جبر AW*

في الرياضيات ، تُعدّ جبر AW* تعميمًا جبريًا لجبر W* . وقد قدّمها إيرفينغ كابلانسكي عام 1951. ^{[ 1 ]} وباعتبارها جبرًا للمؤثرات ، تُعالج جبر فون نيومان، من بين جميع جبر C* ، عادةً بإحدى طريقتين: إما أنها الفضاء الثنائي لفضاء باناخ ، أو أنها تُحدّد إلى حد كبير بإسقاطاتها. وتكمن الفكرة وراء جبر AW* في تجاهل الشرط الطوبولوجي الأول، والاكتفاء بالشرط الجبري الثاني.

تذكر أن إسقاط جبر C* هو عنصر مترافق ذاتيًا ومتساوي القوة . جبر AC* هو جبر AW* إذا كان لكل مجموعة جزئية S من A ، يكون العنصر المبيد الأيسر

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{L}(S)=\{a\in A\mid \forall s\in S,as=0\}\,}$

يتم توليدها كمثال أيسر بواسطة إسقاط ما p من A ، وبالمثل يتم توليد المُبيد الأيمن كمثال أيمن بواسطة إسقاط ما q :

${\displaystyle \forall S\subseteq A\,\exists p,q\in \mathrm {Proj} (A)\colon \mathrm {Ann} _{L}(S)=Ap,\quad \mathrm {Ann} _{R}(S)=qA}$.

وبالتالي فإن الجبر AW* هو جبر C* وهو في نفس الوقت حلقة Baer * .

ينص تعريف كابلانسكي الأصلي على أن جبر AW* هو جبر C* بحيث (1) يكون لأي مجموعة من الإسقاطات المتعامدة حد أعلى أدنى، و(2) يتم توليد كل جبر فرعي تبديلي أقصى من C* بواسطة إسقاطاته. ينص الشرط الأول على أن الإسقاطات لها بنية مثيرة للاهتمام، بينما يضمن الشرط الثاني وجود عدد كافٍ من الإسقاطات لجعلها مثيرة للاهتمام. ^{[ 1 ]} تجدر الإشارة إلى أن الشرط الثاني مكافئ لشرط أن يكون كل جبر فرعي تبديلي أقصى من C* كاملًا رتيبًا.

تنطبق العديد من النتائج المتعلقة بجبر فون نيومان على جبر AW*. على سبيل المثال، يمكن تصنيف جبر AW* وفقًا لسلوك إسقاطاته، وتفكيكه إلى أنواع . ^{[ 2 ]} كمثال آخر، يمكن دائمًا تحويل المصفوفات العادية ذات المدخلات في جبر AW* إلى مصفوفات قطرية. ^{[ 3 ]} كما أن لجبر AW* دائمًا تحليلًا قطبيًا . ^{[ 4 ]}

مع ذلك، توجد أيضًا طرقٌ تختلف فيها سلوكيات جبر AW* عن جبر فون نيومان. ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، يمكن أن يُظهر جبر AW* من النوع الأول خصائص شاذة، ^{[ 6 ]} على الرغم من أن كابلانسكي قد أثبت بالفعل أن هذه الجبر ذات المركز التافه هي تلقائيًا جبر فون نيومان.

الجبر التبادلي C* هو جبر AW* إذا وفقط إذا كان طيفه فضاءً ستونيًا . وبفضل ازدواجية ستون ، فإن الجبر التبادلي AW* يُقابل الجبر البولياني الكامل . تُشكل إسقاطات الجبر التبادلي AW* جبرًا بوليانيًا كاملًا، وبالعكس، فإن أي جبر بولياني كامل يكون متماثلًا مع إسقاطات جبر تبادلي AW* ما.