قطعة دائرية

نصف القطر هو:

${\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}$^{[ 3 ]}

الزاوية المركزية هي

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}$

يمكن حساب طول الوتر وارتفاعه عكسيًا من نصف القطر والزاوية المركزية عن طريق:

طول الوتر هو

${\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}$

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(Rh)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

السهم هو​

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}$

الدعاء هو​

${\displaystyle d=Rh={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}$

طول القوس، من الهندسة المألوفة للدائرة، هو

${\displaystyle s={\theta }R}$

المنطقة${\displaystyle a}$مساحة الجزء الدائري تساوي مساحة القطاع الدائري مطروحًا منها مساحة الجزء المثلثي (باستخدام صيغة ضعف الزاوية للحصول على معادلة بدلالة${\displaystyle \theta }$):

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

فيما يتعلق بـ c و R ،

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}-\sin \left(2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}\right)\right)=R^{2}\left(\arcsin {\frac {c}{2R}}-{\frac {c}{2R}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{2R}}\right)^{2}}}\right)}$

من حيث R و h ،

${\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(Rh\right){\sqrt {h\left(2R-h\right)}}}$

فيما يتعلق بـ c و h ،

${\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}}{8h}}+{\frac {h}{2}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}$

ما يمكن قوله هو أنه كلما صغرت الزاوية المركزية (أو بالعكس، كلما كبر نصف القطر)، فإن المساحة تقترب بسرعة وبشكل تقاربي من${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$. لو${\displaystyle \theta \ll 1}$،${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$وهو تقريب جيد إلى حد كبير.

لو${\displaystyle c}$إذا تم تثبيت قيمة معينة، وسُمح لنصف القطر بالتغير، فسنحصل على$${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}$$

عندما تقترب الزاوية المركزية من π، فإن مساحة القطعة المستقيمة تتقارب إلى مساحة نصف دائرة .${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$لذا فإن التقريب الجيد هو إزاحة دلتا من المنطقة الأخيرة:

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(Rh)}$لـ h>0.75 R

على سبيل المثال، تكون المساحة ربع الدائرة عندما تكون θ ~ 2.31 راديان (132.3 درجة) وهو ما يتوافق مع ارتفاع يبلغ حوالي 59.6٪ وطول وتر يبلغ حوالي 183٪ من نصف القطر.

المحيط p هو طول القوس بالإضافة إلى طول الوتر:

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

نسبة المساحة الكلية للدائرة:

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$