معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات ، المعادلة التفاضلية الخطية هي معادلة تفاضلية خطية في الدالة المجهولة ومشتقاتها، لذا يمكن كتابتها على الصورة التالية :$${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$ حيث أن a ₀ ( x ) , ..., a _n ( x ) و b ( x ) هي دوال قابلة للتفاضل بشكل عشوائي لا تحتاج إلى أن تكون خطية، و y ′, ..., y ^{( n )} هي المشتقات المتتالية لدالة غير معروفة y للمتغير x .

تُسمى هذه المعادلة معادلة تفاضلية عادية . وقد تكون المعادلة التفاضلية الخطية أيضاً معادلة تفاضلية جزئية خطية ، إذا كانت الدالة المجهولة تعتمد على عدة متغيرات، وكانت المشتقات التي تظهر في المعادلة مشتقات جزئية .

يمكن حل المعادلات التفاضلية الخطية، أو أنظمة المعادلات الخطية التي تكون معاملات معادلاتها المتجانسة ثابتة، باستخدام التكامل العددي ، مما يعني إمكانية التعبير عن الحلول بدلالة التكاملات . وينطبق هذا أيضًا على المعادلات الخطية من الرتبة الأولى ذات المعاملات غير الثابتة. أما المعادلات من الرتبة الثانية أو أعلى ذات المعاملات غير الثابتة، فلا يمكن حلها عمومًا باستخدام التكامل العددي. بالنسبة للمعادلات من الرتبة الثانية، تسمح خوارزمية كوفاسيتش بتحديد ما إذا كانت هناك حلول بدلالة التكاملات، وحسابها إن وجدت.

تُسمى حلول المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات متعددة الحدود بالدوال الهولونومية . تتميز هذه الفئة من الدوال بالاستقرار تحت عمليات الجمع والضرب والتفاضل والتكامل ، وتضم العديد من الدوال الشائعة والخاصة ، مثل الدالة الأسية ، واللوغاريتم ، والجيب ، وجيب التمام ، والدوال المثلثية العكسية ، ودالة الخطأ ، ودوال بيسل ، والدوال فوق الهندسية . يسمح تمثيل هذه الدوال بالمعادلة التفاضلية المحددة والشروط الابتدائية بإجراء معظم عمليات التفاضل والتكامل خوارزميًا عليها ، مثل حساب الدوال الأصلية ، والنهايات ، والتوسع التقاربي ، والتقييم العددي بدقة عالية، مع حد خطأ معتمد.

أعلى رتبة اشتقاق تظهر في معادلة تفاضلية (خطية) هي رتبة المعادلة. يُطلق أحيانًا على الحد b ( x ) ، الذي لا يعتمد على الدالة المجهولة ومشتقاتها، اسم الحد الثابت في المعادلة (قياسًا على المعادلات الجبرية )، حتى عندما يكون هذا الحد دالة غير ثابتة. إذا كان الحد الثابت هو الدالة الصفرية ، فإن المعادلة التفاضلية تُسمى متجانسة ، لأنها متعددة حدود متجانسة في الدالة المجهولة ومشتقاتها. المعادلة الناتجة عن استبدال الحد الثابت بالدالة الصفرية في معادلة تفاضلية خطية هي:المعادلة المتجانسة المرتبطة . تكون للمعادلة التفاضليةمعاملات ثابتةإذاالدوال الثابتةكمعاملات في المعادلة المتجانسة المرتبطة بها.

أحل المعادلة التفاضلية هو دالة تحقق المعادلة. تشكل حلول المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسةفضاءً متجهيًا. في الحالة العادية، يكون لهذا الفضاء المتجهي بُعد محدود، يساوي رتبة المعادلة. تُحسب جميع حلول المعادلة التفاضلية الخطية بإضافة أي حل للمعادلة المتجانسة المرتبطة بها إلى حل خاص.

