] وهو متاح كدالة في [ 10 ]

تعتمد حسابات تحليل الارتباط المتعارف عليه (CCA) باستخدام تحليل القيم المفردة على مصفوفة الارتباط على جيب تمام الزوايا بين المستويات . تكون دالة جيب التمام غير مستقرة للزوايا الصغيرة، مما يؤدي إلى حساب غير دقيق للغاية للمتجهات الرئيسية شديدة الارتباط في العمليات الحسابية الحاسوبية ذات الدقة المحدودة . لحل هذه المشكلة ، تتوفر خوارزميات بديلة [ 12 ]

اختبار الفرضيات

يمكن اختبار دلالة كل صف باستخدام الطريقة التالية. وبما أن الارتباطات مرتبة، فإن هذا الصفأنا{\displaystyle i}إذا كانت قيمة تساوي صفرًا، فإن جميع الارتباطات الأخرى تساوي صفرًا أيضًا. إذا كان لديناص{\displaystyle p}الملاحظات المستقلة في عينة وρ^أنا{\displaystyle {\widehat {\rho }}_{i}}هو الارتباط المقدر لـأنا=1،...،مين{م،ن}{\displaystyle i=1,\dots ,\min\{m,n\}}. لـأنا{\displaystyle i}في الصف رقم 1، تكون إحصائية الاختبار هي:

χ2=-(ص-1-12(م+ن+1))ln⁡∏ج=أنامين{م،ن}(1-ρ^ج2)،{\displaystyle \chi ^{2}=-\left(p-1-{\frac {1}{2}}(m+n+1)\right)\ln \prod _{j=i}^{\min\{m,n\}}(1-{\widehat {\rho }}_{j}^{2}),}

والذي يتوزع تقاربياً كتوزيع كاي تربيع مع(م-أنا+1)(ن-أنا+1){\displaystyle (m-i+1)(n-i+1)}درجات الحرية للأحجام الكبيرةص{\displaystyle p}[ 13 ] بما أن جميع الارتباطات منمين{م،ن}{\displaystyle \min\{m,n\}}لص{\displaystyle p}إذا كانت منطقياً تساوي صفرًا (وتم تقديرها بهذه الطريقة أيضًا)، فإن حاصل ضرب الحدود بعد هذه النقطة غير ذي صلة.

لاحظ أنه في حالة حجم العينة الصغير معص<ن+م{\displaystyle p<n+m}عندها نضمن أن القمةم+ن-ص{\displaystyle m+n-p}ستكون معاملات الارتباط مساوية لـ 1، وبالتالي فإن الاختبار لا معنى له. [ 14 ]

الاستخدامات العملية

يُستخدم الارتباط الكنسي عادةً في السياق التجريبي لدراسة مجموعتين من المتغيرات وملاحظة أوجه التشابه بينهما. [ 15 ] على سبيل المثال، في الاختبارات النفسية، يمكن استخدام اختبارين معروفين للشخصية متعددة الأبعاد ، مثل اختبار مينيسوتا متعدد الأوجه للشخصية (MMPI-2) واختبار NEO . من خلال دراسة العلاقة بين عوامل MMPI-2 وعوامل NEO، يمكن فهم الأبعاد المشتركة بين الاختبارين ومقدار التباين المشترك بينهما. على سبيل المثال، قد يُلاحظ أن بُعد الانبساط أو العصابية يُفسر نسبة كبيرة من التباين المشترك بين الاختبارين.

