نموذج التضخم الصفري

في الإحصاء ، النموذج المتضخم بالصفر هو نموذج إحصائي يعتمد على توزيع احتمالي متضخم بالصفر ، أي توزيع يسمح بملاحظات متكررة ذات قيمة صفرية.

تُستخدم النماذج ذات التضخم الصفري بشكل شائع في تحليل بيانات العد، مثل عدد زيارات المريض لقسم الطوارئ في عام واحد، أو عدد الأسماك التي يتم صيدها في يوم واحد في بحيرة واحدة. ^{[ 1 ]} يمكن أن تأخذ بيانات العد قيمًا من 0 إلى 1 (أعداد صحيحة غير سالبة). ^{[ 2 ]} ومن الأمثلة الأخرى على بيانات العد: عدد مرات عداد جايجر المسجلة في دقيقة واحدة، وعدد أيام إقامة المريض في المستشفى، وعدد الأهداف المسجلة في مباراة كرة قدم، ^{[ 3 ]} وعدد نوبات نقص سكر الدم سنويًا لمريض مصاب بداء السكري. ^{[ 4 ]}

في التحليل الإحصائي، غالبًا ما يُمثَّل توزيع التكرارات باستخدام توزيع بواسون أو توزيع ذي الحدين السالب . ويشير هيلبي ^{[ 3 ]} إلى أن "انحدار بواسون يُعتبر تقليديًا نموذج العدّ الأساسي الذي تُبنى عليه مجموعة متنوعة من نماذج العدّ الأخرى". في نموذج بواسون، "... المتغير العشوائي${\displaystyle y}$هو استجابة العد والمعامل${\displaystyle \lambda }$(لامدا) هو المتوسط. غالبًا،${\displaystyle \lambda }$ويُطلق عليه أيضاً اسم مُعامل المعدل أو مُعامل الشدة... في الأدبيات الإحصائية،${\displaystyle \lambda }$ويُعبّر عنه أيضاً بـ${\displaystyle \mu }$(mu) عند الإشارة إلى نماذج بواسون ونماذج ذات الحدين السالب التقليدية.

في بعض البيانات، يكون عدد الأصفار أكبر مما هو متوقع باستخدام توزيع بواسون أو توزيع ذي الحدين السالب . تُوصف البيانات التي تحتوي على هذا الفائض من الأصفار بأنها بيانات متضخمة بالأصفار. ^{[ 4 ]}

أمثلة على المدرجات التكرارية لتوزيعات بواسون ذات التضخم الصفري بمتوسط${\displaystyle \mu }$من 5 أو 10 ونسبة التضخم الصفري${\displaystyle \pi }$يتم عرض القيم 0.2 أو 0.5 أدناه، استنادًا إلى برنامج R ZeroInflPoiDistPlots.R من Bilder و Laughlin. ^{[ 1 ]}

أحد النماذج المعروفة التي تُظهر تضخمًا صفريًا هو نموذج بواسون المُضخّم صفريًا لديان لامبرت ، والذي يتناول حدثًا عشوائيًا يحتوي على بيانات زائدة من الأصفار في وحدة زمنية. ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، قد يكون عدد مطالبات التأمين ضمن مجتمع ما لنوع معين من المخاطر مُضخّمًا صفريًا بسبب الأشخاص الذين لم يُؤمّنوا ضد هذا الخطر، وبالتالي لا يستطيعون تقديم مطالبات. يمزج نموذج بواسون المُضخّم صفريًا (ZIP) بين عمليتين لتوليد الأصفار. تُولّد العملية الأولى أصفارًا، بينما تخضع العملية الثانية لتوزيع بواسون الذي يُولّد قيمًا، قد يكون بعضها أصفارًا. يُوصف توزيع الخليط كما يلي:

${\displaystyle \Pr(Y=0)=\pi +(1-\pi )e^{-\lambda }}$

${\displaystyle \Pr(Y=y_{i})=(1-\pi ){\frac {\lambda ^{y_{i}}e^{-\lambda }}{y_{i}!}},\qquad y_{i}=1,2,3,...}$

حيث المتغير الناتج${\displaystyle y_{i}}$له أي قيمة عددية صحيحة غير سالبة،${\displaystyle \lambda }$هو عدد بواسون المتوقع لـ${\displaystyle i}$الفرد رقم 1؛${\displaystyle \pi }$هو احتمال وجود أصفار إضافية.

