المُبيد (نظرية الحلقة)

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 56 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف مُبيد مجموعة جزئية S من وحدة نمطية على حلقة بأنه المُثُل المُكوَّن من عناصر الحلقة التي تُعطي دائمًا صفرًا عند ضربها بكل عنصر من عناصر S. على سبيل المثال، إذاR{\displaystyle R}هي حلقة تبديلية وأنا{\displaystyle I}هو مثال لـR{\displaystyle R}يمكننا اعتبار حلقة القسمةR/أنا{\displaystyle R/I}أن تكونR{\displaystyle R}-وحدة. ثم، مُبيدR/أنا{\displaystyle R/I}هو الوضع الأمثلأنا{\displaystyle I}، لأن كلأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}العمل عبر الخريطة الصفرية علىR/أنا{\displaystyle R/I}.

على مجال تكاملي ، فإن الوحدة النمطية التي لها مُفني غير صفري هي وحدة نمطية للالتواء ، ووحدة نمطية للالتواء ذات توليد محدود لها مُفني غير صفري.

ينطبق التعريف أعلاه أيضاً في حالة الحلقات غير التبادلية ، حيث تحتوي مجموعة جزئية من وحدة نمطية يسارية على مُبيد يساري ، وهو مثالي يساري، وتحتوي مجموعة جزئية من وحدة نمطية يمينية على مُبيد يميني ، وهو مثالي يميني.S{\displaystyle S}إذا كان وحدة نمطية، فإن المبيد يكون دائمًا مثاليًا ذا جانبين، بغض النظر عما إذا كانت الوحدة النمطية وحدة نمطية يسرى أو وحدة نمطية يمنى.

التعريفات

ليكن R حلقة ، وليكن M وحدة نمطية يسارية على R. اختر مجموعة جزئية غير فارغة S من M. مجموعة إفناء S ، ويرمز لها بـ Ann R ( S )، هي مجموعة جميع العناصر r في R بحيث يكون، لكل s في S ، rs = 0. [ 1 ] في ترميز المجموعات،

أننR(S)={ر∈R|رs=0{\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0}للجميعs∈S}{\displaystyle s\in S\}}

هي مجموعة جميع عناصر R التي "تفني" S (العناصر التي تكون S مجموعة التواء بالنسبة لها). يمكن استخدام المجموعات الجزئية من الوحدات النمطية اليمنى أيضًا، بعد تعديل " sr = 0 " في التعريف.

يُكتب عادةً مُفني عنصر واحد x على النحو التالي: Ann R ( x ) بدلاً من Ann R ({ x }). إذا كان من الممكن فهم الحلقة R من السياق، فيمكن حذف الرمز السفلي R.

بما أن R عبارة عن وحدة نمطية على نفسها، يمكن اعتبار S مجموعة جزئية من R نفسها، وبما أن R عبارة عن وحدة نمطية يمنى ويسرى على R ، فيجب تعديل الترميز قليلاً للإشارة إلى الجانب الأيسر أو الأيمن. عادةًℓ.أننR(S){\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}ور.أننR(S){\displaystyle r.\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}أو يتم استخدام نظام ترميز مشابه لتمييز المدمرين الأيسر والأيمن، إذا لزم الأمر.

إذا كان M عبارة عن وحدة نمطية R و Ann R ( M ) = 0 ، فإن M تسمى وحدة نمطية أمينة .

ملكيات

إذا كانت S مجموعة جزئية من وحدة نمطية يسارية R- M ، فإن Ann( S ) مثالية يسارية في R. [ 2 ] وإذا لم تكن S مجرد مجموعة جزئية ، بل وحدة نمطية جزئية من M ، فإن AnnR ( S ) مثالية ثنائية الجانب: ( ac ) s = a ( cs ) = 0، لأن cs عنصر آخر من S. [ 3 ]

إذا كانت S مجموعة جزئية من M و N هي الوحدة الجزئية من M المولدة بواسطة S ، فإن Ann R ( N ) هي عمومًا مجموعة جزئية من Ann R ( S )، لكنهما ليستا متساويتين بالضرورة. إذا كانت R تبديلية ، فإن التساوي يتحقق.

يمكن أيضًا اعتبار الوحدة النمطية R - M وحدة نمطية R /Ann R ( M ) باستخدام الفعلر¯م:=رم{\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,}ليس من الممكن دائمًا تحويل وحدة R إلى وحدة R / I بهذه الطريقة، ولكن إذا كان المثالي I مجموعة جزئية من مُبيد M ، فإن هذا الفعل يكون مُعرَّفًا جيدًا. وتكون الوحدة M دائمًا أمينة عند اعتبارها وحدة R /Ann R ( M ).

للحلقات التبديلية

في جميع أنحاء هذا القسم، دعوناR{\displaystyle R}ليكن حلقة تبديلية وم{\displaystyle M}أنR{\displaystyle R}-وحدة.