يمكن أيضًا استخدام تحليل الارتباط الكنسي لإنتاج معادلة نموذجية تربط بين مجموعتين من المتغيرات، على سبيل المثال مجموعة من مقاييس الأداء ومجموعة من المتغيرات التفسيرية، أو مجموعة من المخرجات ومجموعة من المدخلات. ويمكن فرض قيود على هذا النموذج لضمان مطابقته للمتطلبات النظرية أو الشروط البديهية. يُعرف هذا النوع من النماذج بنموذج الارتباط الأقصى. [ 16 ]

عادةً ما يتم تمثيل نتائج الارتباط الكنسي بيانيًا من خلال رسوم بيانية شريطية لمعاملات مجموعتي المتغيرات لأزواج المتغيرات الكنسي التي تُظهر ارتباطًا معنويًا. ويقترح بعض الباحثين أن أفضل طريقة لتمثيلها بيانيًا هي رسمها على شكل دائرة ذات أشرطة شعاعية، حيث يمثل كل نصف مجموعتي المتغيرات. [ 17 ]

أمثلة

يتركX=x1{\displaystyle X=x_{1}}بقيمة متوقعة صفرية ، أيهـ⁡(X)=0{\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}.

  1. لوY=X{\displaystyle Y=X}، أي،X{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت مترابطة تمامًا، على سبيل المثال،أ=1{\displaystyle a=1}وب=1{\displaystyle b=1}بحيث يكون الزوج الأول (والوحيد في هذا المثال) من المتغيرات الأساسية هويو=X{\displaystyle U=X}وV=Y=X{\displaystyle V=Y=X}.
  2. لوY=-X{\displaystyle Y=-X}، أي،X{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت هذه العلاقات متقابلة تمامًا، على سبيل المثال،أ=1{\displaystyle a=1}وب=-1{\displaystyle b=-1}بحيث يكون الزوج الأول (والوحيد في هذا المثال) من المتغيرات الأساسية هويو=X{\displaystyle U=X}وV=-Y=X{\displaystyle V=-Y=X}.

نلاحظ ذلك في كلتا الحالتينيو=V{\displaystyle U=V}وهذا يوضح أن تحليل الارتباط الكنسي يعامل المتغيرات المرتبطة والمتغيرات ذات الارتباط العكسي بشكل مماثل.

العلاقة بالزوايا الرئيسية

بافتراض أنX=(x1،...،xن)تي{\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}وY=(y1،...،yم)تي{\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{m})^{T}}لها قيم متوقعة صفرية ، أيهـ⁡(X)=هـ⁡(Y)=0{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (Y)=0}، ومصفوفات التغاير الخاصة بهاΣXX=كوف⁡(X،X)=هـ⁡[XXتي]{\displaystyle \Sigma _{XX}=\operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {E} [XX^{T}]}وΣYY=كوف⁡(Y،Y)=هـ⁡[YYتي]{\displaystyle \Sigma _{YY}=\operatorname {Cov} (Y,Y)=\operatorname {E} [YY^{T}]}يمكن اعتبارها مصفوفات غرام في جداء داخلي لعناصر X{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}وبالمثل. في هذا التفسير، المتغيرات العشوائية، المدخلاتxأنا{\displaystyle x_{i}}ل X{\displaystyle X}وyج{\displaystyle y_{j}}لY{\displaystyle Y}تُعامل كعناصر في فضاء متجهي ذي جداء داخلي معطى بواسطة التغايركوف⁡(xأنا،yج){\displaystyle \operatorname {cov} (x_{i},y_{j})}انظر إلى التباين المشترك#العلاقة بالمنتجات الداخلية .

تعريف المتغيرات الأساسيةيو{\displaystyle U}وV{\displaystyle V}وبالتالي، يكون ذلك مكافئًا لتعريف المتجهات الرئيسية لزوج الفضاءات الجزئية الممتدة بواسطة مدخلات X{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}فيما يتعلق بهذا المنتج الداخلي . الارتباطات الأساسيةتصحيح⁡(يو،V){\displaystyle \operatorname {corr} (U,V)}يساوي جيب تمام الزوايا الرئيسية .