المؤثر التفاضلي الأساسي من الرتبة i هو دالة تربط أي دالة قابلة للتفاضل بمشتقتها من الرتبة i ، أو في حالة وجود عدة متغيرات، بإحدى مشتقاتها الجزئية من الرتبة i . ويُشار إليه عادةً بـ $${\displaystyle {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}}$$ في حالة الدوال أحادية المتغير ، و $${\displaystyle {\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}}$$ في حالة الدوال ذات n متغير. تشمل المؤثرات التفاضلية الأساسية المشتقة من الرتبة 0، وهي دالة التطابق.

المؤثر التفاضلي الخطي (يُختصر في هذه المقالة بالمؤثر الخطي أو ببساطة المؤثر ) هو توليفة خطية من المؤثرات التفاضلية الأساسية، حيث تكون الدوال القابلة للتفاضل هي المعاملات. في حالة المتغير الواحد، يكون للمؤثر الخطي الشكل ^{[ 1 ].}$${\displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$ حيث أن a ₀ ( x ), ..., a _n ( x ) هي دوال قابلة للتفاضل، والعدد الصحيح غير السالب n هو رتبة المؤثر (إذا لم تكن a _n ( x ) هي الدالة الصفرية ).

ليكن L مؤثرًا تفاضليًا خطيًا. يُرمز عادةً لتطبيق L على دالة f بـ Lf أو Lf ( X ) عند الحاجة إلى تحديد المتغير (يجب عدم الخلط بين هذا وبين الضرب). المؤثر التفاضلي الخطي هو مؤثر خطي ، لأنه يحول المجاميع إلى مجاميع، والضرب في عدد قياسي إلى الضرب في نفس العدد القياسي.

بما أن مجموع مؤثرين خطيين هو مؤثر خطي، وكذلك حاصل ضرب مؤثر خطي في دالة قابلة للتفاضل (على اليسار)، فإن المؤثرات التفاضلية الخطية تُشكل فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة (بحسب طبيعة الدوال المدروسة). كما تُشكل أيضًا وحدةً حرةً على حلقة الدوال القابلة للتفاضل.

تتيح لغة المؤثرات كتابة مختصرة للمعادلات التفاضلية: إذا $${\displaystyle L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$ إذا كان مؤثرًا تفاضليًا خطيًا، فإن المعادلة $${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$ قد يُعاد كتابتها $${\displaystyle Ly=b(x).}$$

قد يكون هناك عدة صيغ مختلفة لهذه الصيغة؛ على وجه الخصوص، قد يظهر متغير التفاضل بشكل صريح أو لا يظهر في y والطرف الأيمن من المعادلة، مثل Ly ( x ) = b ( x ) أو Ly = b .

نواة المؤثر التفاضلي الخطي هي نواته كتحويل خطي، أي الفضاء المتجهي لحلول المعادلة التفاضلية (المتجانسة) Ly = 0 .

في حالة المؤثر التفاضلي العادي من الرتبة n ، تنص نظرية وجود كاراثيودوري على أنه في ظل شروط بسيطة للغاية، تكون نواة L فضاءً متجهيًا ذا بُعد n ، وأن حلول المعادلة Ly ( x ) = b ( x ) لها الشكل التالي: $${\displaystyle S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),}$$ حيث c₁ _, ..., cₙ أعداد اختيارية. عادةً، تتحقق فرضيات نظرية كاراثيودوري في فترة I ، إذا _كانت الدوال b , a₀ _{, ...} , aₙ متصلة في I ، وكان هناك عدد حقيقي موجب k بحيث يكون | aₙ ( x ) | > k لكل x _في I.

تكون المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات معاملات ثابتة إذا كانت على الصورة التالية: $${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$ حيث تمثل a1 _، ...، an _{أعدادًا} (حقيقية أو مركبة). بعبارة أخرى، يكون لها معاملات ثابتة إذا تم تعريفها بواسطة مؤثر خطي ذي معاملات ثابتة.

يعود تاريخ دراسة هذه المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة إلى ليونارد أويلر ، الذي قدم الدالة الأسية.${\displaystyle e^{x}}$وهو الحل الوحيد للمعادلة${\displaystyle f'=f}$بحيث${\displaystyle f(0)=1}$ويترتب على ذلك أن المشتقة النونية لـ${\displaystyle e^{cx}}$يكون${\displaystyle c^{n}e^{cx}}$وهذا يسمح بحل المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة بسهولة تامة.

