توزيع بواسون المركب

في نظرية الاحتمالات ، يُعرف توزيع بواسون المركب بأنه التوزيع الاحتمالي لمجموع عدد من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ، حيث يكون عدد الحدود المراد جمعها متغيرًا يتبع توزيع بواسون . ويمكن أن تكون النتيجة توزيعًا متصلًا أو منفصلًا .

لنفترض أن

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

أي أن N متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون بقيمة متوقعة λ، وأن

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

إذا كانت المتغيرات العشوائية متطابقة التوزيع ومستقلة عن بعضها البعض ومستقلة أيضًا عن N ، فإن التوزيع الاحتمالي لمجموعها يكون${\displaystyle N}$المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$

هو توزيع بواسون المركب.

في حالة N = 0، فإن هذا يكون مجموع 0 حدود، وبالتالي فإن قيمة Y هي 0. ومن ثم فإن التوزيع الشرطي لـ Y بشرط أن N  =  0 هو توزيع منحط .

يتم الحصول على توزيع بواسون المركب عن طريق تهميش التوزيع المشترك لـ ( Y ، N ) على N ، ويمكن الحصول على هذا التوزيع المشترك من خلال الجمع بين التوزيع الشرطي Y  | N مع التوزيع الهامشي لـ N. 

يمكن اشتقاق القيمة المتوقعة والتباين للتوزيع المركب بطريقة بسيطة من قانون التوقع الكلي وقانون التباين الكلي .

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}}$

وبما أن E( N )  =  Var( N ) إذا كان N يتبع توزيع بواسون، فيمكن اختزال هذه الصيغ إلى

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X)=\lambda \operatorname {E} (X)،}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (N)(\operatorname {Var} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})=\operatorname {E} (N){\operatorname {E} (X^{2})}=\lambda {\operatorname {E} (X^{2})}.}$

يمكن تحديد التوزيع الاحتمالي لـ Y بدلالة الدوال المميزة :

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} (e^{itY})=\operatorname {E} \left(\left(\operatorname {E} (e^{itX}\mid N)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} \left((\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,}$

وبالتالي، باستخدام دالة توليد الاحتمالات لتوزيع بواسون، لدينا

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,}$

ثمة نهج بديل يتمثل في استخدام دوال توليد العزوم التراكمية :

${\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,}$

من خلال قانون التراكم الكلي، يمكن إثبات أنه إذا كان متوسط ​​توزيع بواسون λ  =  1، فإن تراكمات Y هي نفسها لحظات X 1 _.

كل توزيع احتمالي قابل للقسمة بلا حدود هو نهاية لتوزيعات بواسون المركبة. ^{[ 1 ]} وتوزيعات بواسون المركبة قابلة للقسمة بلا حدود بحسب التعريف.

متى${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات قيم صحيحة موجبة.${\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )}$إذا كان توزيع بواسون المركب هذا يُسمى توزيع بواسون المركب المتقطع ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} (أو توزيع بواسون المتقطع ^{[ 5 ]} ). نقول إن المتغير العشوائي المتقطع${\displaystyle Y}$توصيف دالة توليد الاحتمالات التي تفي بالغرض

${\displaystyle P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

لها توزيع بواسون المركب المنفصل (DCP) بمعاملات${\displaystyle (\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$(أين${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$، مع${\textstyle \alpha _{i}\geq 0,\lambda >0}$)، والذي يُرمز إليه بـ

${\displaystyle X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{2}},\ldots )}$

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})}$نقول${\displaystyle X}$له توزيع بواسون مركب منفصل من الرتبة${\displaystyle r}$. متى ${\displaystyle r=1,2}$يتحول توزيع DCP إلى توزيع بواسون وتوزيع هيرميت ، على التوالي. عندما ${\displaystyle r=3,4}$يتحول توزيع DCP إلى توزيع بواسون ثلاثي التأتأة وتوزيع بواسون رباعي التأتأة، على التوالي. ^{[ 6 ]} تشمل الحالات الخاصة الأخرى: التوزيع الهندسي المتحول ، والتوزيع ذو الحدين السالب ، وتوزيع بواسون الهندسي ، وتوزيع نيمان من النوع A ، وتوزيع لوريا-ديلبروك في تجربة لوريا-ديلبروك . لمزيد من الحالات الخاصة لتوزيع DCP، انظر الورقة البحثية ^{[ 7 ]} والمراجع الواردة فيها.

