توزيع لابلاس غير المتماثل الملتف

في نظرية الاحتمالات والإحصاء الاتجاهي ، يُعرف توزيع لابلاس غير المتماثل الملتف بأنه توزيع احتمالي ملتف ينتج عن التفاف توزيع لابلاس غير المتماثل حول دائرة الوحدة . في الحالة المتماثلة (معامل عدم التماثل κ  =  1)، يصبح التوزيع توزيع لابلاس ملتفًا. توزيع نسبة متغيرين دائريين ( Z ) من توزيعين أسيين ملتفين مختلفين سيكون له توزيع لابلاس غير متماثل ملتف. تُستخدم هذه التوزيعات في النمذجة العشوائية للبيانات المالية.

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع لابلاس غير المتماثل الملفوف هي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f_{AL}(\theta +2\pi k,m,\lambda ,\kappa )\\[10pt]&={\dfrac {\kappa \lambda }. }}}&{\text{if}}\theta \geq m\\[12pt]{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{e^{2\pi \lambda \kappa }-1}}-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1}}&{\text{if }}\theta <m\end{cases}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle f_{AL}}$هو توزيع لابلاس غير المتماثل . ويقتصر المعامل الزاوي على${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$معامل المقياس هو${\displaystyle \lambda >0}$وهو معامل المقياس للتوزيع غير الملفوف و ${\displaystyle \kappa >0}$يمثل معامل عدم التماثل للتوزيع غير الملفوف.

دالة التوزيع التراكمي${\displaystyle F_{WAL}}$وبالتالي:

${\displaystyle F_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )={\dfrac {\kappa \lambda }{\kappa ^{2}+1}}{\begin{cases}{\dfrac {e^{m\lambda \kappa }(1-e^{-\theta \lambda \kappa })}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa e^{-m\lambda /\kappa }(1-e^{\theta \lambda /\kappa })}{\lambda (e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if }}\theta \leq م\\{\dfrac {1-e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{\lambda \kappa (1-e^{-2\pi \lambda \kappa })}}+{\dfrac {\kappa (1-e^{(\theta -m)\lambda /\kappa })}{\lambda (1-e^{2\pi \lambda /\kappa })}}+{\dfrac {e^{m\lambda \kappa }-1}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa (e^{-m\lambda /\kappa }-1)}{\lambda (e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if }}\theta >m\end{cases}}}$

الدالة المميزة لدالة لابلاس غير المتماثلة الملفوفة هي ببساطة الدالة المميزة لدالة لابلاس غير المتماثلة عند تقييمها عند الوسائط الصحيحة:

${\displaystyle \varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )={\frac {\lambda ^{2}e^{imn}}{\left(ni\lambda /\kappa \right)\left(n+i\lambda \kappa \right)}}}$

مما ينتج عنه تعبير بديل لدالة كثافة الاحتمال غير المتماثلة الملتفة لابلاس بدلالة المتغير الدائري z=e ^{i( θ -m)} صالح لجميع قيم θ و m الحقيقية :

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(z;m,\lambda ,\kappa )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi _{n}(0,\lambda ,\kappa )z^{-n}\\[10pt]&={\frac {\lambda }{\pi (\kappa +1/\kappa )}}{\begin{cases}{\textrm {Im}}\left(\Phi (z,1,-i\lambda \kappa )-\Phi \left(z,1,i\lambda /\kappa \right)\right)-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]\coth(\pi \lambda \kappa )+\coth(\pi \lambda /\kappa )&{\text{إذا }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \Phi ()}$هي دالة ليرش المتسامية و coth() هي دالة الظل الزائدي .

فيما يتعلق بالمتغير الدائري${\displaystyle z=e^{i\theta }}$اللحظات الدائرية لتوزيع لابلاس غير المتماثل الملتف هي الدالة المميزة لتوزيع لابلاس غير المتماثل عند تقييمها عند الوسائط الصحيحة:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )}$

اللحظة الأولى هي القيمة المتوسطة لـ z ، والمعروفة أيضًا باسم المحصلة المتوسطة، أو متجه المحصلة المتوسطة:

${\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {\lambda ^{2}e^{im}}{\left(1-i\lambda /\kappa \right)\left(1+i\lambda \kappa \right)}}}$

الزاوية المتوسطة هي${\displaystyle (-\pi \leq \langle \theta \rangle \leq \pi )}$

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\arg(\,\langle z\rangle \,)=\arg(e^{im})}$

وطول المحصلة المتوسطة هو

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda ^{2}}{\sqrt {\left({\frac {1}{\kappa ^{2}}}+\lambda ^{2}\right)\left(\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\right)}}}.}$

التباين الدائري هو  1  − R 

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا مستمدًا من توزيع لابلاس غير المتماثل (ALD)، فإن${\displaystyle Z=e^{iX}}$سيكون متغيرًا دائريًا مستمدًا من ALD الملفوف، و${\displaystyle \theta =\arg(Z)+\pi }$سيكون متغيرًا زاويًا مستمدًا من ALD الملفوف مع${\displaystyle 0<\theta \leq 2\pi }$.

بما أن توزيع ALD هو توزيع الفرق بين متغيرين مستمدين من التوزيع الأسي ، فإنه يترتب على ذلك أنه إذا تم سحب Z1 _من توزيع أسي ملتف بمتوسط ​​m1 ومعدل λ / κ _{، وتم سحب} Z2 من توزيع أسي ملتف بمتوسط _​​m2 ومعدل λ / κ ، فإن Z1 _{/ Z2} سيكون متغيرًا دائريًا مستمدًا من توزيع ALD _الملتف ذي المعاملات ( m1 - m2 ، λ ، _{κ )} .${\displaystyle \theta =\arg(Z_{1}/Z_{2})+\pi }$سيكون متغيرًا زاويًا مستمدًا من ذلك ALD الملفوف مع${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$.

• توزيع مغلف
• إحصائيات اتجاهية