يترك $${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$ لتكن معادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة (أي أن a ₀ ، ...، a _n هي أعداد حقيقية أو مركبة).

إن البحث عن حلول لهذه المعادلة التي تأخذ الشكل e ^αx يكافئ البحث عن الثوابت α بحيث $${\displaystyle a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.}$$ يُظهر تحليل العامل المشترك e ^αx (الذي لا يساوي الصفر أبدًا) أن α يجب أن يكون جذرًا لكثير الحدود المميز$${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}}$$ من المعادلة التفاضلية، وهي الطرف الأيسر من المعادلة المميزة$${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.}$$

عندما تكون هذه الجذور جميعها متميزة ، يكون لدينا n حلاً متميزاً، ليست بالضرورة حقيقية، حتى لو كانت معاملات المعادلة حقيقية. يمكن إثبات استقلال هذه الحلول خطياً ، من خلال حساب محدد فاندرموند لقيم هذه الحلول عند x = 0، ...، n – 1. تشكل هذه الحلول مجتمعةً أساساً للفضاء المتجهي لحلول المعادلة التفاضلية (أي نواة المؤثر التفاضلي).

في حالة وجود جذور بسيطة فقط لكثير الحدود المميز ، فإن ما سبق يوفر أساسًا كاملاً لفضاء متجهات الحلول. أما في حالة وجود جذور متعددة ، فيلزم وجود حلول أكثر استقلالًا خطيًا لتكوين أساس. وتأخذ هذه الحلول الشكل التالي: $${\displaystyle x^{k}e^{\alpha x},}$$ حيث k عدد صحيح غير سالب، وα جذر لكثير الحدود المميز ذي التعددية m ، و k < m . لإثبات أن هذه الدوال حلول، تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان α جذرًا لكثير الحدود المميز ذي التعددية m ، فيمكن تحليل كثير الحدود المميز إلى P ( t )( t − α ) ^m . وبالتالي، فإن تطبيق المؤثر التفاضلي على المعادلة يكافئ تطبيق المؤثر m مرة.${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ثم المؤثر الذي تكون فيه P متعددة الحدود المميزة. وفقًا لنظرية الإزاحة الأسية ، $${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},}$$

وبالتالي نحصل على الصفر بعد تطبيق k + 1 من${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$.

وبما أن مجموع تعدد جذور كثير الحدود يساوي درجة كثير الحدود، فإن عدد الحلول المذكورة أعلاه يساوي رتبة المعادلة التفاضلية، وتشكل هذه الحلول أساسًا للفضاء المتجه للحلول .

في الحالة الشائعة حيث تكون معاملات المعادلة حقيقية، يكون من الأنسب عمومًا وجود أساس للحلول يتكون من دوال حقيقية . يمكن الحصول على هذا الأساس من الأساس السابق بملاحظة أنه إذا كان a + ib جذرًا لكثير الحدود المميز، فإن a – ib هو أيضًا جذر من نفس الرتبة. وبالتالي، يتم الحصول على أساس حقيقي باستخدام صيغة أويلر ، واستبدال${\displaystyle x^{k}e^{(a+ib)x}}$و${\displaystyle x^{k}e^{(a-ib)x}}$بواسطة${\displaystyle x^{k}e^{ax}\cos(bx)}$و${\displaystyle x^{k}e^{ax}\sin(bx)}$.

يمكن كتابة معادلة غير متجانسة من الرتبة n ذات معاملات ثابتة على النحو التالي$${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),}$$ حيث أن a ₁ ، ...، a _n هي أعداد حقيقية أو مركبة، و f هي دالة معطاة لـ x ، و y هي الدالة المجهولة (من أجل التبسيط، سيتم حذف " ( x ) " فيما يلي).