العلاقة بالدعم

يُعرَّف دعم الوحدة النمطية على النحو التالي :

ملحق⁡م={ص∈المواصفات⁡R|مص≠0}.{\displaystyle \operatorname {Supp} M=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.}

عندما يتم توليد الوحدة بشكل نهائي ، يكون دعمم{\displaystyle M}هي بالضبط مجموعة المُثُل الأولية التي تحتويآنR⁡(م){\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M)}[ 4 ] [ 5 ]​

تسلسلات قصيرة دقيقة

بافتراض وجود تسلسل قصير ودقيق من الوحدات،

0→م′→م→م"→0،{\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0,}

لدينا العلاقات

آنR⁡(م′)∩آنR⁡(م")⊇آنR⁡(م)⊇آنR⁡(م′)آنR⁡(م").{\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').}

إذا انقسم التسلسل، بحيثم≅م′⊕م"{\displaystyle M\cong M'\oplus M''}إذاً، فإن المتباينة على اليسار هي دائماً مساواة. في الواقع، هذا ينطبق على أي مجموع مباشر للوحدات:

آنR⁡(⨁أنا∈أنامأنا)=⋂أنا∈أناآنR⁡(مأنا).{\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).}

في الحالة الخاصة التيم′=أنام{\displaystyle M'=IM}وم"=م/أنام{\displaystyle M''=M/IM}لبعض المثاليةأنا⊂R{\displaystyle I\subset R}لدينا العلاقةآنR⁡(م/أنام)⊇آنR⁡(م)+أنا{\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M/IM)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)+I}.

أمثلة

على الأعداد الصحيحة

زيادةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }أي وحدة مولدة نهائيًا تُصنف تمامًا، وفقًا للنظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية، على أنها مجموع مباشر بين جزئها الحر وجزئها الالتوائي. لذلك، إذا كان مُفني وحدة مولدة نهائيًا غير تافه، فيجب أن يكون مساويًا تمامًا للجزء الالتوائي من الوحدة. هذا لأن

آنZ(Z⊕ك)={0}=(0){\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)}

بما أن العنصر الوحيد الذي يقضي على كل واحد منZ{\displaystyle \mathbb {Z} }يكون0{\displaystyle 0}على سبيل المثال، مُبيدZ/2⊕Z/3{\displaystyle \mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3}يكون

آنZ(Z/2⊕Z/3)=(6)=(المضاعف المشترك الأصغر(2،3))،{\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3)),}

النموذج المثالي الذي تم توليده بواسطة(6){\displaystyle (6)}في الواقع، مُبيد وحدة الالتواء

م≅⨁أنا=1ن(Z/أأنا)⊕كأنا{\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}}

متماثل مع المثالي الناتج عن مضاعفهما المشترك الأصغر ،(المضاعف المشترك الأصغر⁡(أ1،...،أن)){\displaystyle (\operatorname {lcm} (a_{1},\ldots ,a_{n}))}وهذا يوضح أنه يمكن تصنيف عوامل الإفناء بسهولة على الأعداد الصحيحة.

على حلقة تبديلية R

توجد عملية حسابية مماثلة يمكن إجراؤها لأي وحدة نمطية ذات عرض محدود على حلقة تبديليةR{\displaystyle R}تعريف الحضور المحدود لـم{\displaystyle M}وهذا يعني وجود تسلسل دقيق، يُسمى عرضًا تقديميًا، مُعطى بواسطة

R⊕ل→ϕR⊕ك→م→0{\displaystyle R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0}

أينϕ{\displaystyle \phi }هو فيحصيرةك،ل(R){\displaystyle {\text{Mat}}_{k,l}(R)}. كتابةϕ{\displaystyle \phi }بشكل صريح كمصفوفة، يعطيها على النحو التالي

ϕ=[ϕ1،1⋯ϕ1،ل⋮⋮ϕك،1⋯ϕك،ل];{\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,l}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{k,1}&\cdots &\phi _{k,l}\end{bmatrix}};}

لذلكم{\displaystyle M}له تحليل المجموع المباشر

م=⨁أنا=1كR(ϕأنا،1(1)،...،ϕأنا،ل(1)){\displaystyle M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}}}

إذا كُتب كل من هذه المُثُل على النحو التالي

أناأنا=(ϕأنا،1(1)،...،ϕأنا،ل(1)){\displaystyle I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}

ثم المثاليأنا{\displaystyle I}مقدم من

V(أنا)=⋃أنا=1كV(أناأنا){\displaystyle V(I)=\bigcup _{i=1}^{k}V(I_{i})}

يقدم المبيد.

