تمثيل المجموعة

في المجال الرياضي لنظرية التمثيل ، تصف تمثيلات المجموعة المجموعات المجردة من حيث التحويلات الخطية التقابلية لفضاء متجهي إلى نفسه (أي التشاكلات الذاتية للفضاء المتجهي )؛ على وجه الخصوص، يمكن استخدامها لتمثيل عناصر المجموعة كمصفوفات قابلة للعكس بحيث يمكن تمثيل عملية المجموعة عن طريق ضرب المصفوفات .

في الكيمياء، يمكن لتمثيل المجموعة أن يربط عناصر المجموعة الرياضية بالدوران والانعكاس المتناظر للجزيئات.

تتيح تمثيلات المجموعات اختزال العديد من مسائل نظرية المجموعات إلى مسائل في الجبر الخطي . وفي الفيزياء ، تصف هذه التمثيلات كيف تؤثر مجموعة التناظر لنظام فيزيائي على حلول المعادلات التي تصف ذلك النظام.

يُستخدم مصطلح "تمثيل المجموعة" أيضًا بمعنى أعمّ ليشمل أي "وصف" لمجموعة ما باعتبارها مجموعة تحويلات لكائن رياضي. وبشكل أدق، يُقصد بـ"التمثيل" تماثلًا من المجموعة إلى مجموعة التماثلات الذاتية لكائن ما. إذا كان الكائن فضاءً متجهيًا، فإننا نحصل على تمثيل خطي . يستخدم البعض مصطلح "التحقيق " للدلالة على المفهوم العام، ويحصرون مصطلح " التمثيل" في الحالة الخاصة للتمثيلات الخطية. يُخصص الجزء الأكبر من هذه المقالة لوصف نظرية التمثيل الخطي؛ انظر القسم الأخير للاطلاع على التعميمات.

تنقسم نظرية تمثيل المجموعات إلى نظريات فرعية تبعًا لنوع المجموعة المُمَثَّلة. وتختلف هذه النظريات اختلافًا كبيرًا في التفاصيل، على الرغم من تشابه بعض التعريفات والمفاهيم الأساسية. وأهم هذه التقسيمات هي:

• الزمر المنتهية - تُعدّ تمثيلات الزمر أداةً بالغة الأهمية في دراسة الزمر المنتهية. كما تظهر أيضًا في تطبيقات نظرية الزمر المنتهية في علم البلورات والهندسة. إذا كان حقل الكميات القياسية للفضاء المتجهي له خاصية p ، وإذا كان p يقسم رتبة الزمرة، يُطلق على هذه الحالة اسم نظرية التمثيل النمطي ؛ وتتميز هذه الحالة الخاصة بخصائص مختلفة تمامًا. انظر نظرية تمثيل الزمر المنتهية .
• الزمر المتراصة أو الزمر المتراصة محليًا — تُثبت العديد من نتائج نظرية تمثيل الزمر المنتهية عن طريق حساب المتوسط ​​على الزمرة. ويمكن تعميم هذه البراهين على الزمر غير المنتهية باستبدال المتوسط ​​بالتكامل، شريطة إمكانية تعريف مفهوم مقبول للتكامل. ويمكن تطبيق ذلك على الزمر المتراصة محليًا باستخدام مقياس هار . وتُعدّ النظرية الناتجة جزءًا أساسيًا من التحليل التوافقي . وتصف ثنائية بونترياجين النظرية للزمر التبادلية، باعتبارها تحويل فورييه معمّم . انظر أيضًا: نظرية بيتر-ويل .
• زمر لي — العديد من زمر لي المهمة متراصة، لذا تنطبق عليها نتائج نظرية التمثيل المتراص. كما تُستخدم تقنيات أخرى خاصة بزمر لي. معظم الزمر المهمة في الفيزياء والكيمياء هي زمر لي، ونظرية تمثيلها أساسية لتطبيق نظرية الزمر في هذين المجالين. انظر: تمثيلات زمر لي وتمثيلات جبر لي .
• الزمر الجبرية الخطية (أو بشكل أعم مخططات الزمر الأفينية ) - هي نظائر زمر لي، ولكنها تُطبق على حقول أعم من R أو C فقط . على الرغم من أن تصنيف الزمر الجبرية الخطية مشابه جدًا لتصنيف زمر لي، وتُنتج نفس عائلات جبر لي، إلا أن تمثيلاتها مختلفة تمامًا (وأقل فهمًا بكثير). يجب استبدال التقنيات التحليلية المستخدمة لدراسة زمر لي بتقنيات من الهندسة الجبرية ، حيث تُسبب طوبولوجيا زاريسكي الضعيفة نسبيًا
• الزمر الطوبولوجية غير المتراصة - فئة الزمر غير المتراصة واسعة جدًا بحيث لا يمكن بناء أي نظرية تمثيل عامة لها، ولكن دُرست حالات خاصة محددة، أحيانًا باستخدام تقنيات مخصصة. تمتلك زمر لي شبه البسيطة نظرية معمقة، مبنية على الحالة المتراصة. لا يمكن تصنيف زمر لي القابلة للحل التكميلية بالطريقة نفسها. تتناول النظرية العامة لزمر لي الضرب شبه المباشر من النوعين، من خلال نتائج عامة تُسمى نظرية ماكي ، وهي تعميم لأساليب تصنيف ويغنر .

