القرص (رياضيات)

في الهندسة ، القرص ( يُكتب أيضًا القرص ) ^[1] هو المنطقة في المستوى التي تحدها دائرة . ويقال إن القرص مغلق إذا كان يحتوي على الدائرة التي تشكل حدوده، ومفتوح إذا لم يكن يحتوي على الدائرة. ^[2]

بالنسبة لنصف القطر ، عادة ما يتم الإشارة إلى القرص المفتوح على أنه والقرص المغلق هو . ومع ذلك، في مجال الطوبولوجيا، عادة ما يتم الإشارة إلى القرص المغلق على أنه بينما القرص المفتوح هو . ${\displaystyle r}$${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle \operatorname {int} D^{2}}$

في الإحداثيات الديكارتية ، يتم إعطاء القرص المفتوح ذو المركز ونصف القطر R بالصيغة: ^[1]${\displaystyle (أ،ب)}$

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}<R^{2}\}}$

في حين أن القرص المغلق الذي له نفس المركز ونصف القطر يعطى بواسطة:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R^{2}\}.}$

مساحة القرص المغلق أو المفتوح بنصف قطر R هي π R ² (انظر مساحة القرص ). ^[3]

القرص له تناسق دائري . ^[4]

القرص المفتوح والقرص المغلق ليسا متكافئين طوبولوجيًا (أي أنهما ليسا متماثلين )، حيث أنهما يتمتعان بخصائص طوبولوجي مختلفة عن بعضهما البعض. على سبيل المثال، كل قرص مغلق مضغوط بينما كل قرص مفتوح ليس مضغوطًا. ^[5] ومع ذلك، من وجهة نظر الطوبولوجيا الجبرية، فهما يشتركان في العديد من الخصائص: كلاهما قابل للانكماش ^[6] وبالتالي يكونان مكافئين للتماثل لنقطة واحدة. وهذا يعني أن مجموعاتهما الأساسية تافهة، وأن جميع مجموعات التماثل تافهة باستثناء المجموعة 0، والتي تكون متماثلة مع Z. الخاصية أويلر لنقطة (وبالتالي أيضًا تلك الخاصة بالقرص المغلق أو المفتوح) هي 1. ^[7]

تحتوي كل خريطة متصلة من القرص المغلق إلى نفسها على نقطة ثابتة واحدة على الأقل (لا نطلب أن تكون الخريطة ثنائية الاتجاه أو حتى شاملة )؛ هذه هي الحالة n = 2 من نظرية النقطة الثابتة لـ Brouwer . ^[8] العبارة خاطئة للقرص المفتوح: ^[9]

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الدالة التي تربط كل نقطة من قرص الوحدة المفتوح بنقطة أخرى على قرص الوحدة المفتوح إلى يمين النقطة المحددة. ولكن بالنسبة لقرص الوحدة المغلق، فإنها تحدد كل نقطة على نصف الدائرة${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

في بعض الأحيان، نجد توزيعًا موحدًا على قرص دائري وحدوي في الإحصاء. ويحدث هذا بشكل شائع في بحوث العمليات في الرياضيات الخاصة بالتخطيط الحضري، حيث يمكن استخدامه لنمذجة السكان داخل المدينة. وقد تستفيد استخدامات أخرى من حقيقة أنه توزيع يسهل حساب احتمالية تلبية مجموعة معينة من التفاوتات الخطية. ( تتطلب التوزيعات الغاوسية في المستوى التربيع العددي .)

"حجة مبتكرة عبر الدوال الأولية" تظهر أن المسافة الإقليدية المتوسطة بين نقطتين على القرص هي ⁠128/45π≈ 0.90541 ، ^[10] بينما يظهر التكامل المباشر في الإحداثيات القطبية أن متوسط ​​المسافة التربيعية هو 1 .

إذا أعطينا موقعًا عشوائيًا على مسافة q من مركز القرص، فمن المهم أيضًا تحديد المسافة المتوسطة b ( q ) من النقاط في التوزيع إلى هذا الموقع والمربع المتوسط ​​لهذه المسافات. يمكن حساب القيمة الأخيرة مباشرة على أنها q ² + ⁠1/2⁠ .

لإيجاد b ( q ) نحتاج إلى النظر بشكل منفصل إلى الحالات التي يكون فيها الموقع داخليًا أو خارجيًا، أي حيث q ≶ 1 ، ونجد أنه في كلتا الحالتين لا يمكن التعبير عن النتيجة إلا من حيث التكاملات الإهليلجية الكاملة .

إذا أخذنا في الاعتبار موقعًا داخليًا، فإن هدفنا (بالنظر إلى الرسم البياني) هو حساب القيمة المتوقعة لـ r تحت توزيع تكون كثافته1/πبالنسبة لـ 0 ≤ r ≤ s (θ) ، يتم التكامل في إحداثيات قطبية مركزها الموقع الثابت الذي تكون فيه مساحة الخلية r d r dθ  ؛ وبالتالي $${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$

هنا يمكن إيجاد s (θ) من حيث q و θ باستخدام قانون جيب التمام . سيتم العثور على الخطوات اللازمة لتقييم التكامل، جنبًا إلى جنب مع العديد من المراجع، في الورقة التي كتبها Lew et al.؛ ^[10] والنتيجة هي أنه حيث K و E هما تكاملان إهليلجيان كاملان من النوع الأول والثاني. ^[11] b (0) = ⁠$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$ 2/3; ب ( 1 ) =32/9π≈ 1.13177 .

بالانتقال إلى موقع خارجي، يمكننا إعداد التكامل بطريقة مماثلة، هذه المرة نحصل على

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$ حيث يخبرنا قانون جيب التمام أن s ₊ (θ) و s _- (θ) هما جذور s للمعادلة وبالتالي يمكننا استبدال u = q sinθ للحصول على استخدام التكاملات القياسية. ^[12]$${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$

ومن ثم مرة أخرى ب (1) =32/9π⁠ ، بينما أيضًا ^[13] $${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$

• قرص الوحدة ، قرص بنصف قطر واحد
• الحلقة (رياضيات) المنطقة الواقعة بين دائرتين متحدة المركز
• الكرة (رياضيات) ، المصطلح المعتاد للنظير ثلاثي الأبعاد للقرص
• جبر القرص ، مساحة من الدوال على القرص
• قطعة دائرية
• قرص مركزي متعامد ، يحتوي على مراكز معينة للمثلث