التبييض وتحليل الارتباط الكنسي الاحتمالي

يمكن أيضًا اعتبار تحليل الارتباط المتعارف عليه (CCA) بمثابة تحويل تبييض خاص حيث تكون المتجهات العشوائيةX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}يتم تحويلها في وقت واحد بطريقة تجعل الارتباط المتبادل بين المتجهات المبيضةXججأ{\displaystyle X^{CCA}}وYججأ{\displaystyle Y^{CCA}}قطري. [ 18 ] ثم تُفسَّر الارتباطات الكنسية على أنها معاملات انحدار تربطXججأ{\displaystyle X^{CCA}}وYججأ{\displaystyle Y^{CCA}}وقد تكون سلبية أيضًا. كما يوفر منظور الانحدار لتحليل الارتباط الكنسي طريقة لبناء نموذج توليدي احتمالي للمتغيرات الكامنة لتحليل الارتباط الكنسي، مع متغيرات خفية غير مترابطة تمثل التباين المشترك وغير المشترك. [ 19 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هاردل، وولفغانغ؛ سيمار، ليوبولد (2007). "تحليل الارتباط الكنسي". التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات التطبيقي . ص 321-330 . CiteSeerX 10.1.1.324.403 . doi : 10.1007/978-3-540-72244-1_14 . ISBN   978-3-540-72243-4.
  2. ↑ كناب، تي آر (1978). "تحليل الارتباط الكنسي: نظام عام لاختبار الدلالة البارامترية". النشرة النفسية . 85 (2): 410-416 . doi : 10.1037/0033-2909.85.2.410 .
  3. ↑ هوتلينج، هـ. (1936). "العلاقات بين مجموعتين من المتغيرات". بيومتريكا . 28 ( 3-4 ): 321-377 . doi : 10.1093/biomet/28.3-4.321 . JSTOR 2333955 . 
  4. ^ الأردن ، ك. (1875). "مقالة حول الهندسةن{\displaystyle n}الأبعاد" . نشرة الجمعية الرياضية الفرنسية . 3 : 103.
  5. ↑ أندرو، جالين؛ أرورا، رامان؛ بيلمز، جيف؛ ليفيسكو، كارين (26-05-2013). "تحليل الارتباط الكنسي العميق" . وقائع المؤتمر الدولي الثلاثين للتعلم الآلي . PMLR: 1247-1255 .
  6. ↑ جو، سي؛ كوبلر، رينمار جيه؛ تانغ، لياو؛ غوان، كونتاي؛ كاوانابي، موتوأكي (2024). تحليل الارتباط الكنسي الجيوديسي العميق لبيانات التصوير العصبي القائمة على التغاير . المؤتمر الدولي الثاني عشر حول تمثيلات التعلم (ICLR 2024، تسليط الضوء).
  7. ↑ "التعلم الإحصائي مع التباعد: لاسو والتعميمات" . hastie.su.domains . تم الاسترجاع في 12-09-2023 .
  8. ↑ غو، فاي؛ وو، هاو (2018-04-01). "تحليل الارتباط الكنسي المتزامن مع معاملات التحميل الكنسية الثابتة" . مجلة Behaviormetrika . 45 (1): 111-132 . doi : 10.1007/s41237-017-0042-8 . ISSN 1349-6964 . 
  9. ↑ هسو، د.؛ كاكادي، س.م.؛ تشانغ، ت. (2012). "خوارزمية طيفية لتعلم نماذج ماركوف المخفية" (ملف PDF) . مجلة علوم الحاسوب والأنظمة . 78 (5): 1460. arXiv : 0811.4413 . doi : 10.1016/j.jcss.2011.12.025 . S2CID 220740158 . 
  10. ↑ هوانغ، إس واي؛ لي، إم إتش؛ هسياو، سي كيه (2009). "مقاييس الارتباط غير الخطية مع تحليل الارتباط الكنسي النواة وتطبيقاته" (ملف PDF) . مجلة التخطيط والاستدلال الإحصائي . 139 (7): 2162. doi : 10.1016/j.jspi.2008.10.011 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 13 مارس 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 سبتمبر 2015 .
