التنوع الجبري

قدم ناجاتا أحد أقدم الأمثلة على التنوع الجبري غير شبه الإسقاطي. ^{[ 4 ]} لم يكن مثال ناجاتا كاملاً (وهو ما يُشابه التراص)، لكنه سرعان ما وجد سطحًا جبريًا كاملاً وغير إسقاطي. ^{[ 5 ] [ 1 ] : 105، ملاحظة 4.10.2.} ومنذ ذلك الحين، تم العثور على أمثلة أخرى: على سبيل المثال، من السهل إنشاء تنوعات طورية ليست شبه إسقاطية ولكنها كاملة. ^{[ 6 ]}

ليكن k = C ، وليكن ^A² الفضاء الأفيني ثنائي الأبعاد فوق C. يمكن اعتبار كثيرات الحدود في الحلقة C [ x , y ] دوالًا ذات قيم مركبة على A² بتقييمها عند النقاط في ^{A² .} ولتكن المجموعة الجزئية S من C [ x , y ] تحتوي على عنصر واحد f ( x , y ) :

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

الموضع الصفري للدالة f ( x , y ) هو مجموعة النقاط في ^A² التي تنعدم عندها هذه الدالة: وهي مجموعة جميع أزواج الأعداد المركبة ( x , y ) التي تحقق y = 1 − x . يُطلق على هذا اسم خط في المستوى الأفيني. (في الطوبولوجيا الكلاسيكية المنبثقة من طوبولوجيا الأعداد المركبة، يكون الخط المركب متعدد شعب حقيقي ذو بُعد اثنين). هذه هي المجموعة Z ( f ) :

${\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.}$

^{إذن ،} المجموعة الجزئية V = Z ( f ) من A² هي مجموعة جبرية . المجموعة V ليست فارغة. وهي غير قابلة للاختزال، إذ لا يمكن كتابتها كاتحاد مجموعتين جزئيتين جبريتين فعليتين. لذا فهي تنوع جبري أفيني.

ليكن k = C ، وليكن ^A² الفضاء الأفيني ثنائي الأبعاد فوق C. يمكن اعتبار كثيرات الحدود في الحلقة C [ x , y ] دوالًا ذات قيم مركبة على A² بتقييمها عند النقاط في ^{A² .} ليكن S مجموعة جزئية من C [ x , y ] تحتوي على عنصر واحد g ( x , y ) :

${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

الموضع الصفري للدالة g ( x , y ) هو مجموعة النقاط في A² التي تنعدم عندها هذه الدالة، أي مجموعة النقاط ( x , y ) التي تحقق المعادلة ^x² + y² = 1. ولأن g ( x , y ) متعددة حدود مطلقة غير قابلة للاختزال ، فإن هذا ^{الموضع يُصنف ضمن} التنوع الجبري. تُعرف مجموعة نقاطها الحقيقية (أي النقاط التي تكون عندها x و y أعدادًا حقيقية) بدائرة الوحدة ؛ ويُطلق هذا الاسم أيضًا على التنوع بأكمله.

المثال التالي ليس سطحًا فائقًا ، ولا فضاءً خطيًا ، ولا نقطةً واحدة. ليكن A³ الفضاء الأفيني ثلاثي الأبعاد على C. مجموعة النقاط ( x₁ , x₂ ^, x₃ ⁾ حيث x في C هي تنوع جبري، وبشكل أدق منحنى جبري غير موجود في أي مستوى. ^{[ ملاحظة 2 ]} وهو المنحنى التكعيبي الملتوي الموضح في الشكل أعلاه. ويمكن تعريفه بالمعادلات التالية ^:

${\displaystyle {\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}}$

إن عدم اختزال هذه المجموعة الجبرية يتطلب برهانًا. يتمثل أحد الأساليب في هذه الحالة في التحقق من أن الإسقاط ( x , y , z ) ↦ ( x , y ) أحادي على مجموعة الحلول وأن صورته عبارة عن منحنى مستوٍ غير قابل للاختزال.

