المستوى (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المستوى هو فضاء ثنائي الأبعاد أو سطح مستوٍ يمتد إلى ما لا نهاية. المستوى هو النظير ثنائي الأبعاد للنقطة ( صفر أبعاد)، والخط (بعد واحد)، والفضاء ثلاثي الأبعاد . عند العمل حصريًا في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد ، تُستخدم أداة التعريف، لذا يُشير مصطلح "المستوى الإقليدي" إلى الفضاء بأكمله.

يمكن تعريف عدة مفاهيم للمستوى. يتبع المستوى الإقليدي الهندسة الإقليدية ، وخاصة مسلمة التوازي . ويمكن إنشاء المستوى الإسقاطي بإضافة "نقاط في اللانهاية" حيث يتقاطع خطان متوازيان، بحيث يتقاطع كل زوج من الخطوط في نقطة واحدة فقط. ويمكن تعريف المستوى الإهليلجي بإضافة مقياس إلى المستوى الإسقاطي الحقيقي. كما يمكن تصور مستوى زائدي ، يخضع للهندسة الزائدية وله انحناء سالب .

بصورة مجردة، يمكن تجاهل جميع البنى باستثناء الطوبولوجيا، مما ينتج عنه المستوى الطوبولوجي، وهو متماثل شكليًا مع قرص مفتوح . وباعتبار المستوى فضاءً أفينيًا ، ينتج عنه المستوى الأفيني ، الذي يفتقر إلى مفهوم المسافة ولكنه يحتفظ بمفهوم الاستقامة . وعلى العكس، بإضافة المزيد من البنى، يمكن اعتبار المستوى متعدد الشعب المركب أحادي البعد ، والذي يُسمى الخط المركب .

تُنفذ العديد من المهام الأساسية في الرياضيات والهندسة وعلم المثلثات ونظرية المخططات والرسم البياني في فضاء ثنائي الأبعاد أو مستوٍ . [ 1 ]

المستوى الإقليدي

نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد

في الرياضيات ، المستوى الإقليدي هو فضاء إقليدي ذو بُعدين ، ويُرمز له بـهـ2{\displaystyle {\textbf {E}}^{2}}أوهـ2{\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}هو فضاء هندسي يتطلب فيه تحديد موقع كل نقطة عددين حقيقيين . وهو فضاء أفيني ، يشمل على وجه الخصوص مفهوم الخطوط المتوازية . كما يتميز بخصائص مترية ناتجة عن المسافة ، مما يسمح بتعريف الدوائر وقياس الزوايا .

يُطلق على المستوى الإقليدي الذي يحتوي على نظام إحداثيات ديكارتية مُختار اسم المستوى الديكارتي .R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}يُطلق على مجموعة الأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية ( مستوى الإحداثيات الحقيقية )، المزودة بالضرب النقطي ، غالبًا اسم المستوى الإقليدي أو المستوى الإقليدي القياسي ، نظرًا لأن كل مستوى إقليدي متماثل معه.

التضمين في الفضاء ثلاثي الأبعاد

معادلة المستوى في صورتها الطبيعية

في الهندسة الإقليدية ، المستوى هو سطح ثنائي الأبعاد مسطح يمتد إلى ما لا نهاية. وغالبًا ما تنشأ المستويات الإقليدية كفضاءات جزئية من الفضاء ثلاثي الأبعاد.R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}من الأمثلة النموذجية على ذلك أحد جدران غرفة ممتدة إلى ما لا نهاية ومفترض أنها رقيقة للغاية. بينما زوج من الأعداد الحقيقيةR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}يكفي لوصف النقاط على مستوى، أما العلاقة مع النقاط خارج المستوى فتتطلب دراسة خاصة لتضمينها في الفضاء المحيط.R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

المستوى الإهليلجي

المستوى الإهليلجي هو المستوى الإسقاطي الحقيقي المزود بمقياس . استخدم كبلر وديسارج الإسقاط الزنوموني لربط مستوى σ بنقاط على نصف كرة مماسة له. إذا كانت O مركز نصف الكرة، فإن أي نقطة P في σ تحدد خطًا OP يقطع نصف الكرة، وأي خط L ⊂ σ يحدد مستوى OL يقطع نصف الكرة في نصف دائرة عظمى . نصف الكرة محصور بمستوى يمر عبر O وموازٍ لـ σ . لا يوجد خط عادي على σ يقابل هذا المستوى؛ بل يُضاف خط عند اللانهاية إلى σ . بما أن أي خط في هذا الامتداد لـ σ يُقابل مستوىً يمر بالنقطة O ، وبما أن أي زوج من هذه المستويات يتقاطع في خط يمر بالنقطة O ، فإنه يُمكن استنتاج أن أي زوج من الخطوط في هذا الامتداد يتقاطع: تقع نقطة التقاطع حيث يلتقي تقاطع المستوى مع σ أو الخط عند اللانهاية. وبذلك، يتم تأكيد بديهية الهندسة الإسقاطية، التي تنص على أن جميع أزواج الخطوط في مستوى ما تتقاطع. [ 2 ]