تعتمد نظرية التمثيل بشكل كبير على نوع الفضاء المتجهي الذي تعمل عليه المجموعة. ويُفرّق بين التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة والتمثيلات ذات الأبعاد اللانهائية. في حالة الأبعاد اللانهائية، تُصبح البنى الإضافية مهمة (مثل ما إذا كان الفضاء فضاء هيلبرت أو فضاء باناخ ، إلخ).

يجب أيضًا مراعاة نوع الحقل الذي تُعرَّف عليه الفضاءات المتجهة. يُعد حقل الأعداد المركبة أهم الحالات . ومن الحالات المهمة الأخرى حقل الأعداد الحقيقية ، والحقول المنتهية ، وحقول الأعداد p-adic . عمومًا، يسهل التعامل مع الحقول المغلقة جبريًا أكثر من الحقول غير المغلقة جبريًا. كما أن خاصية الحقل مهمة أيضًا؛ إذ تعتمد العديد من نظريات الزمر المنتهية على خاصية الحقل التي لا تقسم رتبة الزمرة .

تمثيل المجموعة G على فضاء متجهي V فوق حقل K هو تشاكل زمر من G إلى GL( V )، وهي المجموعة الخطية العامة على V. أي أن التمثيل هو دالة

${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)}$

بحيث

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{لكل }}g_{1},g_{2}\in G.}$

هنا يُطلق على V اسم فضاء التمثيل ، ويُطلق على بُعد V اسم بُعد أو درجة التمثيل. ومن الشائع الإشارة إلى V نفسه على أنه التمثيل عندما يكون التشاكل واضحًا من السياق.

في حالة كون V ذات بُعد محدود n، فمن الشائع اختيار أساس لـ V وتحديد GL( V ) مع GL( n , K ) ، وهي مجموعة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات القابلة للعكس على الحقل K.

• إذا كانت G مجموعة طوبولوجية و V فضاء متجهي طوبولوجي ، فإن التمثيل المستمر لـ G على V هو تمثيل ρ بحيث يكون التطبيق Φ  : G × V → V المعرف بواسطة Φ( g , v ) = ρ ( g )( v ) مستمرًا .
• تُعرَّف نواة تمثيل ρ لمجموعة G بأنها المجموعة الفرعية الطبيعية لـ G التي تكون صورتها تحت ρ هي تحويل الهوية:

${\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.}$

التمثيل الأمين هو التمثيل الذي يكون فيه التشاكل G → GL( V ) أحاديًا ؛ بعبارة أخرى، التمثيل الذي تكون نواته هي المجموعة الفرعية التافهة { e } التي تتكون فقط من عنصر الوحدة للمجموعة.

• بفرض وجود فضاءين متجهيين من الرتبة K ، V و W ، فإن تطبيقًا لتمثيلين ρ  : G → GL( V ) و π  : G → GL( W ) (يُسمى أيضًا تطبيقًا متغيرًا ) هو تطبيق خطي α  : V → W بحيث

  ${\displaystyle \alpha \circ \rho (g)=\pi (g)\circ \alpha .}$

إذا كان للفضاء α دالة عكسية متغيرة، تُسمى هذه الدالة تشاكلاً بين التمثيلات، ويُقال إن التمثيلات متكافئة أو متماثلة . ويكفي أيضاً أن تكون α دالة متغيرة، وهي تشاكل بين فضاءات متجهة.