بالنسبة للأمثلة الأكثر صعوبة، يمكن دائمًا تقديم برهان مماثل، ولكنه قد يستلزم حسابًا صعبًا: أولاً حساب أساس غروبنر لحساب البعد، متبوعًا بتغيير خطي عشوائي للمتغيرات (ليس مطلوبًا دائمًا)؛ ثم حساب أساس غروبنر لترتيب أحادي آخر لحساب الإسقاط ولإثبات أنه حقني بشكل عام وأن صورته هي سطح فائق ، وأخيرًا تحليل متعدد الحدود لإثبات عدم قابلية اختزال الصورة.

يمكن تعريف مجموعة المصفوفات من الرتبة n × n على الحقل الأساسي k بالفضاء ^{الأفيني} Aₙ₂ ذي الإحداثيات ^xᵢⱼ بحيث يكون xᵢⱼ ( A ₎ هو العنصر ( i , j ⁾ في المصفوفة A. المحدد det هو متعدد حدود في xᵢⱼ ، _{وبالتالي} يُعرّف السطح الفائق H = V (det) في Aₙ₂ . متمم H هو مجموعة جزئية مفتوحة من ^Aₙ₂ تتكون من جميع المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n×n، وهي ^{المجموعة} _الخطية العامة ^GLₙ ( ^k ) . وهي _صنف أفيني ، لأن متمم السطح الفائق في الصنف الأفيني يكون أفينيًا بشكل عام. على وجه التحديد، لنفترض Aₙ₂ × A₁ ، ^حيث يُعطى ^الخط الأفيني بالإحداثي t . عندئذٍ ، تُختزل GLₙ ₍ k ) إلى موضع الأصفار ^في Aₙ₂ ^× A₁ لمتعدد الحدود في xᵢⱼ _, ^{t .}

${\displaystyle t\cdot \det[x_{ij}]-1,}$

أي أن مجموعة المصفوفات A التي تحقق المعادلة t det( A ) = 1 لها حل. ويتضح هذا جبريًا بشكل أفضل: حلقة الإحداثيات لـ GL _n ( k ) هي التموضع k [ x _ij | 0 ≤ i , j ≤ n ][det ^{− 1} ] ، والذي يمكن تعريفه بـ k [ x _ij , t | 0 ≤ i , j ≤ n ]/( t det − 1) .

الزمرة الضربية k ^× للحقل الأساسي k هي نفسها GL ₁ ( k ) وبالتالي فهي تنوع أفيني. والضرب المنتهي لها ( k ^× ) ^r هو طارة جبرية ، وهي بدورها تنوع أفيني.

تُعد المجموعة الخطية العامة مثالاً على المجموعة الجبرية الخطية ، وهي مجموعة متنوعة خطية لها بنية مجموعة بحيث تكون عمليات المجموعة بمثابة تشاكل للمجموعات المتنوعة.

ليكن A جبرًا غير تبديلي بالضرورة على حقل k . حتى لو لم يكن A تبديليًا، فإنه لا يزال من الممكن أن يكون لـ A ترشيح Z بحيث تكون الحلقة المرتبطة به${\displaystyle \textstyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}}$هي تبديلية، ومختزلة، ومولدة نهائيًا كجبر من الرتبة k ؛ أي أن gr A هي حلقة الإحداثيات لمتنوعة أفينية (قابلة للاختزال) X. على سبيل المثال، إذا كانت A هي الجبر الشامل لجبر لي منتهي الأبعاد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذن، فإن gr A هي حلقة متعددة الحدود ( نظرية PBW )؛ وبشكل أدق، هي حلقة الإحداثيات للفضاء المتجهي الثنائي${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$.

ليكن M وحدة نمطية مُرشَّحة على A (أي A _i M _j ⊂ M _{i + j} ). إذا كانت gr M مولدة نهائيًا كجبر gr A ، فإن حامل gr M في X ؛ أي الموضع الذي لا تنعدم فيه gr M يُسمى التنوع المميز لـ M. [ ^{7 ] يلعب} هذا المفهوم دورًا هامًا في نظرية الوحدات النمطية D.