بمعلومية النقطتين P و Q في الفضاء الإهليلجي σ ، فإن المسافة الإهليلجية بينهما هي قياس الزاوية POQ ، والتي تُقاس عادةً بالراديان. بدأ آرثر كايلي دراسة الهندسة الإهليلجية عندما كتب "حول تعريف المسافة". [ 3 ] : 82 وقد تبع هذا التوجه نحو التجريد في الهندسة كلٌ من فيليكس كلاين وبرنهارد ريمان، مما أدى إلى ظهور الهندسة غير الإقليدية والهندسة الريمانية .

المستوى الإسقاطي

رسومات للمستويات الإسقاطية المحدودة من الرتبتين 2 ( مستوى فانو ) و3، في تخطيط شبكي، توضح طريقة إنشاء مثل هذه الرسومات للرتب الأولية
يبدو أن هذه الخطوط المتوازية تتقاطع عند نقطة التلاشي "عند اللانهاية". وهذا صحيح بالفعل في المستوى الإسقاطي.

في الرياضيات ، المستوى الإسقاطي هو بنية هندسية تُوسّع مفهوم المستوى. في المستوى الإقليدي العادي ، يتقاطع خطان عادةً في نقطة واحدة، ولكن توجد بعض أزواج الخطوط (أي الخطوط المتوازية) التي لا تتقاطع. يمكن اعتبار المستوى الإسقاطي مستوىً عاديًا مزودًا بنقاط إضافية عند اللانهاية حيث تتقاطع الخطوط المتوازية. وبالتالي، يتقاطع أي خطين مختلفين في المستوى الإسقاطي في نقطة واحدة فقط.

وضع فنانو عصر النهضة، بتطويرهم لتقنيات الرسم المنظوري ، الأسس لهذا الموضوع الرياضي. والمثال النموذجي هو المستوى الإسقاطي الحقيقي ، المعروف أيضًا بالمستوى الإقليدي الممتد. [ 4 ] هذا المثال، بأشكال مختلفة قليلاً، مهم في الهندسة الجبرية والطوبولوجيا والهندسة الإسقاطية ، حيث يُرمز إليه برموز متنوعة مثل PG(2, R) أو RP² أو P² ( R )، وغيرها. وهناك العديد من المستويات الإسقاطية الأخرى، منها اللانهائي، مثل المستوى الإسقاطي المركب ، ومنها المحدود، مثل مستوى فانو .

المستوى الإسقاطي هو فضاء إسقاطي ثنائي الأبعاد . لا يمكن تضمين جميع المستويات الإسقاطية في فضاءات إسقاطية ثلاثية الأبعاد؛ إن إمكانية التضمين هذه هي نتيجة لخاصية تُعرف باسم نظرية ديزارج ، وهي خاصية لا تشترك فيها جميع المستويات الإسقاطية.

تعميمات إضافية

إضافةً إلى بنيتها الهندسية المألوفة ، مع التشاكلات التي هي عبارة عن تماثلات قياس بالنسبة للجداء الداخلي المعتاد، يمكن النظر إلى المستوى على مستويات أخرى مختلفة من التجريد . كل مستوى من مستويات التجريد يتوافق مع فئة محددة .

في أحد أقصى الحالات، يمكن التخلي عن جميع المفاهيم الهندسية والمترية للخروج من المستوى الطوبولوجي ، الذي يمكن تصوره كسطح مطاطي لانهائي مثالي تافه طوبولوجيًا ، يحتفظ بمفهوم التقارب، لكنه لا يمتلك أي مسافات. يمتلك المستوى الطوبولوجي مفهوم المسار الخطي، لكنه لا يمتلك مفهوم الخط المستقيم. يُعد المستوى الطوبولوجي، أو ما يُعادله القرص المفتوح، الجوار الطوبولوجي الأساسي المستخدم لبناء الأسطح (أو متعددات الشعب ثنائية الأبعاد) المصنفة في الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد . جميع التشاكلات في المستوى الطوبولوجي هي تقابلات مستمرة . يُمثل المستوى الطوبولوجي السياق الطبيعي لفرع نظرية المخططات الذي يتعامل مع المخططات المستوية ، ونتائج مثل نظرية الألوان الأربعة .

يمكن أيضًا النظر إلى المستوى على أنه فضاء تآلفي ، حيث تكون تماثلاته عبارة عن تركيبات من الإزاحات والخرائط الخطية غير المنفردة. من هذا المنظور، لا توجد مسافات، ولكن يتم الحفاظ على الاستقامة ونسب المسافات على أي خط.

