المجموعة التبسيطية

في الرياضيات ، تُعرف المجموعة التبسيطية بأنها مجموعة التحويلات الخطية التي تحافظ على البنية الهندسية لفضاء الطور ، وهو فضاء متغيرات الموضع والزخم المستخدم في الميكانيكا الكلاسيكية . وتُعرَّف بأنها مجموعة التغييرات الخطية للإحداثيات على فضاء الطور التي تحافظ على الشكل التبسيطي .

يُشار عادةً إلى المجموعات التبسيطية بـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$، أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح موجب و${\displaystyle \mathbb {F} }$هي حقل ، غالبًا ما يكون من الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة . وهي من بين العائلات الأربع للمجموعات الكلاسيكية ، وتلعب دورًا محوريًا في الهندسة التبسيطية ، والميكانيكا الهاميلتونية ، ونظرية التمثيل . وهناك عائلة أخرى ذات صلة ولكنها مختلفة، وهي المجموعة التبسيطية المدمجة ، والتي يُرمز لها عادةً بـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$أو${\displaystyle \mathrm {USp} (n)}$.

تم تقديم مصطلح "symplectic" من قبل هيرمان فايل كبديل للمصطلحات القديمة مثل مجموعة الخط المركب . وكان المقصود منه أن يكون نظيراً يونانياً لكلمة " مركب ".

الترميز${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$يشير عادةً إلى المجموعة التبسيطية لـ${\displaystyle 2n}$فضاء متجهي تماثلي ذو أبعاد على حقل${\displaystyle \mathbb {F} }$وهناك عائلة أخرى ذات صلة ولكنها مختلفة، وهي المجموعة التبسيطية المدمجة ، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$أو${\displaystyle \mathrm {USp} (n)}$، وهو الشكل الحقيقي المضغوط للمجموعة التبسيطية المعقدة.

يستخدم العديد من المؤلفين رموزًا مختلفة قليلاً، وغالبًا ما تختلف بعوامل من${\displaystyle 2}$في تصنيف كارتان ، جبر لي لـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$له نوع${\displaystyle C_{n}}$.

الزمرة التبسيطية هي زمرة كلاسيكية تُعرَّف بأنها مجموعة التحويلات الخطية لـ${\displaystyle 2n}$فضاء متجهي ذو أبعاد على الحقل${\displaystyle \mathbb {F} }$والتي تحافظ على شكل ثنائي خطي غير منحل ومتناظر عكسيًا . يُطلق على هذا الفضاء المتجهي اسم الفضاء المتجهي التبادلي ، وتُسمى المجموعة التبادلية للفضاء المتجهي التبادلي المجرد${\displaystyle V}$يُشار إليه بـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (V)}$. عند تحديد أساس لـ${\displaystyle V}$، يتم تمثيل الشكل التبسيطي بواسطة مصفوفة غير منفردة متناظرة معكوسة${\displaystyle J}$، و${\displaystyle \operatorname {Sp} (V)}$يتم تحديدها مع مجموعة${\displaystyle 2n\times 2n}$المصفوفات فوق${\displaystyle \mathbb {F} }$مُرضٍ

$${\displaystyle \{M\in M_{2n\times 2n}(\mathbb {F} ):M^{\mathrm {T} }JM=J\}.}$$

يُرمز إلى هذه المجموعة المصفوفية بـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$أو${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbb {F} )}$، على الرغم من أن الترميز يعتمد على الاصطلاح المستخدم. هنا${\displaystyle M^{T}}$يشير إلى منقولة${\displaystyle M}$.

