عارضة أزياء ويتاكر

في نظرية التمثيل ، وهي فرع من فروع الرياضيات، يُعدّ نموذج ويتاكر تجسيدًا لتمثيل زمرة جبرية اختزالية مثل GL ₂ على حقل منتهٍ أو محلي أو عالمي على فضاء الدوال في الزمرة. سُمّي هذا النموذج نسبةً إلى إي. تي. ويتاكر، على الرغم من أنه لم يعمل في هذا المجال، لأن جاكيه ( 1966 ، 1967 ) أشار إلى أن بعض الدوال المُستخدمة في تمثيل الزمرة SL ₂ ( R ) هي دوال ويتاكر . 

تُسمى التمثيلات غير القابلة للاختزال التي لا تحتوي على نموذج ويتاكر أحيانًا "تمثيلات منحطة"، بينما تُسمى تلك التي تحتوي على نموذج ويتاكر أحيانًا "تمثيلات عامة". ويُعد التمثيل θ ₁₀ للمجموعة التبسيطية Sp ₄ أبسط مثال على التمثيل المنحط.

إذا كانت G هي المجموعة الجبرية GL ₂ و F حقلًا محليًا، و τ خاصية ثابتة غير تافهة للمجموعة الجمعية لـ F، و π تمثيلًا غير قابل للاختزال لمجموعة خطية عامة G ( F )، فإن نموذج ويتاكر لـ π هو تمثيل π على فضاء الدوال ƒ على G ( F ) الذي يحقق

${\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}g\right)=\tau (b)f(g).}$

استخدم جاكيه ولانجلاندز (1970) نماذج ويتاكر لتعيين دوال L للتمثيلات المقبولة لـ GL ₂ .

يترك${\displaystyle G}$لتكن المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$،${\displaystyle \psi }$خاصية جمعية غير تافهة ذات قيمة معقدة سلسة${\displaystyle F}$و${\displaystyle U}$المجموعة الفرعية من${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$يتكون من مصفوفات مثلثية علوية أحادية القوة. خاصية غير متدهورة على${\displaystyle U}$وهو على شكل

${\displaystyle \chi (u)=\psi (\alpha _{1}x_{12}+\alpha _{2}x_{23}+\cdots +\alpha _{n-1}x_{n-1n}),}$

ل${\displaystyle u=(x_{ij})}$∈${\displaystyle U}$وغير صفري${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$∈${\displaystyle F}$. لو${\displaystyle (\pi ,V)}$هو تمثيل سلس لـ${\displaystyle G(F)}$، دالة ويتاكر${\displaystyle \lambda }$هي دالة خطية متصلة على${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$للجميع${\displaystyle u}$∈${\displaystyle U}$،${\displaystyle v}$∈${\displaystyle V}$تنص التعددية على أنه ، بالنسبة لـ${\displaystyle \pi }$فضاء الدوال الوحدوية غير القابلة للاختزال، له بُعد يساوي واحدًا على الأكثر.

إذا كانت G مجموعة اختزالية منقسمة و U هي الجذر أحادي القوة لمجموعة فرعية بوريل B ، فإن نموذج ويتاكر للتمثيل هو تضمينه في التمثيل المستحث ( جيلفاند-جرايف ) Ind ^G _U ( χ )، حيث χ هو خاصية غير متدهورة لـ U ، مثل مجموع الخصائص المقابلة للجذور البسيطة.

• تمثيل جيلفاند-جرايف ، وهو تقريبًا مجموع نماذج ويتاكر على حقل محدود.
• نموذج كيريلوف

• جاكيه، هيرفي (1966)، “Une Interprétation Géométrique et une Généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes Semi Simples”، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série A et B ، 262 : A943– A945، ISSN 0151-0509 ، السيد 0200390  
• جاكيه ، هيرفي (1967)، “Fonctions de Whittaker associées aux Groupes de Chevalley” ، Bulletin de la Société Mathématique de France ، 95 : 243–309 ، doi : 10.24033/bsmf.1654 ، ISSN 0037-9484 ، MR 0271275  
• جاكيه، هـ.؛ لانغلاندز، روبرت ب. (1970)، الأشكال التلقائية على GL(2) ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 114  ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/BFb0058988 ، ISBN 978-3-540-04903-6، MR 0401654 ، S2CID 122773458  
• جا شاليكا، نظرية التعددية الواحدة${\displaystyle GL_{n}}$، حوليات الرياضيات، السلسلة الثانية، المجلد 100، العدد 2 (1974)، 171-193.

• جاكيه، هيرفيه؛ شاليكا، جوزيف (1983). "نماذج ويتاكر للتمثيلات المستحثة" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 109 (1): 107-120 . doi : 10.2140/pjm.1983.109.107 . ISSN 0030-8730 .