ينظر علم الهندسة التفاضلية إلى المستوى على أنه فضاء حقيقي ثنائي الأبعاد ، أي مستوى طوبولوجي مزود ببنية تفاضلية . في هذه الحالة، لا يوجد مفهوم للمسافة، ولكن يوجد مفهوم سلاسة التطبيقات، مثل المسار القابل للتفاضل أو المسار الأملس (بحسب نوع البنية التفاضلية المستخدمة). التشاكلات في هذه الحالة هي تقابلات ذات درجة تفاضلية محددة.

في الاتجاه المعاكس للتجريد، يمكننا تطبيق بنية حقل متوافقة على المستوى الهندسي، مما يُنتج المستوى المركب والمجال الرئيسي للتحليل المركب . يحتوي الحقل المركب على تماثلين فقط يُبقيان خط الأعداد الحقيقية ثابتًا، وهما التماثل المحايد والتماثل المرافق .

كما هو الحال في الواقع، يمكن النظر إلى المستوى على أنه أبسط متشعب عقدي أحادي البعد (من حيث البعد المركب ، على الأعداد المركبة) ، ويُسمى أحيانًا الخط العقدي . مع ذلك، يتناقض هذا المنظور تناقضًا حادًا مع حالة المستوى كمتشعب حقيقي ثنائي الأبعاد. جميع التشاكلات هي تقابلات مطابقة للمستوى العقدي، لكن الاحتمالات الوحيدة هي دوال تُقابل تركيب عملية ضرب في عدد مركب وإزاحة.

إضافةً إلى ذلك، فإن الهندسة الإقليدية (التي تتميز بانعدام الانحناء في جميع أجزائها) ليست الشكل الهندسي الوحيد الذي قد يتخذه المستوى. يمكن إضفاء شكل كروي على المستوى باستخدام الإسقاط المجسم . يمكن تصور ذلك على أنه وضع كرة مماسية للمستوى (تمامًا ككرة على الأرض)، وإزالة النقطة العلوية، ثم إسقاط الكرة على المستوى من هذه النقطة. يُعد هذا أحد الإسقاطات التي يمكن استخدامها في رسم خريطة مسطحة لجزء من سطح الأرض. يتميز الشكل الهندسي الناتج بانحناء موجب ثابت.

بدلاً من ذلك، يمكن أيضاً إعطاء المستوى مقياساً يمنحه انحناءً سالباً ثابتاً، مما ينتج عنه المستوى الزائدي . يُستخدم هذا الاحتمال الأخير في نظرية النسبية الخاصة في الحالة المبسطة حيث يوجد بُعدان مكانيان وبُعد زمني واحد. (المستوى الزائدي هو سطح فائق زمني في فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد ).

المفاهيم الطوبولوجية والهندسية التفاضلية

إنّ تكثيف المستوى بنقطة واحدة متماثلٌ شكليًا مع الكرة (انظر الإسقاط المجسم )؛ والقرص المفتوح متماثلٌ شكليًا مع كرةٍ بدون "القطب الشمالي"؛ وإضافة تلك النقطة تُكمل الكرة (المضغوطة). نتيجة هذا التكثيف هي فضاءٌ متعدد الشعب يُشار إليه باسم كرة ريمان أو الخط الإسقاطي المركب . الإسقاط من المستوى الإقليدي إلى كرةٍ بدون نقطة هو تماثلٌ تبايني، بل هو تحويلٌ توافقي .

المستوى نفسه متماثل الشكل (ومتماثل الشكل التفاضلي) مع قرص مفتوح . بالنسبة للمستوى الزائدي، يكون هذا التماثل التفاضلي متطابقًا، ولكنه ليس كذلك بالنسبة للمستوى الإقليدي.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ يانيش، ب.؛ زوك، د. (1992). إرث إقليدس. هل الفضاء ثلاثي الأبعاد؟ سلسلة غرب أونتاريو في فلسفة العلوم. سبرينغر هولندا. ص  50. ISBN 978-0-7923-2025-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2023 .
  2. ↑ HSM Coxeter (1965) مقدمة في الهندسة، صفحة 92
  3. ↑ كايلي، آرثر (1859)، "مذكرة سادسة حول الكميات" ، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 149 : 61-90 ، doi : 10.1098/rstl.1859.0004 ، ISSN 0080-4614 ، JSTOR 108690  
  4. ↑ يمكن التمييز بين مصطلحات "المستوى الإسقاطي" و"المستوى الأفيني الممتد" و"المستوى الإقليدي الممتد" بناءً على ما إذا كان الخط عند اللانهاية يُعتبر مميزًا (فهو ليس كذلك في المستوى "الإسقاطي"، بينما يُعتبر كذلك في المستويات "الممتدة")، وبناءً على ما إذا كان المقياس الإقليدي يُعتبر ذا معنى (فهو ليس كذلك في المستويين الإسقاطي والأفيني). وينطبق الأمر نفسه على الفضاءات الإسقاطية أو الممتدة ذات الأبعاد الأخرى.