مركز التطابق Yff

في الهندسة ، يُعد مركز تطابق Yff نقطة خاصة مرتبطة بالمثلث. هذه النقطة الخاصة هي مركز المثلث ، وقد بدأ بيتر Yff دراسة مركز المثلث هذا في عام 1987. ^{[ 1 ]}

المنصف للزاوية A في المثلث △ ABC هو خط مستقيم يمر بالنقطتين P1 _و Q1 ، حيث تقع P1 على _الضلع AB وتقع Q1 على _الضلع AC ، بحيث _يكون المثلث △ AP1Q1 مثلثًا متساوي الساقين . المنصف للزاوية _A هو خط ^مستقيم عمودي على منصف الزاوية A. اخترع بيتر يف المنصفات عام _1963. ^{[ 2} ]

ليكن _المثلث △ ABC أي مثلث. ولتكن P1Q1 مثلثًا _متساوي الساقين للزاوية A ، _و P2Q2 مثلثًا متساوي الساقين للزاوية B _، و P3Q3 مثلثًا متساوي الساقين للزاوية _C. وليكن المثلث △ A'B'C ' _هو المثلث المتكون من هذه المثلثات الثلاثة . _{المثلثات} الأربعة △ A'P2Q3 _، و △ Q1B'P3 _{، و} △ P1Q2C ' _، و △ A'B'C ' متشابهة _دائمًا .

توجد مجموعة فريدة من ثلاثة مثلثات متساوية الساقين _{P1Q1 و} P2Q2 و P3Q3 بحيث _تكون المثلثات الأربعة △ A'P2Q3 و △ _Q1B'P3 و _△ P1Q2C ' _و △ A'B'C ' متطابقة . _في هذه الحالة الخاصة، _{يُسمى المثلث} △ A'B'C ' المُشكَّل من المثلثات _{الثلاثة متساوية الساقين} بالمثلث المركزي Yff للمثلث △ ABC . ^{[ 3 ]}

تُسمى الدائرة المحيطة بالمثلث المركزي Yff بالدائرة المركزية Yff للمثلث.

ليكن المثلث ABC أي مثلث. ولتكن P₁Q₁ _{و P₂Q₂} و _P₃Q₃ هي المثلثات متساوية الزوايا للزوايا A و _B و C على _{التوالي} ، بحيث يكون المثلث A'B'C ' الناتج عنها هو المثلث المركزي Yff للمثلث _ABC . تُزاح المثلثات الثلاثة P₁Q₁ وP₂Q₂ وP₃Q₃ بشكل متوازٍ ومستمر بحيث _تكون المثلثات _{الثلاثة A'P₂Q₃} و _Q₁B'P₃ و P₁Q₂C ' متطابقة دائمًا _حتى يؤول _المثلث A'B'C ' الناتج عن تقاطع _هذه المثلثات _إلى نقطة . تُسمى هذه _النقطة التي _يؤول إليها المثلث A'B'C ' مركز التطابق _{Yff للمثلث} ABC .

• الإحداثيات الثلاثية الخطية لمركز التطابق Yff هي ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sec {\frac {A}{2}}:\sec {\frac {B}{2}}:\sec {\frac {C}{2}}}$$
• أي مثلث △ ABC هو المثلث المتكون من الخطوط التي تمس خارجياً الدوائر الخارجية الثلاثة للمثلث المركزي Yff للمثلث △ ABC .
• ليكن I مركز الدائرة الداخلية للمثلث ABC . ولتكن D نقطة على الضلع BC بحيث يكون قياس الزاوية BID مساويًا لقياس الزاوية DIC ، ولتكن E نقطة على الضلع CA بحيث يكون قياس الزاوية CIE مساويًا لقياس الزاوية EIA ، ولتكن F نقطة على الضلع AB بحيث يكون قياس الزاوية AIF مساويًا لقياس الزاوية FIB . عندئذٍ، تتقاطع الخطوط AD وBE وCF عند مركز التطابق Yff. تُتيح هذه الحقيقة إنشاءً هندسيًا لتحديد مركز التطابق Yff. ^{[ 4 ]}
• أسفر البحث بمساعدة الحاسوب عن خصائص المثلث المركزي Yff عن العديد من النتائج المثيرة للاهتمام المتعلقة بخصائص هذا المثلث. ^{[ 5 ]}

للبناء الهندسي لتحديد مركز التطابق Yff تعميم مثير للاهتمام. يبدأ هذا التعميم بنقطة اختيارية P في مستوى المثلث △ ABC . ثم تُختار النقاط D وE وF على الأضلاع BC وCA وAB بحيث $${\displaystyle \angle BPD=\angle DPC,\quad \angle CPE=\angle EPA,\quad \angle APF=\angle FPB.}$$ يؤكد التعميم أن الخطوط AD وBE وCF متلاقية. ^{[ 4 ]}

• نقطة خطوط التساوي المتطابقة
• المثلث المركزي