منتج ويك

في نظرية الاحتمالات ، يُعرف جداء ويك ، نسبةً إلى الفيزيائي الإيطالي جيان كارلو ويك ، بأنه طريقة خاصة لتعريف الجداء المُعدَّل لمجموعة من المتغيرات العشوائية . في الجداء ذي الرتبة الأدنى، يُقابل التعديل طرح القيمة المتوسطة ، لينتج عنه نتيجة متوسطها صفر. أما في الجداءات ذات الرتب الأعلى، فيتضمن التعديل طرح الجداءات ذات الرتب الأدنى (العادية) للمتغيرات العشوائية، بطريقة متناظرة، لينتج عنه أيضًا نتيجة متوسطها صفر. جداء ويك هو دالة متعددة الحدود للمتغيرات العشوائية، وقيمها المتوقعة ، والقيم المتوقعة لجداءاتها.

يؤدي تعريف جداء ويك مباشرةً إلى قوة ويك لمتغير عشوائي واحد، وهذا يسمح بتعريف نظائر لدوال أخرى للمتغيرات العشوائية بناءً على استبدال القوى العادية في متسلسلة القوى بقوى ويك. ويمكن التعبير عن قوى ويك للمتغيرات العشوائية الشائعة بدلالة دوال خاصة مثل كثيرات حدود برنولي أو كثيرات حدود هيرميت .

لنفترض أن X1 _، ...، Xk هي متغيرات عشوائية ذات عزوم _محدودة . جداء ويك

$${\displaystyle \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \,}$$

هو نوع من المنتجات يُعرَّف بشكل متكرر على النحو التالي:

$${\displaystyle \langle \rangle =1\,}$$

(أي أن حاصل الضرب الفارغ - أي حاصل ضرب لا متغيرات عشوائية على الإطلاق - يساوي 1). بالنسبة لـ k ≥ 1 ، نفرض الشرط التالي:

$${\displaystyle {\partial \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \over \partial X_{i}}=\langle X_{1},\dots ,X_{i-1},{\widehat {X}}_{i},X_{i+1},\dots ,X_{k}\rangle ,}$$

أين${\displaystyle {\widehat {X}}_{i}}$وهذا يعني أن X _i غائب، بالإضافة إلى القيد القائل بأن المتوسط ​​يساوي صفرًا.

$${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}\langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle {\bigr ]}=0.\,}$$

وبالمثل، يمكن تعريف جداء ويك عن طريق كتابة الحد الأحادي X ₁ ، ... ، X _k على أنه "متعدد حدود ويك":

$${\displaystyle X_{1}\dots X_{k}=\!\!\sum _{S\subseteq \left\{1,\dots ,k\right\}}\!\!\operatorname {E} \left[\textstyle \prod _{i\notin S}X_{i}\right]\cdot \langle X_{i}:i\in S\rangle ,}$$

أين${\displaystyle \langle X_{i}:i\in S\rangle }$يشير إلى منتج ويك${\displaystyle \langle X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{m}}\rangle }$لو${\displaystyle S=\left\{i_{1},\dots ,i_{m}\right\}.}$من السهل ملاحظة أن هذا يفي بالتعريف الاستقرائي.

ويترتب على ذلك أن

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle =&\ X-\operatorname {E} [X],\\[4pt]\langle X,Y\rangle =&\ XY-\operatorname {E} [Y]\cdot X-\operatorname {E} [X]\cdot Y+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])-\operatorname {E} [XY],\\[4pt]\langle X,Y,Z\rangle =&\ XYZ\\&-\operatorname {E} [Y]\cdot XZ\\&-\operatorname {E} [Z]\cdot XY\\&-\operatorname {E} [X]\cdot YZ\\&+2(\operatorname {E} [Y])(\operatorname {E} [Z])\cdot X\\&+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Z])\cdot Y\\&+2(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])\cdot Z\\&-\operatorname {E} [XZ]\cdot Y\\&-\operatorname {E} [XY]\cdot Z\\&-\operatorname {E} [YZ]\cdot X\\&-\operatorname {E} [XYZ]\\&+2\operatorname {E} [XY]\operatorname {E} [Z]\\&+2\operatorname {E} [XZ]\operatorname {E} [Y]\\&+2\operatorname {E} [YZ]\operatorname {E} [X]\\&-6(\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [Y])(\operatorname {E} [Z]).\end{aligned}}}$$

في الترميز المتعارف عليه بين الفيزيائيين، يُشار إلى حاصل ضرب ويك غالبًا على النحو التالي:

$${\displaystyle :X_{1},\dots ,X_{k}:\,}$$

ورمز الأقواس الزاوية

$${\displaystyle \langle X\rangle \,}$$

يُستخدم للدلالة على القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي X.

قوة ويك النونية لمتغير عشوائي X هي حاصل ضرب ويك

$${\displaystyle X'^{n}=\langle X,\dots ,X\rangle \,}$$

مع عدد n من العوامل.

متتالية كثيرات الحدود P _n بحيث

$${\displaystyle P_{n}(X)=\langle X,\dots ,X\rangle =X'^{n}\,}$$

تشكل متتالية أبيل ، أي أنها تحقق المتطابقة

$${\displaystyle P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x),\,}$$

بالنسبة لـ n = 0، 1، 2، ... و P ₀ ( x ) هو ثابت غير صفري.

على سبيل المثال، يمكن إثبات أنه إذا كان X موزعًا بشكل منتظم على الفترة [0، 1] ، فإن

$${\displaystyle X'^{n}=B_{n}(X)\,}$$

حيث B _{_n} هي متعددة حدود برنولي من الدرجة n . وبالمثل، إذا كان X يتبع التوزيع الطبيعي بتباين 1، فإن

$${\displaystyle X'^{n}=He_{n}(X)\,}$$

حيث أن He _n هي متعددة الحدود الاحتمالية رقم n .

$${\displaystyle (aX+bY)^{'n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{i}b^{ni}X^{'i}Y^{'{ni}}}$$

$${\displaystyle \langle \operatorname {exp} (aX)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a^{i}}{i!}}X^{'i}}$$

• منتج ويك، موسوعة سبرينغر للرياضيات
• فلورين أفرام ومراد تاكو ، (1987) "نظريات النهاية غير المركزية ومتعددات حدود أبيل"، حوليات الاحتمالات ، المجلد 15، العدد 2، الصفحات 767 - 775، 1987.
• هيدا، ت. وإيكيدا، ن. (1967) "التحليل على فضاء هيلبرت مع نواة مُولِّدة ناتجة عن تكامل وينر المتعدد". وقائع الندوة الخامسة في بيركلي حول الإحصاء الرياضي والاحتمالات (بيركلي، كاليفورنيا، 1965/1966). المجلد الثاني: مساهمات في نظرية الاحتمالات، الجزء الأول، الصفحات  117-143، مطبعة جامعة كاليفورنيا
• ويك، جي سي (1950) "تقييم مصفوفة التصادم". المراجعة الفيزيائية 80 (2)، 268 – 272.