فرونسكيان

في الرياضيات ، محدد فرونسكي لـ${\displaystyle n}$الدوال القابلة للتفاضل هي محدد مصفوفة تتكون من الدوال ومشتقاتها حتى الرتبة${\displaystyle n-1}$تم تقديمه في عام 1812 من قبل عالم الرياضيات البولندي جوزيف فرونسكي ، ويستخدم في دراسة المعادلات التفاضلية ، حيث يمكنه إظهار الاستقلال الخطي لمجموعات معينة من الحلول.

المحدد الرونسكي لدالتين قابلتين للتفاضل${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يكون${\displaystyle W(f,g)=fg'-gf'}$.

وبشكل أعم، لـ${\displaystyle n}$الدوال ذات القيم الحقيقية أو المركبة${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$، وهي${\displaystyle n-1}$أوقات قابلة للتفاضل على فترة${\displaystyle I}$، الرونسكي${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})}$هي الوظيفة

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}}$

محدد للجميع${\displaystyle x\in I}$.

هذا هو محدد المصفوفة التي تم إنشاؤها بوضع الدوال في الصف الأول، ومشتقاتها الأولى في الصف الثاني، وهكذا حتى الصف الثالث.${\displaystyle (n-1)}$المشتقة الأولى، وبالتالي تشكيل مصفوفة مربعة .

عندما تكون الدوال حلولاً لمعادلة تفاضلية خطية ، يمكن إيجاد محدد فرونسكي بشكل صريح باستخدام متطابقة أبيل ، حتى لو لم تكن الدوال نفسها معروفة بشكل صريح. (انظر أدناه.)

إذا كانت الدوال مرتبطة خطيًا، فإن أعمدة محدد فرونسكي تكون مرتبطة خطيًا أيضًا (لأن التفاضل عملية خطية)، وبالتالي فإن محدد فرونسكي يساوي صفرًا. لذا، يمكن إثبات أن مجموعة من الدوال القابلة للتفاضل مستقلة خطيًا على فترة ما بإثبات أن محدد فرونسكي الخاص بها لا يساوي صفرًا بشكل مطابق. مع ذلك، قد يساوي صفرًا عند نقاط معزولة. ^{[ 1 ]}

من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن${\displaystyle W=0}$^{يشير مصطلح "في كل مكان "} إلى التبعية الخطية. وقد أشار بيانو (1889) إلى أن الدالتين x² و | x | · x  لهما مشتقات متصلة، وأن محددهما الفرونسكي يساوي صفرًا في كل مكان، ومع ذلك فهما ليستا تابعتين خطيًا في أي جوار للصفر . ^{[ أ ]} هناك عدة شروط إضافية تتضافر مع تساوي محدد الفرونسكي في فترة معينة لتدل على التبعية الخطية.

• لاحظ ماكسيم بوشيه أنه إذا كانت الدوال تحليلية ، فإن تلاشي محدد فرونسكي في فترة ما يعني أنها مرتبطة خطيًا. ^{[ 3 ]}
• قدم بوشر (1901) عدة شروط أخرى لاختفاء فرونسكيان للدلالة على الاعتماد الخطي؛ على سبيل المثال، إذا كان فرونسكيان لـ n دالة يساوي صفرًا بشكل متطابق، فإن فرونسكيان n لـ n - 1 منها لا يختفي عند أي نقطة، فإن الدوال تعتمد خطيًا.
• قدم وولسون (1989أ) شرطًا أكثر عمومية، والذي يؤدي إلى جانب تلاشي فرونسكيان إلى الاعتماد الخطي.

على حقول ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$قد يختفي المحدد الرونسكي حتى بالنسبة لكثيرات الحدود المستقلة خطيًا؛ على سبيل المثال، المحدد الرونسكي لـ${\displaystyle x^{p}}$والدالة الثابتة${\displaystyle 1}$يساوي صفرًا تمامًا.