لنأخذ العدد المركب كمثال${\displaystyle u=e^{2\pi i/3}}$والتي تمتلك العقار${\displaystyle u^{3}=1}$المجموعة${\displaystyle C_{3}=\{1,u,u^{2}\}}$تشكل زمرة دورية تحت عملية الضرب. لهذه الزمرة تمثيل${\displaystyle \rho }$على${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$مقدم من:

$\displaystyle \rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.}$

هذا التمثيل أمين لأن${\displaystyle \rho }$هي خريطة واحدة لواحد .

تمثيل آخر لـ${\displaystyle C_{3}}$على${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$، وهو متماثل مع السابق، هو${\displaystyle \sigma }$مقدم من:

$\displaystyle \sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.}$

المجموعة${\displaystyle C_{3}}$قد يتم تمثيلها بأمانة أيضًا على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بواسطة${\displaystyle \tau }$مقدم من:

$\displaystyle \tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}}$

أين

${\displaystyle a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

تمثيل محتمل على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يتم تحديدها بواسطة مجموعة مصفوفات التبديل الدورية${\displaystyle v}$:

$\displaystyle \upsilon \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \upsilon \left(u\right)={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \upsilon \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}.}$

مثال آخر:

يترك${\displaystyle V}$ليكن فضاء كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة الثالثة على الأعداد المركبة في متغيرات${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

ثم${\displaystyle S_{3}}$أعمال بشأن${\displaystyle V}$عن طريق تبديل المتغيرات الثلاثة.

على سبيل المثال،${\displaystyle (12)}$يرسل${\displaystyle x_{1}^{3}}$ل${\displaystyle x_{2}^{3}}$.

يُطلق على الفضاء الجزئي W من V الذي يظل ثابتًا تحت تأثير المجموعة اسم تمثيل جزئي . إذا كان لـ V تمثيلان جزئيان فقط، وهما الفضاء الجزئي ذو البعد الصفري و V نفسه، يُقال إن التمثيل غير قابل للاختزال ؛ أما إذا كان له تمثيل جزئي مناسب ذو بعد غير صفري، فيُقال إن التمثيل قابل للاختزال . يُعتبر التمثيل ذو البعد الصفري غير قابل للاختزال وغير قابل للاختزال، ^{[ 1 ]} تمامًا كما يُعتبر العدد 1 غير مركب وغير أولي .

بافتراض أن خاصية الحقل K لا تقسم حجم المجموعة، يمكن تحليل تمثيلات المجموعات المنتهية إلى مجموع مباشر من التمثيلات الفرعية غير القابلة للاختزال (انظر نظرية ماشكه ). وينطبق هذا بشكل خاص على أي تمثيل لمجموعة منتهية على الأعداد المركبة ، لأن خاصية الأعداد المركبة تساوي صفرًا، وهو ما لا يقسم حجم المجموعة أبدًا.

في المثال أعلاه، يمكن تحليل التمثيلين الأولين المعطيين (ρ و σ) إلى تمثيلين فرعيين أحاديي البعد (معطى بواسطة span{(1,0)} و span{(0,1)})، بينما التمثيل الثالث (τ) غير قابل للاختزال.

• التمثيلات غير القابلة للاختزال
• جدول الشخصيات
• نظرية الشخصية
• التناظر الجزيئي
• قائمة بمواضيع التحليل التوافقي
• قائمة بمواضيع نظرية التمثيل
• نظرية تمثيل المجموعات المنتهية
• تمثيل شبه بسيط

• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات. المجلد  129. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 . OCLC 246650103 .​  مقدمة في نظرية التمثيل مع التركيز على مجموعات لي .
• يوري إي. ليوبيتش. مقدمة في نظرية تمثيلات باناخ للمجموعات . مترجمة من طبعة عام 1985 باللغة الروسية (خاركوف، أوكرانيا). دار نشر بيركهاوزر. 1988.