ينص وصف فيلر لتوزيع بواسون المركب على أن المتغير العشوائي ذو القيمة الصحيحة غير السالبة${\displaystyle X}$يكون التوزيع قابلاً للقسمة بلا حدود إذا وفقط إذا كان توزيعه توزيع بواسون مركب منفصل. ^{[ 8 ]} توزيع ذي الحدين السالب قابل للقسمة بلا حدود منفصل ، أي إذا كان _X يتبع توزيع ذي الحدين السالب، فإنه لأي عدد صحيح موجب n ، توجد متغيرات عشوائية منفصلة مستقلة ومتطابقة التوزيع X1 _،  ...، Xn يكون مجموعها له نفس توزيع X. توزيع الإزاحة الهندسي هو توزيع بواسون مركب منفصل لأنه حالة بديهية من توزيع ذي الحدين السالب . 

يمكن لهذا التوزيع أن يُحاكي وصول الدفعات (كما هو الحال في طابور الانتظار ^{[ 5 ] [ 9 ]} ). كما يُستخدم توزيع بواسون المركب المنفصل على نطاق واسع في العلوم الاكتوارية لنمذجة توزيع إجمالي مبلغ المطالبة. ^{[ 3 ]}

عندما بعض${\displaystyle \alpha _{k}}$إذا كانت القيم سالبة، فإنها تتبع توزيع بواسون المركب الزائف المنفصل. ^{[ 3 ]} نُعرّف أي متغير عشوائي منفصل بأنه${\displaystyle Y}$توصيف دالة توليد الاحتمالات التي تفي بالغرض

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

له توزيع بواسون شبه مركب منفصل بمعاملات${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$أين${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\alpha _{i}}=1}$و${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{i}}\right|}<\infty }$، مع${\displaystyle {\alpha _{i}}\in \mathbb {R} ,\lambda >0}$.

إذا كان X يتبع توزيع غاما ، الذي يُعد التوزيع الأسي حالة خاصة منه، فإن التوزيع الشرطي لـ Y  | N هو أيضًا توزيع غاما. التوزيع الهامشي لـ Y هو توزيع تويدي بقوة تباين 1 < p < 2 (البرهان عن طريق مقارنة الدالة المميزة ). ^{[ 10 ]} بتعبير أدق، إذا     

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

و

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {\Gamma } (\alpha ,\beta )}$

مستقل ومتطابق التوزيع، ثم توزيع

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

هو نموذج التشتت الأسي التناسلي${\displaystyle ED(\mu ,\sigma ^{2})}$مع

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}}$

تعيين معلمات معلمات تويدي${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2},p}$إلى معلمات بواسون وجاما${\displaystyle \lambda ,\alpha ,\beta }$وهو كالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

عملية بواسون المركبة بمعدل${\displaystyle \lambda >0}$وتوزيع حجم القفزة G هو عملية عشوائية مستمرة الزمن${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$مقدم من

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i},}$

حيث يكون المجموع، بحسب الاصطلاح، مساوياً للصفر طالما أن N ( t )  =  0. هنا،${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$هي عملية بواسون بمعدل${\displaystyle \lambda }$، و${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، ولها دالة توزيع G ، وهي مستقلة أيضًا عن${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$^{[ 11 ]}

بالنسبة للنسخة المنفصلة من عملية بواسون المركبة، يمكن استخدامها في تحليل البقاء لنماذج الهشاشة. ^{[ 12 ]}

استخدم ريففيم توزيع بواسون المركب، حيث تتبع الحدود توزيعًا أسيًا ، لنمذجة توزيع إجمالي هطول الأمطار في يوم واحد، إذ يحتوي كل يوم على عدد من الأحداث يتبع توزيع بواسون، ويُنتج كل حدث كمية من هطول الأمطار تتبع توزيعًا أسيًا. ^{[ 13 ]} وطبّق طومسون النموذج نفسه على إجمالي هطول الأمطار الشهري. ^{[ 14 ]}

وقد تم تقديم طلبات للحصول على تعويضات التأمين ^{[ 15 ] [ 16 ]} والتصوير المقطعي المحوسب بالأشعة السينية . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}