بشكل عام، بالنسبة لـ${\displaystyle n}$معادلة تفاضلية خطية من الرتبة n، إذا${\displaystyle n-1}$الحلول معروفة، ويمكن تحديد الحل الأخير باستخدام محدد فرونسكي.

لنفترض المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية في تدوين لاغرانج : $${\displaystyle y''=a(x)y'+b(x)y}$$ أين${\displaystyle a(x)}$،${\displaystyle b(x)}$لنفترض أن y هي الدالة المجهولة المطلوب إيجادها.${\displaystyle y_{1},y_{2}}$الحلان للمعادلة ويشكلان محدد فرونسكي الخاص بهما $${\displaystyle W(x)=y_{1}y'_{2}-y_{2}y'_{1}}$$

ثم التفريق${\displaystyle W(x)}$وباستخدام حقيقة أن${\displaystyle y_{i}}$إن اتباع المعادلة التفاضلية أعلاه يوضح أن $${\displaystyle W'(x)=a(x)W(x)}$$

لذلك، فإنّ المحدد الرونسكي يخضع لمعادلة تفاضلية بسيطة من الدرجة الأولى ويمكن حلها بدقة: $${\displaystyle W(x)=C~e^{A(x)}}$$ أين${\displaystyle A'(x)=a(x)}$و${\displaystyle C}$ثابت.

لنفترض الآن أننا نعرف أحد الحلول، لنقل${\displaystyle y_{2}}$ثم، بحسب تعريف فرونسكي،${\displaystyle y_{1}}$يخضع لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى: $${\displaystyle y'_{1}-{\frac {y'_{2}}{y_{2}}}y_{1}=-W(x)/y_{2}}$$ ويمكن حلها بدقة (على الأقل نظرياً).

يمكن تعميم هذه الطريقة بسهولة لتشمل المعادلات ذات الرتب الأعلى.

يمكن أيضًا تعزيز العلاقة بين محدد فرونسكي والاستقلال الخطي في سياق المعادلة التفاضلية. إذا كان لدينا${\displaystyle n}$الدوال المستقلة خطيًا والتي تمثل جميعها حلولًا لنفس المعامل الأحادي${\displaystyle n}$معادلة تفاضلية خطية متجانسة عادية من الرتبة n${\displaystyle y^{(n)}+Ly=0}$(أين${\displaystyle L}$هو مؤثر تفاضلي خطي بالنسبة إلى${\displaystyle x}$أقل من الطلب${\displaystyle n}$) على فترة زمنية معينة${\displaystyle I}$إذن، فإن قيمة فرونسكيان الخاصة بهم تساوي صفرًا في أي مكان .${\displaystyle I}$وبالتالي، فإن الأمثلة المضادة مثل${\displaystyle x^{2}}$و${\displaystyle x{|x|}}$(الذي يكون فيه Wronskian يساوي صفرًا في كل مكان) أو حتى${\displaystyle x^{2}}$و${\displaystyle 1}$(الذي كان ورونسكيان)${\displaystyle 2x}$(حيث تكون القيمة صفرًا في مكان ما) مستبعدة؛ إذ لا يمكن لأي من الزوجين أن يتكون من حلول لنفس المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية من هذا النوع. (صحيح أن${\displaystyle x^{2}}$و${\displaystyle 1}$كلاهما حلان لنفس المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة${\displaystyle y^{(3)}=0}$لكن الفرونسكي${\displaystyle -2}$من بين الحلول المستقلة الثلاثة${\displaystyle x^{2}}$،${\displaystyle x}$، و${\displaystyle 1}$(ليس صفراً في أي مكان.)