توجد عدة طرق لحل هذه المعادلة. وتعتمد أفضل طريقة على طبيعة الدالة f التي تجعل المعادلة غير متجانسة. إذا كانت f عبارة عن توليفة خطية من دوال أسية وجيبية، فيمكن استخدام صيغة الاستجابة الأسية . أما إذا ^كانت f ، بشكل أعم، عبارة عن توليفة خطية من دوال على الصورة xⁿe⁻ᵏ⁺ ، ^{و xⁿcos} ( ax ⁾ ، و xⁿsin ( ax ) ، حيث n عدد صحيح غير سالب، و a ثابت (لا يشترط أن يكون متساويًا في جميع الحدود)، فيمكن ^{استخدام} طريقة المعاملات غير المحددة . وبشكل أعم، تُطبق طريقة الإفناء عندما تحقق f معادلة تفاضلية خطية متجانسة ، وعادةً ما تكون دالة هولونومية .

الطريقة الأكثر عمومية هي تغيير الثوابت ، والتي يتم عرضها هنا.

الحل العام للمعادلة المتجانسة المرتبطة $${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0}$$ يكون $${\displaystyle y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},}$$ حيث ( y₁ _, ..., yn ₎ أساسٌ للفضاء المتجهي للحلول، و u₁ , _... , yn ثوابت اختيارية _. تستمد طريقة تغيير الثوابت اسمها من الفكرة التالية: بدلاً من اعتبار u₁ _, ..., _yn ثوابت، يمكن اعتبارها دوال مجهولة يجب تحديدها لجعل y حلاً للمعادلة غير المتجانسة. ولتحقيق هذا الغرض، تُضاف القيود التالية :$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}}$$ مما يستلزم (بحسب قاعدة الضرب والاستقراء ) $${\displaystyle y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}}$$ لـ i = 1، ...، n – 1 ، و $${\displaystyle y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

باستبدال y ومشتقاتها في المعادلة الأصلية بهذه التعبيرات، وباستخدام حقيقة أن y1 _، ...، yn هي حلول للمعادلة المتجانسة الأصلية، نحصل _على$${\displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

تشكل هذه المعادلة والمعادلات السابقة التي يكون _طرفها الأيسر صفرًا نظامًا من n معادلة خطية بدلالة _u′1 ، ...، u′n ، حيث معاملات هذه المعادلات دوال معلومة ( f ، و yᵢ _، ومشتقاتها). يمكن حل هذا النظام بأي طريقة من طرق الجبر الخطي . بحساب الدوال الأصلية، _نحصل على _u₁ ، ... ، _uₙ ، _ومن ثم y = u₁y₁ + _{... +} uₙyₙ .

بما أن الدوال الأصلية معرفة حتى إضافة ثابت، فإن المرء يجد مرة أخرى أن الحل العام للمعادلة غير المتجانسة هو مجموع حل عشوائي والحل العام للمعادلة المتجانسة المرتبطة به.

الصيغة العامة لمعادلة تفاضلية خطية عادية من الرتبة 1، بعد قسمة معامل y ′( x ) ، هي: $${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$

إذا كانت المعادلة متجانسة، أي g ( x ) = 0 ، فيمكن إعادة كتابتها وتكاملها: $${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,}$$ حيث k ثابت تكامل اختياري و${\displaystyle F=\textstyle \int f\,dx}$أي دالة أصلية للدالة f . وبالتالي، فإن الحل العام للمعادلة المتجانسة هو $${\displaystyle y=ce^{F},}$$ حيث c = e ^k ثابت اختياري.

بالنسبة للمعادلة غير المتجانسة العامة، من المفيد ضرب طرفي المعادلة بمقلوب e − ^{F لحل} المعادلة المتجانسة. ^{[ 2 ]} وهذا يعطي $${\displaystyle y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.}$$ كما​${\displaystyle -fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),}$تسمح قاعدة الضرب بإعادة كتابة المعادلة على النحو التالي :$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.}$$ وبالتالي، فإن الحل العام هو $${\displaystyle y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,}$$ حيث c هو ثابت التكامل، و F هو أي دالة أصلية لـ f (تغيير الدالة الأصلية يؤدي إلى تغيير ثابت التكامل).