  11. ↑ تشابمان، جيمس؛ وانغ، هاو-تينغ (18-12-2021). "CCA-Zoo: مجموعة من طرق تحليل الارتباط الكنسي (CCA) المنتظمة، والقائمة على التعلم العميق، والنواة، والاحتمالية في إطار عمل مشابه لـ scikit-learn" . مجلة البرمجيات مفتوحة المصدر . 6 (68): 3823. Bibcode : 2021JOSS....6.3823C . doi : 10.21105/joss.03823 . ISSN 2475-9066 . 
  12. ↑ كنيازيف، أ. ف.؛ أرجنتاتي، م. إ. (2002)، "الزوايا الرئيسية بين الفضاءات الفرعية في حاصل الضرب القياسي القائم على A: الخوارزميات وتقديرات الاضطراب"، مجلة SIAM للحوسبة العلمية ، 23 (6): 2009-2041 ، Bibcode : 2002SJSC...23.2008K ، CiteSeerX 10.1.1.73.2914 ، doi : 10.1137/S1064827500377332 
  13. ↑ كانتي ف. مارديا ، جيه تي كينت وجيه إم بيبي (1979). التحليل متعدد المتغيرات . دار النشر الأكاديمية .
  14. ↑ يانغ سونغ، بيتر جيه. شراير، ديفيد راميريز، وتانوج هاسيا: تحليل الارتباط الكنسي للبيانات عالية الأبعاد ذات حجم عينة صغير جدًا arXiv : 1604.02047
  15. ↑ سييرانوجا، س.؛ شهيد الله، م.؛ كينونين، ت.؛ كومولاينين، ج.؛ حديد، أ. (يوليو 2018). "الكشف عن التزامن السمعي البصري باستخدام ميزات صوتية محسّنة" (ملف PDF) . المؤتمر الدولي الثالث لمعالجة الإشارات والصور (ICSIP) لعام 2018، معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . الصفحات 377-381 . doi : 10.1109/SIPROCESS.2018.8600424 . ISBN  978-1-5386-6396-7. S2CID 51682024 . 
  16. ↑ توفاليس، سي. (1999). "بناء النماذج باستخدام متغيرات تابعة متعددة وقيود". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة د . 48 (3): 371-378 . arXiv : 1109.0725 . doi : 10.1111/1467-9884.00195 . S2CID 8942357 . 
  17. ↑ ديغاني، أ.؛ شافتو، م.؛ أولسون، ل. (2006). "تحليل الارتباط الكنسي: استخدام الصور الشمسية المركبة لتمثيل أنماط متعددة" (ملف PDF) . التمثيل التخطيطي والاستدلال . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 4045. ص 93. CiteSeerX 10.1.1.538.5217 . doi : 10.1007/11783183_11 . ISBN    978-3-540-35623-3.
  18. ↑ جندوبي، ت.؛ ستريمر، ك. (2018). "نهج التبييض لتحليل الارتباط الكنسي الاحتمالي لتكامل بيانات علم الجينوم" . مجلة BMC Bioinformatics . 20 (1): 15. arXiv : 1802.03490 . doi : 10.1186/s12859-018-2572-9 . PMC 6327589. PMID 30626338 .  
  19. ↑ جندوبي، تاكوا؛ ستريمر، كوربينيان (9 يناير 2019). "نهج التبييض لتحليل الارتباط الكنسي الاحتمالي لتكامل بيانات علم الجينوم" . مجلة BMC Bioinformatics . 20 (1): 15. doi : 10.1186/s12859-018-2572-9 . ISSN 1471-2105 . PMC 6327589. PMID 30626338 .   
  20. ↑ حقيقيات، محمد؛ عبد المطلب، محمد؛ الحلبي، وديع (2016). "تحليل الارتباط التمييزي: دمج الميزات في الوقت الحقيقي للتعرف البيومتري متعدد الوسائط" . معاملات IEEE في الطب الشرعي وأمن المعلومات . 11 (9): 1984-1996 . doi : 10.1109/TIFS.2016.2569061 . S2CID 15624506 .