المنحنى الإسقاطي المستوي هو موضع أصفار متعددة حدود متجانسة غير قابلة للاختزال في ثلاثة متغيرات. ^يُعد الخط الإسقاطي P1 مثالًا على المنحنى الإسقاطي؛ ويمكن اعتباره المنحنى في المستوى الإسقاطي P2 = {[ x , y , z ]} المعرّف بالنقطة x = 0. ولمثال آخر، لننظر أولًا إلى المنحنى التكعيبي الأفيني ^.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x.}$

في الفضاء الأفيني ثنائي الأبعاد (على حقل ذي خاصية لا تساوي اثنين). وله معادلة متعددة الحدود المتجانسة التكعيبية المرتبطة به:

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2},}$

يُعرّف هذا منحنىً في P2 يُسمى منحنىً إهليلجيًا . لهذا المنحنى جنس واحد ( صيغة الجنس )؛ ^وعلى وجه الخصوص، فهو ليس متماثلًا مع الخط الإسقاطي P1 ، الذي جنسه صفر. ^يُعدّ استخدام الجنس لتمييز المنحنيات أمرًا أساسيًا للغاية: في الواقع، الجنس هو أول ثابت يُستخدم لتصنيف المنحنيات (انظر أيضًا بناء معاملات المنحنيات الجبرية ).

ليكن V فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد. تُعرف مجموعة غراسمان G_{_n} ( V ) بأنها مجموعة جميع الفضاءات الجزئية ذات البعد n من V. وهي مجموعة إسقاطية: إذ يتم تضمينها في فضاء إسقاطي عبر تضمين بلوكر .

${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\bigwedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}}$

حيث تمثل b _i أي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا في V ،${\displaystyle \wedge ^{n}V}$يمثل القوة الخارجية رقم n لـ V ، ويعني القوس [ w ] الخط الذي يمتد بواسطة المتجه غير الصفري w .

يأتي التنوع الغراسماني مع حزمة متجهة طبيعية (أو حزمة حرة محليًا بمصطلحات أخرى) تسمى الحزمة التكرارية ، وهي مهمة في دراسة الفئات المميزة مثل فئات تشيرن .

ليكن C منحنىً أملسًا كاملًا، و Pic( C ) زمرة بيكارد الخاصة به؛ أي زمرة فئات التشاكل لحزم الخطوط على C. بما أن C أملس، يمكن تعريف Pic( C ) على أنها زمرة فئات القواسم لـ C ، وبالتالي يوجد تشاكل الدرجة deg  : Pic( C ) → Z. تُعدّ منوع جاكوبي Jac ( C ) لـ C نواة هذا التشاكل؛ أي زمرة فئات القواسم على C من الدرجة صفر. منوع جاكوبي مثال على منوع أبيلي ، وهو منوع كامل ذو بنية زمرة أبيلية متوافقة عليه (مع أن تسميته "أبيلية" لا تعني بالضرورة أنه زمرة أبيلية). يتبين أن المنوع الأبيلي إسقاطي (باختصار، تعطي دوال ثيتا الجبرية تضمينًا في فضاء إسقاطي. انظر المعادلات التي تُعرّف المنوعات الأبيلية )؛ وبالتالي، فإن Jac( C ) منوع إسقاطي. الفضاء المماسي لـ Jac( C ) عند عنصر الوحدة متماثل طبيعيًا مع${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});}$^{[ 8 ]} ومن ثم فإن بُعدJac(C)هوجنسC.

لنثبت نقطة P ₀ على C. لكل عدد صحيح n > 0 ، يوجد تشاكل طبيعي ^{[ 9 ]}

${\displaystyle C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]}$

حيث C ⁿ هو ناتج n نسخة من C. بالنسبة لـ g = 1 (أي أن C منحنى إهليلجي)، فإن التشاكل أعلاه لـ n = 1 يصبح تشاكلاً؛ ^{[ 1 ] : الفصل الرابع، المثال 1.3.7} على وجه الخصوص، المنحنى الإهليلجي هو صنف أبيلي.