في أساس اعتباطي، المصفوفة${\displaystyle J}$لا يشترط أن يكون لها شكل معين. ومع ذلك، يمكن اختيار أساس تماثلي ، حيث يتم تمثيل الشكل بالمصفوفة القياسية.

$${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}},}$$

أين${\displaystyle I_{n}}$هي مصفوفة الوحدة. في مثل هذا الأساس،

$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )=\{M\in M_{2n\times 2n}(\mathbb {F} ):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \}.}$$

في هذه الحالة،${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$يمكن التعبير عنها على شكل مصفوفات كتلية${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$، أين${\displaystyle A,B,C,D\in M_{n\times n}(\mathbb {F} )}$، بما يحقق المعادلات الثلاث:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}}$$

بما أن جميع المصفوفات التبسيطية لها محدد${\displaystyle 1}$، المجموعة التبسيطية هي مجموعة جزئية من المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SL} (2n,\mathbb {F} )}$. متى${\displaystyle n=1}$يتحقق الشرط التبادلي على المصفوفة إذا وفقط إذا كان المحدد يساوي واحدًا، بحيث${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {F} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {F} )}$. ل${\displaystyle n>1}$وهناك شروط إضافية، أي${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$إذن، هي مجموعة فرعية مناسبة من${\displaystyle \operatorname {SL} (2n,\mathbb {F} )}$.

عادةً، المجال${\displaystyle \mathbb {F} }$هو حقل الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$أو الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$في هذه الحالات${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$هي زمرة لي حقيقية أو مركبة ذات بُعد حقيقي أو مركب${\displaystyle n(2n+1)}$على التوالي. هذه المجموعات متصلة ولكنها غير متراصة .

مركز​​${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$يتكون من المصفوفات${\displaystyle I_{2n}}$و${\displaystyle -I_{2n}}$طالما أن خاصية المجال ليست${\displaystyle 2}$[ ^{1 ] منذ} مركز${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$هي مجموعة منفصلة، ​​وزمرة القسمة الخاصة بها بتردد المركز هي مجموعة بسيطة .${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$تعتبر مجموعة لي بسيطة .

الرتبة الحقيقية لجبر لي المقابل، وبالتالي رتبة زمرة لي${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$، يكون${\displaystyle n}$.

جبر لي لـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$هي المجموعة

$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},}$$

مُجهَّز بمُبدِّل كقوس لي خاص به. ^{[ 2 ]} بالنسبة للشكل الثنائي الخطي القياسي المتناظر عكسيًا${\displaystyle \Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})}$، جبر لي هذا هو مجموعة جميع المصفوفات الكتلية${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$رهناً بالشروط

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$

المجموعة التبسيطية المدمجة ^{[ 15 ]}${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$هو تقاطع${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$مع${\displaystyle 2n\times 2n}$المجموعة الموحدة:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).}$

تُكتب أحيانًا على النحو التالي:${\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}$. بدلاً عن ذلك،${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$يمكن وصفها بأنها مجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$( مصفوفات رباعية قابلة للعكس ) تحافظ على الشكل الهرميتي القياسي على${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.}$

إنه،${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$هي ببساطة المجموعة الوحدوية الرباعية ،${\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbb {H} )}$[ ^{16 ]} في الواقع، يُطلق عليها أحيانًا اسم المجموعة فائقة ^الوحدة .${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$هي مجموعة الرباعيات المعيارية${\displaystyle 1}$، وهو مكافئ لـ SU(2) وطوبولوجيًا كرة ثلاثية الأبعاد${\displaystyle {\mathcal {S}}^{3}}$.

لاحظ أن${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ليست مجموعة سيمبلكتية بالمعنى الوارد في القسم السابق - فهي لا تحافظ على تناظر معكوس غير منحل${\displaystyle \mathbb {H} }$- شكل ثنائي الخطية على${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$لا يوجد شكل كهذا سوى الشكل الصفري. بل هو متماثل مع مجموعة جزئية من${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$وبالتالي، فإنه يحافظ على شكل تماثلي معقد في فضاء متجهي ذي بُعد مضاعف. وكما هو موضح أدناه، فإن جبر لي لـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$هو الشكل الحقيقي المضغوط لجبر لي التبسيطي المعقد${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$.

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$هي مجموعة لي حقيقية ذات بُعد (حقيقي)${\displaystyle n(2n+1)}$إنه صغير الحجم وسهل التوصيل . ^{[ 17 ]}

جبر لي لـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$يتم تحديدها بواسطة المصفوفات الرباعية المائلة الهرميتية ، وهي مجموعة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات الرباعية التي تحقق

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

أين${\displaystyle A^{\dagger }}$هو المنقول المترافق لـ${\displaystyle A}$(هنا يتم أخذ المرافق الرباعي). يتم تحديد قوس لي بواسطة المبدل.