على k [ x , y ]

فوق الحلقة التبادليةك[x،y]{\displaystyle k[x,y]}لمجال​ك{\displaystyle k}، مُبيد الوحدة

م=ك[x،y](x2-y)⊕ك[x،y](y-3){\displaystyle M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}}

يُعطى بواسطة المثالي

آنك[x،y](م)=((x2-y)(y-3)).{\displaystyle {\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).}

شروط السلسلة على مُثُل المُبيد

شبكة المُثُل من الشكلℓ.أننR(S){\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)}حيث S مجموعة جزئية من R ، تُشكّل شبكة كاملة عند ترتيبها جزئيًا بالتضمين . ثمة اهتمام بدراسة الحلقات التي تحقق فيها هذه الشبكة (أو نظيرتها اليمنى) شرط السلسلة الصاعدة أو شرط السلسلة الهابطة .

لنرمز إلى شبكة مثاليات الإفناء اليساري لـ R بـلأ{\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}وشبكة مُثُل المُفني الأيمن لـ R كـRأ{\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}من المعروف أنلأ{\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}يحقق شرط السلسلة التصاعدية إذا وفقط إذاRأ{\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}يحقق شرط السلسلة التنازلية، وبشكل متناظرRأ{\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}يحقق شرط السلسلة التصاعدية إذا وفقط إذالأ{\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}يحقق شرط السلسلة التنازلية. إذا تحقق أي من الشبكتين أيًا من شرطي السلسلة هذين، فلن تحتوي R على مجموعات متعامدة زوجية لانهائية من العناصر المتساوية القوة . [ 6 ] [ 7 ]

إذا كانت R حلقة بحيثلأ{\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}إذا كان R يحقق شرط ACC وله بُعد منتظم محدود ، فإن R يسمى حلقة غولدي اليسرى . [ 7 ]

وصف نظري للفئات للحلقات التبادلية

متىR{\displaystyle R}هي عملية تبادلية وم{\displaystyle M}هوR{\displaystyle R}- الوحدة، يمكننا وصفهاأننR(م){\displaystyle \mathrm {آن} _{R}(M)}باعتبارها نواة خريطة العملR→هـندR(م){\displaystyle R\to \mathrm {End} _{R}(M)}يتم تحديده بواسطة الخريطة المساعدة للهويةم→م{\displaystyle M\to M}على طول اقتران الموتر المتجانس .

وبشكل أعم، بالنظر إلى خريطة ثنائية الخطية للوحداتF:م×شمال→P{\displaystyle F\colon M\times N\to P}، مُبيد مجموعة جزئيةS⊆م{\displaystyle S\subseteq M}هي مجموعة جميع العناصر فيشمال{\displaystyle N}التي تبيدS{\displaystyle S}:

آن⁡(S):={ن∈شمال|∀s∈S:F(s،ن)=0}.{\displaystyle \operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.}

وبالمقابل، بالنظر إلىتي⊆شمال{\displaystyle T\subseteq N}يمكن تعريف المُبيد على أنه مجموعة فرعية منم{\displaystyle M}.

يُعطي المُبيد اتصال غالوا بين مجموعات فرعية منم{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}ويكون عامل الإغلاق المرتبط به أقوى من عامل الامتداد. على وجه الخصوص:

  • وحدات الإبادة هي وحدات فرعية
  • فترة⁡S≤آن⁡(آن⁡(S)){\displaystyle \operatorname {Span} S\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))}
  • آن⁡(آن⁡(آن⁡(S)))=آن⁡(S){\displaystyle \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)}

تتمثل إحدى الحالات الخاصة المهمة في وجود شكل غير منحل على فضاء متجهي ، وخاصةً الضرب الداخلي : عندئذٍ يكون المُبيد المرتبط بالخريطةV×V→ك{\displaystyle V\times V\to K}يُطلق عليه اسم المتمم المتعامد .

العلاقة بخصائص أخرى للحلقات

بالنظر إلى وحدة نمطية M على حلقة تبديلية نوثرية R ، فإن المثالي الأولي لـ R الذي هو مبيد لعنصر غير صفري من M يسمى مثاليًا أوليًا مرتبطًا بـ M.

دS=⋃x∈S∖{0}أننR(x).{\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.}
(هنا نسمح بأن يكون الصفر قاسمًا للصفر.)
على وجه الخصوص ، D R هي مجموعة القواسم الصفرية (اليسرى) لـ R التي تأخذ S = R و R تعمل على نفسها كوحدة نمطية يسارية R.
  • عندما تكون R تبديلية ونويثرية، فإن المجموعةدR{\displaystyle D_{R}}يساوي تمامًا اتحاد الأعداد الأولية المرتبطة بالوحدة النمطية R.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بيرس (1982)، ص 23.
  2. ↑ البرهان: إذا كان كل من a و b ينفي S ، فإن لكل s في S ، ( a  + b ) s = as + bs = 0 ، ولأي r في R ، ( ra ) s = r ( as ) = r 0 = 0.   
  3. ↑ بيرس (1982)، ص 23، المبرهنة ب، البند (أ).
  4. ↑ Eisenbud 2004 ، ص 67.
  5. ↑ "الفرضية 10.39.5 (00L2) - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مايو 2020 .
  6. ↑ أندرسون وفولر 1992 ، ص 322.
  7. 1 2 لام 1999 .

مراجع