هندسة زاريسكي

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تتألف هندسة زاريسكي من بنية مجردة قدمها إيهود هروشوفسكي وبوريس زيلبر ، بهدف توصيف طوبولوجيا زاريسكي على منحنى جبري ، وجميع قواها. نادرًا ما تكون طوبولوجيا زاريسكي على حاصل ضرب أصناف جبرية هي طوبولوجيا الضرب ، بل تكون أغنى بالمجموعات المغلقة المعرفة بمعادلات تمزج بين مجموعتين من المتغيرات. تعطي النتيجة الموصوفة معنىً محددًا للغاية، ينطبق على المنحنيات الإسقاطية وأسطح ريمان المدمجة على وجه الخصوص.

تعريف

تتكون هندسة زاريسكي من مجموعة X وبنية طوبولوجية على كل مجموعة من المجموعات

X ، X2 ، X3 ، ...​

تحقيق بعض البديهيات.

(N) كل من X n هو فضاء طوبولوجي نوثيري ، ذو بُعد على الأكثر n .

سيتم الآن افتراض بعض المصطلحات القياسية للفضاءات النويثرية.

(أ) في كل مجموعة X n ، تكون المجموعات الجزئية المعرفة بالمساواة في مجموعة n مغلقة.

X m → X n

جميعها متصلة، ويتم تعريفها عن طريق إسقاط إحداثيات معينة وتحديد إحداثيات أخرى كثوابت.

(ب) للإسقاط

p : X m → X n

و مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال Y من X m ، p ( Y ) تقع بين إغلاقها Z و Z \ Z ′ حيث Z ′ هي مجموعة فرعية مغلقة فعلية من Z . (هذا هو حذف الكميات ، على مستوى مجرد.)

(ج) X غير قابل للاختزال.

( د) يوجد حد موحد لعدد عناصر الألياف في إسقاط أي مجموعة مغلقة في X m ، باستثناء الحالات التي تكون فيها الألياف X.

(E) مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال من X m ، ذات بُعد r ، عند تقاطعها مع مجموعة فرعية قطرية يتم فيها تعيين إحداثيات s متساوية ، يكون لها جميع المكونات ذات بُعد لا يقل عن r − s + 1.

يُطلق على الشرط الإضافي المطلوب اسم "الوافر جدًا" (انظر: حزمة الخط الوافية جدًا ). ​​يُفترض وجود مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال P من X m ، ومجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال Q من P × X 2 ، بالخصائص التالية:

(I) بالنظر إلى الأزواج ( x , y ) و( x ′ , y ′ ) في X 2 ، لبعض t في P ، فإن مجموعة ( t , u , v ) في Q تتضمن ( t , x , y ) ولكنها لا تتضمن ( t , x ′ , y ′ ).

(J) بالنسبة لـ t خارج مجموعة فرعية مغلقة مناسبة من P ، فإن مجموعة ( x ، y ) في X 2 ، ( t ، x ، y ) في Q هي مجموعة مغلقة غير قابلة للاختزال ذات بُعد 1.

(K) لكل الأزواج ( x ، y )، ( x ′ ، y ′ ) في X 2 ، المختارة من خارج مجموعة فرعية مغلقة مناسبة، يوجد شيء t في P بحيث تتضمن مجموعة ( t ، u ، v ) في Q ( t ، x ، y ) و ( t ، x ′ ، y ′ ).

من الناحية الهندسية، هذا يعني أن هناك ما يكفي من المنحنيات لفصل النقاط (I)، ولربط النقاط (K)؛ وأن هذه المنحنيات يمكن أخذها من عائلة بارامترية واحدة .

ثمّ أثبت هروشوفسكي وزيلبر أنه في ظل هذه الشروط، يوجد حقل مغلق جبريًا K ، ومنحنى جبري غير شاذ C ، بحيث تكون هندسة زاريسكي للقوى وطوبولوجيا زاريسكي الخاصة بها متماثلة مع الهندسة المعطاة. باختصار، يمكن تمثيل الهندسة جبريًا.

مراجع