المجموعة التكاملية التبسيطية${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$تتكون من مصفوفات ذات عناصر صحيحة. أو بعبارة أخرى، هي مجموعة من${\displaystyle 2n\times 2n}$المصفوفات الصحيحة التي تحافظ على الشكل التبسيطي القياسي:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )=\{M\in M_{2n}(\mathbb {Z} ):M^{\mathrm {T} }JM=J\},}$

أين

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

ل${\displaystyle n=1}$تتطابق هذه المجموعة مع المجموعة النمطية${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$.

المجموعة${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )}$يؤثر على نصف الفضاء العلوي لسيجل ، فضاء المركب المتناظر${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات الجزء التخيلي الموجب المحدد، عن طريق التحويلات الخطية الكسرية

${\displaystyle \gamma \cdot \tau =(A\tau +B)(C\tau +D)^{-1},\qquad \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} ).}$

ولهذا السبب،${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )}$ويُطلق عليه أيضًا اسم مجموعة سيجل المعيارية من الدرجة${\displaystyle n}$.

مجموعات التطابق الفرعية الخاصة بها ، مثل مجموعة التطابق الفرعية الرئيسية

${\displaystyle \Gamma _{n}(m)=\{\gamma \in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} ):\gamma \equiv I_{2n}{\pmod {m}}\},}$

تلعب دورًا محوريًا في نظرية الأشكال النمطية لسيجل . خارج قسمة نصف الفضاء العلوي لسيجل على${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )}$هو فضاء المعاملات للأصناف الأبيلية المستقطبة أساسًا ذات البعد${\displaystyle n}$، وقسمة المجموعات الفرعية المتطابقة تتوافق مع إضافة بنية المستوى.

كما يتم دراسة المجموعات الفرعية الحسابية الأخرى للمجموعة التبسيطية، مثل المجموعات شبه المعيارية، في الهندسة الحسابية.

كل جبر لي معقد وشبه بسيط له شكل حقيقي منقسم وشكل حقيقي مضغوط ؛ ويسمى الأول تعقيد الشكلين الأخيرين.

جبر لي لـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$هو شبه بسيط ويرمز له بـ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$صيغته الحقيقية المنفصلة هي${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$وشكلها الحقيقي المختصر هو${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n)}$هذه تتوافق مع مجموعات لي${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$و${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$على التوالى.

الجبر،${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,n-p)}$، وهي جبر لي لـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (p,n-p)}$، هي التوقيع غير المحدد المكافئ للشكل المختصر.

• ميكانيكا هاميلتون
• مجموعة الميتابليكتيك
• المجموعة المتعامدة
• مجموعة شبه نمطية
• مجموعة إسقاطية وحدوية
• تمثيلات مجموعات لي الكلاسيكية
• متعدد الشعب التبسيطي ، المصفوفة التبسيطية ، الفضاء المتجهي التبسيطي ، التمثيل التبسيطي
• مجموعة موحدة
• Θ10

• أرنولد، السادس (1989)، الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  60 (  الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-96890-3
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
• فولتون، دبليو .؛ هاريس، ج. (1991)، نظرية التمثيل، دورة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  129، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-97495-8.
• جولدشتاين، هـ. (1980) [1950]. "الفصل 7". الميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي . ISBN 0-201-02918-9.
• لي، جيه إم (2003)، مقدمة في المشعبات الملساء ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  218، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-95448-1
• روسمان، وولف (2002)، زمر لي - مقدمة من خلال الزمر الخطية ، نصوص أكسفورد للدراسات العليا في الرياضيات، منشورات أكسفورد للعلوم، ISBN 0-19-859683-9
• فيرارو، أليساندرو؛ أوليفاريس، ستيفانو؛ باريس، ماتيو جي إيه (مارس 2005)، "الحالات الغاوسية في المعلومات الكمومية ذات المتغيرات المستمرة"، arXiv : quant-ph/0503237.