بفرض عدد صحيح g ≥ 0 ، تُسمى مجموعة فئات التشاكل للمنحنيات الملساء الكاملة من النوع g بمعاملات المنحنيات من النوع g.${\displaystyle g}$ويُشار إليه بـ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$هناك طرق قليلة لإثبات أن هذه المعاملات تمتلك بنية تنوع جبري قابل للاختزال؛ على سبيل المثال، إحدى الطرق هي استخدام نظرية الثوابت الهندسية التي تضمن أن مجموعة من فئات التشاكل تمتلك بنية تنوع شبه إسقاطي (قابلة للاختزال). ^{[ 10 ]} عادةً لا تكون المعاملات، مثل معاملات المنحنيات ذات الجنس الثابت، تنوعًا إسقاطيًا؛ والسبب باختصار هو أن انحلال (نهاية) منحنى أملس يميل إلى أن يكون غير أملس أو غير قابل للاختزال. هذا يقود إلى مفهوم المنحنى المستقر ذي الجنس g ≥ 2 ، وهو منحنى كامل ليس بالضرورة أملسًا، ولا يحتوي على نقاط تفرد سيئة للغاية، ومجموعة تشاكل ذاتي ليست كبيرة جدًا. معاملات المنحنيات المستقرة${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$، وهي مجموعة فئات التشاكل للمنحنيات المستقرة من النوع g ≥ 2 ، تُعتبر حينها تنوعًا إسقاطيًا يحتوي على${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$باعتبارها مجموعة فرعية مفتوحة وكثيفة. بما أن${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$يتم الحصول عليها بإضافة نقاط حدودية إلى${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$،${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ويُقال بالعامية إنها اختصار لـ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$تاريخيًا، قدمت ورقة بحثية لمومفورد وديليجن ^{[ 11 ]} مفهوم المنحنى المستقر لإظهار${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$غير قابل للاختزال عندما يكون g ≥ 2 .

تُجسّد معاملات المنحنيات حالة نموذجية: فمعاملات الكائنات الجميلة لا تميل إلى أن تكون إسقاطية، بل شبه إسقاطية فقط. حالة أخرى هي معاملات حزم المتجهات على منحنى. هنا، توجد مفاهيم حزم المتجهات المستقرة وشبه المستقرة على منحنى كامل أملس C. معاملات حزم المتجهات شبه المستقرة ذات رتبة n معينة ودرجة d معينة (درجة محدد الحزمة) هي صنف إسقاطي يُرمز له بـ${\displaystyle SU_{C}(n,d)}$، والتي تحتوي على المجموعة${\displaystyle U_{C}(n,d)}$من فئات التشاكل لحزم المتجهات المستقرة من الرتبة n والدرجة d كمجموعة فرعية مفتوحة. ^{[ 12 ]} بما أن حزمة الخط مستقرة، فإن مثل هذه المعاملات هي تعميم لمتنوعة جاكوبي لـ C.

بشكل عام، وعلى عكس حالة معاملات المنحنيات، فإن تكثيف المعاملات ليس بالضرورة أن يكون فريدًا، وفي بعض الحالات، تُنشأ تكثيفات مختلفة غير متكافئة باستخدام طرق مختلفة ومن قبل مؤلفين مختلفين. ومن الأمثلة على ذلك في C مسألة تكثيف D / Γ ، وهو خارج قسمة مجال متناظر محدود D على تأثير مجموعة حسابية منفصلة Γ . ^{[ 13 ]} مثال أساسي لـ${\displaystyle D/\Gamma }$هو عندما${\displaystyle D={\mathfrak {H}}_{g}}$، نصف الفضاء العلوي لسيجل و Γ متناسب مع Sp(2 g , Z ) ؛ في هذه الحالة، يكون لـ D / Γ تفسير على أنه المعاملات${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{g}}$من الأصناف الأبيلية المعقدة ذات الاستقطاب الرئيسي من البعد g (يُعرّف الاستقطاب الرئيسي الصنف الأبيلي بنظيره الثنائي). تُقدّم نظرية الأصناف الطورية (أو تضمينات الطارة) طريقةً لضغط D / Γ ، وهي ضغط طوري له. ^{[ 14 ] [ 15 ]} ولكن توجد طرق أخرى لضغط D / Γ ؛ على سبيل المثال، هناك الضغط الأدنى لـ D / Γ الذي وضعه بيلي وبوريل: وهو الصنف الإسقاطي المرتبط بالحلقة المتدرجة المُشكّلة من الأشكال النمطية (في حالة سيجل، الأشكال النمطية لسيجل ؛ ^{[ 16 ]} انظر أيضًا الصنف النمطي لسيجل ). يعود عدم تفرّد عمليات الضغط إلى غياب تفسيرات المعاملات لتلك العمليات؛ أي أنها لا تُمثّل (بمعنى نظرية الفئات) أي مشكلة معاملات طبيعية، أو بتعبير أدق، لا توجد حزمة معاملات طبيعية تُماثل حزمة معاملات المنحنيات المستقرة.