يتألف نظام المعادلات التفاضلية الخطية من عدة معادلات تفاضلية خطية تتضمن عدة دوال مجهولة. وبشكل عام، يقتصر البحث على الأنظمة التي يتساوى فيها عدد الدوال المجهولة مع عدد المعادلات.

يمكن تحويل أي معادلة تفاضلية خطية عادية ونظام من هذه المعادلات إلى نظام من المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى عن طريق إضافة متغيرات لجميع المشتقات باستثناء أعلى رتبة. أي، إذا${\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(k)}}$إذا ظهرت في معادلة، فيمكن استبدالها بدوال مجهولة جديدة .${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$التي يجب أن تحقق المعادلات${\displaystyle y'=y_{1}}$و​​${\displaystyle y_{i}'=y_{i+1},}$for i = 1, ..., k – 1 .

يمكن عادةً حل نظام خطي من الدرجة الأولى، يحتوي على n دالة مجهولة و n معادلة تفاضلية، لإيجاد مشتقات الدوال المجهولة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فهذا نظام تفاضلي جبري ، وهذه نظرية مختلفة. لذلك، فإن الأنظمة التي نتناولها هنا تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}}$$ أين​${\displaystyle b_{n}}$و​​${\displaystyle a_{i,j}}$هي دوال لـ x . في تدوين المصفوفات، يمكن كتابة هذا النظام (مع حذف " ( x ) "). $${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .}$$

طريقة الحل مشابهة لطريقة حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى، ولكن مع وجود تعقيدات ناتجة عن عدم تبادلية ضرب المصفوفات.

يترك $${\displaystyle \mathbf {u} '=A\mathbf {u} .}$$ لتكن المعادلة المتجانسة المرتبطة بمعادلة المصفوفة أعلاه. تشكل حلولها فضاءً متجهيًا ذا بُعد n ، وبالتالي فهي أعمدة مصفوفة مربعة من الدوال .${\displaystyle U(x)}$، والتي لا يكون محددها هو الدالة الصفرية. إذا كان n = 1 ، أو كانت A مصفوفة من الثوابت، أو بشكل أعم، إذا كانت A تتبادل مع مشتقتها الأصلية .${\displaystyle \textstyle B=\int Adx}$عندئذٍ ، يمكن اختيار U مساويًا للدالة الأسية لـ B. في الواقع، في هذه الحالات، يكون لدى المرء $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).}$$ في الحالة العامة، لا يوجد حل مغلق للمعادلة المتجانسة، ويتعين على المرء استخدام إما طريقة عددية ، أو طريقة تقريبية مثل توسيع ماغنوس .

بمعرفة المصفوفة U ، يكون الحل العام للمعادلة غير المتجانسة هو $${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,}$$ حيث مصفوفة الأعمدة${\displaystyle \mathbf {y_{0}} }$هو ثابت تكامل اختياري .

إذا تم إعطاء الشروط الابتدائية على النحو التالي $${\displaystyle \mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},}$$ الحل الذي يحقق هذه الشروط الأولية هو $${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.}$$

يمكن حل المعادلات الخطية العادية من الرتبة الأولى ذات المعاملات المتغيرة باستخدام التكامل العددي ، مما يعني إمكانية التعبير عن الحلول بدلالة التكاملات . لا ينطبق هذا على المعادلات من الرتبة الثانية على الأقل. هذه هي النتيجة الرئيسية لنظرية بيكار-فيسيو التي أسسها إميل بيكار وإرنست فيسيو ، والتي تُعرف تطوراتها الحديثة بنظرية غالوا التفاضلية .

يمكن مقارنة استحالة الحل باستخدام التكامل العددي بنظرية أبيل-روفيني ، التي تنص على أنه لا يمكن، بشكل عام، حل معادلة جبرية من الدرجة الخامسة على الأقل باستخدام الجذور. ويمتد هذا التشابه إلى أساليب البرهان، وهو ما يبرر تسمية نظرية غالوا التفاضلية .