بالنسبة لـ n دالة لعدة متغيرات، فإن المحدد الرونسكي المعمم هو محدد لمصفوفة من الرتبة n × n عناصرها Di ₍ fj ₎ ( حيث 0 ≤ i < n )، حيث يمثل كل Di مؤثرًا تفاضليًا جزئيًا خطيًا ثابت المعاملات من الرتبة i . إذا كانت الدوال مرتبطة خطيًا، فإن جميع المحددات الرونسكية المعممة تتلاشى. وكما هو الحال في حالة المتغير الواحد _، فإن العكس ليس صحيحًا بشكل عام: فإذا تلاشت جميع المحددات الرونسكية المعممة، فهذا لا يعني بالضرورة أن الدوال مرتبطة خطيًا. ومع ذلك، فإن العكس صحيح في العديد من الحالات الخاصة. على سبيل المثال، إذا كانت الدوال متعددة الحدود وتلاشت جميع المحددات الرونسكية المعممة، فإن الدوال تكون مرتبطة خطيًا. استخدم روث هذه النتيجة المتعلقة بالمحددات الرونسكية المعممة في برهانه لنظرية روث . لمزيد من الشروط العامة التي يكون فيها العكس صحيحًا، انظر وولسون (1989ب) .

تم تقديم Wrońskian بواسطة Józef Hoene-Wroński ( 1812 ) وأعطي اسمه الحالي بواسطة Thomas Muir ( 1882 ، الفصل الثامن عشر) .  

• تغير المعلمات
• مصفوفة مور ، مماثلة لمصفوفة فرونسكي مع استبدال التفاضل بتشاكل فروبينيوس على حقل منتهٍ.
• المصفوفة البديلة
• مصفوفة فاندرموند

• بيندر، كارل م.؛ أورزاج ، ستيفن أ. (1999) [1978]. أساليب رياضية متقدمة للعلماء والمهندسين: الأساليب التقاربية ونظرية الاضطراب . سبرينغر نيويورك. ISBN 978-0-387-98931-0.

• بوشيه، ماكسيم (1900-1901). "نظرية الارتباط الخطي" . حوليات الرياضيات . 2 (1/4): 81-96 . doi : 10.2307/2007186 . hdl : 2027/hvd.hn57mn . ISSN 0003-486X . JSTOR 2007186 .  

• بوشيه، ماكسيم (1901). "حالات معينة يكون فيها تلاشي محدد فرونسكي شرطًا كافيًا للارتباط الخطي" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 2 (2): 139-149 . doi : 10.2307/1986214 . ISSN 0002-9947 . JFM 32.0313.02 . JSTOR 1986214 .   

• بوستان، ألين؛ دوماس، فيليب (2010). "محددات فرونسكي والاستقلال الخطي". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 117 (8): 722-727 . arXiv : 1301.6598 . doi : 10.4169/000298910x515785 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 10.4169/000298910x515785 .  

• هارتمان، فيليب (1964)، المعادلات التفاضلية العادية ، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، ISBN 978-0-89871-510-1، MR 0171038 ، Zbl 0125.32102  {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

• Hoene-Wroński، Józef (1812)، دحض نظرية الوظائف التحليلية في لاغرانج ، باريس

• موير، توماس (1882)، رسالة في نظرية المحددات. ماكميلان، JFM 15.0118.05 

• بيانو، جوزيبي (1889)، “Sur le déterminant wronskien”. ، الرياضيات (بالفرنسية)، التاسع : 75–76 ، 110–112 ، JFM 21.0153.01 

• روزوف، ن. خ. (2001) [1994]، "فرونسكيان" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

• وولسون، كينيث (1989أ)، "شرط مكافئ للتبعية الخطية للدوال ذات المحدد الرونسكي المتلاشي"، الجبر الخطي وتطبيقاته ، 116 : 1-8 ، doi : 10.1016/0024-3795(89)90393-5 ، ISSN 0024-3795 ، MR 0989712 ، Zbl 0671.15005   

• وولسون، كينيث (1989ب)، "الاعتماد الخطي لمجموعة دوال من m متغيرات ذات محددات ورونسكي معممة معدومة"، الجبر الخطي وتطبيقاته ، 117 : 73-80 ، doi : 10.1016/0024-3795(89)90548-X ، ISSN 0024-3795 ، MR 0993032 ، Zbl 0724.15004