المتوسط ​​هو${\displaystyle (1-\pi )\lambda }$والتباين هو${\displaystyle \lambda (1-\pi )(1+\pi \lambda )}$.

يتم تقديم تقديرات طريقة العزوم بواسطة ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{mo}={\frac {s^{2}+m^{2}}{m}}-1,}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}_{mo}={\frac {s^{2}-m}{s^{2}+m^{2}-m}},}$

أين${\displaystyle m}$هو متوسط ​​العينة و${\displaystyle s^{2}}$يمثل تباين العينة.

يمكن إيجاد مُقدِّر الاحتمال الأقصى ^{[ 10 ]} عن طريق حل المعادلة التالية

${\displaystyle m(1-e^{-{\hat {\lambda }}_{ml}})={\hat {\lambda }}_{ml}\left(1-{\frac {n_{0}}{n}}\right).}$

أين ${\displaystyle {\frac {n_{0}}{n}}}$هي النسبة الملحوظة للأصفار.

يُعطى الحل المغلق لهذه المعادلة بواسطة ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{ml}=W_{0}(-se^{-s})+s}$

مع${\displaystyle W_{0}}$كونها الفرع الرئيسي لدالة لامبرت W ^{[ 12 ]} و

${\displaystyle s={\frac {m}{1-{\frac {n_{0}}{n}}}}}$.

بدلاً من ذلك، يمكن حل المعادلة بالتكرار. ^{[ 13 ]}

مقدِّر الاحتمال الأقصى لـ${\displaystyle \pi }$يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\hat {\pi }}_{ml}=1-{\frac {m}{{\hat {\lambda }}_{ml}}}.}$

في عام 1994، درس غرين نموذج التوزيع ذي الحدين السالب المتضخم بالصفر (ZINB). ^{[ 14 ]} قام دانيال ب. هول بتكييف منهجية لامبرت لتناسب حالة العد المحدود من الأعلى، وبذلك حصل على نموذج التوزيع ذي الحدين المتضخم بالصفر (ZIB). ^{[ 15 ]}

إذا كانت بيانات العد${\displaystyle Y}$بحيث يكون احتمال الصفر أكبر من احتمال عدم الصفر، أي

${\displaystyle \Pr(Y=0)>0.5}$

ثم البيانات المنفصلة${\displaystyle Y}$تخضع لتوزيع بواسون المركب الزائف المنفصل . ^{[ 16 ]}

في الواقع، دع${\displaystyle G(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }P(Y=n)z^{n}}$لتكن دالة توليد الاحتمالات لـ${\displaystyle y_{i}}$. لو${\displaystyle p_{0}=\Pr(Y=0)>0.5}$، ثم${\displaystyle |G(z)|\geqslant p_{0}-\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=2p_{0}-1>0}$ثم من نظرية وينر-ليفي ، ^{[ 17 ]}${\displaystyle G(z)}$تمتلك دالة توليد الاحتمالات لتوزيع بواسون المركب الزائف المنفصل .

نقول إن المتغير العشوائي المنفصل${\displaystyle Y}$توصيف دالة توليد الاحتمالات التي تفي بالغرض

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }P(Y=n)z^{n}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

has a discrete pseudo compound Poisson distribution with parameters

${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}=1,\sum \limits _{k=1}^{\infty }|\alpha _{k}|<\infty ,\alpha _{k}\in \mathbb {R} ,\lambda >0\right).}$

When all the ${\displaystyle \alpha _{k}}$ are non-negative, it is the discrete compound Poisson distribution (non-Poisson case) with overdispersion property.

• Poisson distribution
• Zero-truncated Poisson distribution
• Compound Poisson distribution
• Sparse approximation
• Hurdle model

• pscl, glmmTMB and brms R packages