على غرار الحالة الجبرية، تسمح هذه النظرية بتحديد المعادلات التي يمكن حلها بالتكامل العددي، وحلها إن أمكن. مع ذلك، فإن الحسابات اللازمة لكلا النظريتين بالغة الصعوبة، حتى باستخدام أقوى الحواسيب.

ومع ذلك، فقد تم حل حالة الرتبة الثانية ذات المعاملات النسبية بشكل كامل بواسطة خوارزمية كوفاسيتش .

الدالة الهولونومية ، وتسمى أيضًا الدالة المحدودة D ، هي دالة تمثل حلاً لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات متعددة الحدود.

معظم الدوال الشائعة في الرياضيات هي دوال هولونومية أو نواتج قسمة دوال هولونومية. في الواقع، تشمل الدوال الهولونومية كثيرات الحدود ، والدوال الجبرية ، واللوغاريتمات ، والدوال الأسية ، ودوال الجيب ، وجيب التمام ، وجيب التمام الزائدي ، وجيب التمام الزائدي ، والدوال المثلثية العكسية ، والدوال الزائدية العكسية ، والعديد من الدوال الخاصة مثل دوال بيسل والدوال فوق الهندسية .

تتمتع الدوال الهولونومية بعدة خصائص إغلاق ؛ وعلى وجه الخصوص، فإن مجاميع الدوال الهولونومية، وحاصل ضربها، ومشتقاتها، وتكاملاتها هي دوال هولونومية. علاوة على ذلك، فإن خصائص الإغلاق هذه فعالة، بمعنى أنه توجد خوارزميات لحساب المعادلة التفاضلية لنتيجة أي من هذه العمليات، بمعرفة المعادلات التفاضلية للمدخلات. ^{[ 3 ]}

تتجلى فائدة مفهوم الدوال الهولونومية في نظرية زيلبرغر، والتي تلي ذلك. ^{[ 3 ]}

المتتالية الهولونومية هي متتالية من الأعداد يمكن توليدها من علاقة تكرارية ذات معاملات متعددة الحدود. تشكل معاملات متسلسلة تايلور عند نقطة معينة من دالة هولونومية متتالية هولونومية. وعلى العكس، إذا كانت متتالية معاملات متسلسلة قوى هولونومية، فإن المتسلسلة تُعرّف دالة هولونومية (حتى لو كان نصف قطر التقارب صفرًا). توجد خوارزميات فعّالة لكلا التحويلين، أي لحساب العلاقة التكرارية من المعادلة التفاضلية، والعكس صحيح . ^{[ 3 ]}

ويترتب على ذلك أنه إذا تم تمثيل الدوال الهولونومية (في الحاسوب) من خلال معادلاتها التفاضلية المحددة وشروطها الأولية، فإنه يمكن إجراء معظم عمليات التفاضل والتكامل تلقائيًا على هذه الدوال، مثل المشتقة والتكامل غير المحدد والتكامل المحدد والحساب السريع لمتسلسلة تايلور (بفضل علاقة التكرار على معاملاتها) والتقييم بدقة عالية مع حد معتمد لخطأ التقريب والنهايات وتحديد مواقع النقاط الشاذة والسلوك التقاربي عند اللانهاية وبالقرب من النقاط الشاذة وإثبات المتطابقات وما إلى ذلك ^{[ 4 ].}

• قرض عقاري ذو سداد مستمر
• تحويل فورييه
• تحويل لابلاس
• معادلة الفرق الخطي
• تغير المعلمات

• بيركوف، غاريت وروتا، جيان كارلو (1978)، المعادلات التفاضلية العادية ، نيويورك: جون وايلي وأولاده، ISBN 0-471-07411-X
• غيرشنفيلد، نيل (1999)، طبيعة النمذجة الرياضية ، كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-57095-4
• روبنسون، جيمس سي. (2004)، مقدمة في المعادلات التفاضلية العادية ، كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-82650-0

• https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
• قاموس ديناميكي للدوال الرياضية، مؤرشف بتاريخ 6 يوليو 2010 على موقع Wayback Machine . دراسة تلقائية وتفاعلية للعديد من الدوال الهولونومية.